Sep 30, 2022

LCD

visualpharm.com
LCDといえば,テレビやパソコンでお馴染みの Liquid Crystal Display(液晶ディスプレイ)を思い浮かべます.また似ている用語では,照明に使われるLEDですが,これは Light Emitting Diode(発光ダイオード)の略になります.「いまさら聞けない」豆知識という感じですね.

数学関連で似ているものは,LCM = Least Common Multiple(最小公倍数),GCD = Greatest Common Deviser(最大公約数),GDC = Graphing Display Calculator(グラフ電卓)などがあります.ややこしいですね.

注)最大公約数は,他にもGCM (Greatest Common Measure) またはGCF (Greatest Common Factor) または HCF (Highest Common Factor) と言う場合があります.

さて,LCDは数学用語ではどういう意味なのでしょうか.これは,Least Common Denominator または Lowest Common Denominator といって,日本語では「最小公分母」といい,複数の分数の分母の最小公倍数を意味します.例えば,2と3の最小公倍数は6なので,「$\frac{1}{2}$と$\frac{1}{3}$のLCDは6である」という言い方をします.日本ではこの用語はほとんど聞いたことがないのですが,英語の解説にはよく登場します.

因みに,「通分する」ことを英語では次のようにいいます.

        reduce (the fractions) to a common denominator

例えばこんな言い方があります.

        Add 1/2 to 1/3 by reducing the fractions to a common denominator
        LCD(1/2, 1/3)=LCM(2, 3)=2×3=6 so that 1/2+1/3=3/6+2/6=5/6

"reduce" はもともと「減らす」という意味なので,「通分がなぜ reduce?」と思ってしまいますが,通分は「複数の分数を共通の分母でひとつにまとめる」すなわち「複数の分数を共通の分母でひとつに減らす」という意味もあるので,この用語が使われているのだと思われます.

ところで,通分には次のような言い方もあります.どの表現を使われても意味が分かるようにしておきたいですね.

        put ~ over a common denominator
        change ~ to equivalent fractions with a common denominator

実は「約分する」というのも"reduce"を使います.こちらは約分すれば分母・分子の値が減少するので,この用語で違和感はありません.通分にも約分にも同じ"reduce"を使うことになるわけですが,後に続く文が少し違います.

        reduce (a fraction) to its lowest terms(既約分数まで約分する)

この用語のおかげで,reducible(可約),irreducible(既約)といった言い方も覚えやすくなります.ただ,約分にも simplify, cancel という別の言い方もあるので,やはりどの表現を使われても意味が分かるようにしておきたいですね.

覚えておきたい関連した用語は他に次のものがあります.

        like fraction(分母の等しい分数) (c.f.) like term(同類項)
        bottom number / denominator(分母)
        top number / numerator(分子)

[Question]

What is the LCD for the following three fractions?
1/18, 1/24 and 1/30

(正解はこちら

[Reference]

Least Common Denominator - LCD
https://www.cuemath.com/numbers/least-common-denominator-lcd/

Jul 18, 2022

Sextic

Sex は「性」や「性別」などの意味があるので,sexual, sexy は「性的な」という意味になります.それなら sextic も同様の意味ではないかと思ってしまいますが,これは全く異なる意味の数学用語で, 形容詞なら「6次の」,名詞なら「6次式」という意味になります.6 なら six だろうと思いますが,数学用語は Latin(ラテン語)や Greek(ギリシャ語)が語源になっているものが多く,これも Latin で 6 を表す sex を語源としています.なので,例えば sextic function なら6次関数という意味になります.

両言語の数詞をまとめてみました.


数学用語以外にも,monotone, duet, triathlon など,これらが頭につくものがたくさんありますね.

[Quiz] 1960年代に「ドリフターズ」から分裂して活躍した4人組コミックバンド(のちに5人になった)のグループ名は「○○○○カルテット」.○○○○は何?

[Answer] (次の行をドラッグしてください)
Donkey Quartet(ドンキーカルテット)

紀元前,1年が10か月だった時代,今の August(8月)は Sextilis(6番目の月)と呼ばれていました.その後 January, February が加わって12か月になっても名称は変わりませんでしたが,後にローマ皇帝 Augustus が自分の名を使って August に変えました.因みに,7月も Quintilis(5番目の月)だったのを,あの Julius Caesar が 同じく自分の名をとって July に変えました.しかし,September から December は当初の意味から2か月ずれたまま残っています.

意外なところでは,16進法を hexadecimal または sexadecimal と言うのに対し,60進法は sexagecimal と言いますが,hexagecimal とは言わないようです.

次数の表現です.


1変数の sextic equation(6次方程式)は一般に次式で表されます.$$a_6x^6+a_5 x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$$Abel–Ruffini theorem(アーベル–ルフィニの定理)により,5次以上の方程式は代数的に(四則演算と累乗根で)解けないのですが,Galois theory(ガロア理論)から,ある条件を満たすときは代数的に解けることが分かっています.例えば次のような特別な形なら$x^3$を変数とする2次方程式として代数的に解くことができます.$$a_6x^6+a_3x^3+a_0=0$$必ず解ける代数的でない(超越的な)解法はあるのですが,あまりにも複雑なので,実用的には数値計算で解を求めるのが一般的です.

Cayley's sextic

次の2変数 sextic equation(6次方程式)を Cayley's sextic といいます.これは他の人が最初に発見したのですが,Cayley が詳しく研究したのでこの名前がついています.$$64 (x^2+y^2)^3-48 ax (x^2+y^2)^2-3 a^2(x^2+y^2)(5 x^2+9 y^2) -a^3 x^3=0$$
a=-1のとき                                     a=1のとき

これはよく知られた Cardioid(心臓形)上の任意の点における接線に原点から降ろした垂線の足の軌跡(pedal curve=垂足線)になっています.
内側の曲線がCardioid (Wolfram MathWorld)

[Reference]



Jul 5, 2022

Nature of Roots

この nature を「自然」と訳すと,nature of roots は「根っこの自然」となって,これは植物学的な話かなと思ってしまいます.数学ではどんな場面に登場しているのか見てみましょう.

Use the discriminant to determine the nature of the roots of quadratic equation. 

これなら「2次方程式の根(こん)の自然を決めるには判別式を使う」となりますが, nature には次の意味もあります.

Weblio英和対訳辞書 "nature"
自然、天然、自然界、自然力、自然現象、(人・動物の)本性、天性、性質、本質、特質

なので「2次方程式の根(こん)の性質を調べるには判別式を使う」ということになります.しかし discriminant(判別式)で判別するのは,2次方程式の解が「two distinct real roots(異なる2つの実数解),multiple roots(重解),imaginary roots(虚数解)」(複素数を未習の場合は「虚数解」ではなく「解なし」)のどれになるかということですから,「性質」というのも少し違う気がします.

続いて "nature of" の意味を調べてみると,

Weblio英和対訳辞書 "nature of"
[単数形で; 通例修飾語を伴って] 種類, [the nature] 〔ものの〕本質,特質,特徴 

というわけで,nature of roots は「根(解)の種類」と訳すのが正しいようです.したがって,上の文章は「2次方程式の根(解)の種類を決めるには判別式を使う」という意味になります.日本の高校数学Ⅱの教科書でも,「解の種類を判別する」という言い方が使われています.

ところでもともと判別式は,n次方程式が重解を持つ条件を与える式として,19世紀中ごろに英国の数学者 Sylvester が導入しました.$n$次方程式 $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_1x+a_0=0 \quad (a_n \neq 0)$$ の重複を含めた解を $\alpha_1, \cdot\cdot\cdot, \alpha_n$ とすると,$$\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)=0$$になるとき,すなわちすべての異なる(はずの)解の差の積が0になるとき,どれか2つ以上の解が一致するので重解を持ちます.Sylvester はさらに虚数の平方は負になることから虚数解を判別するためにこの式を平方し,式の値を分数にしないようにするために$a_n^{2n-2}$を掛けて,判別式$D$を次の式で与えました.$$D=a_n^{2n-2}\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$$例えば$n=3$なら,$D=a_3^{2・3-2}(\alpha_1-\alpha_2)^2(\alpha_2-\alpha_3)^2(\alpha_1-\alpha_3)^2$となり,これが3次方程式の判別式になりますが,これだけでも計算はかなり複雑です.

では$n=2$にしてみましょう.$$D=a_2^{2・2-2}(\alpha_1-\alpha_2)^2$$ここで2次方程式を $ax^2+bx+c=0$,その重複を含めた解を$\alpha$,$\beta$とすると,解と係数の関係より,$\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad\alpha\beta=\frac{c}{a}$なので,\begin{eqnarray} D &=& a^2(\alpha-\beta)^2 \\&=&  a^2(\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2) \\&=& a^2\left( (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta \right)  \\ &=& a^2\left( \left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\left( \frac{c}{a}\right)  \right)  \\&=& b^2-4ac \end{eqnarray}というわけで,お馴染みの2次方程式の判別式を導くことができました.

[Question] (The answer follows after reference)

Find the value of the discriminant, and state the nature of the roots for each equation. (Mathematics SL : Oxford University Press)

a) $x^2+5x-3=0$
b) $2x^2+4x+1=0$
c) $4x^2-x+5=0$
d) $x^2+8x+16=0$

[Reference]

Weblio英和対訳辞書

Discriminant
https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

代数方程式の判別式
http://hooktail.sub.jp/algebra/Discriminant/

[Answer] (Drag below)

a)     37 ; two  different real roots
b)     8 ; two different real roots
c)     -79 ; no real roots
d)     0 ; two equal real roots

Jun 14, 2022

Vertex Form

Polygon(多角形)や polyhedron(多面体)などの図形では,2本以上の辺が集まっている点のことを vertex(頂点)といいます.多面体の頂点 (V),辺 (E=edge),面 (F=face) の数に関する Euler's polyhedron theorem (オイラーの多面体定理)$V-E+F=2$ は有名ですよね.

Quadratic function(二次関数)のグラフの形は parabola(放物線)といいますが,その向きが変わる点のことを頂点といい,英語では vertex または turning point といいます.そしてその頂点の座標$(p,q)$がすぐにわかるように表した式$$y=a(x-p)^2+q\tag{1}$$を vertex form といいます.直訳すると頂点形ということになりそうですが,日本語ではこう呼ばれず,基本形と呼ばれています.ところが,これを英語に直訳して basic form というと, $y=ax^2$ を意味することになります.なので式(1)は,英語では vertex form,日本語でも基本形ではなく頂点形と呼ぶ方がよさそうです.

一方,次のように展開された式(2)は general form(一般形)と呼ばれています.$$y=ax^2+bx+c\tag{2}$$この式(2)を式(1)に変形することを,completing square(平方完成)といいます.

さらにもうひとつ,次の式(3)で2次関数を表す方法があります.$$y=a(x-\alpha )(x- \beta)\tag{3}$$これは factorize(因数分解)された形なので factored form(因数分解形 or 分解形),または$x$ intercept($x$切片)$\alpha$,$\beta$がすぐに分かる形なので intercept form(切片形)とも呼ばれています.

上の式(1)と(2)は Standard Form(標準形)と呼ばれることもあり,話が少しややこしくなります.

■式(1)を Standard Form(標準形)と呼んでいる例
(英) https://mathsgee.com/9601/what-is-the-standard-form-of-a-quadratic-function
(日) http://wakarimath.net/explanation/q.php?pID=E00008
■式(2)を Standard Form(標準形)と呼んでいる例
(英) https://www.turito.com/learn/math/quadratic-functions-in-standard-form
(日) https://kaz-academy.com/math-koshiki22/

基本,標準,一般という用語の定義が曖昧であることが原因です.このような〇〇形といういい方は,日本の教科書では使われていないのですが,実際,日英の多くの参考書やサイトでは当たり前のように使われています.

ついでに,他にも 〇〇form といういい方があるので日英で調べてみました.

■Linear Function(一次関数)/ Equation of a Line(直線の方程式)
slope-intercept form $y=mx+k$ 基本形ともいう
standard form(標準形) $ax+by=c$
general form(一般形)        $ax+by+c=0$
intercept form(切片形) $\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
point-slope form  $y-y_1=m(x-x_1)$
two-point form  $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) $
vector form  $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$  or  $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{d}$

■Equation of a Circle (円の方程式)
center-radius form $(x-p)^2+(y-q)^2 = r^2$ 標準形または基本形ともいう
general form(一般形) $x^2 + y^2 +lx + my + n = 0$

以上のことから,グラフの特性である頂点や傾き切片や中心半径などがすぐに分かる式の形はその名前を使って頂点形,傾き切片形,中心半径形などと呼び,それを展開した形は一般形と呼ぶのが良いのではないでしょうか.何でも英語に合わせるが良いというのではなく,なるべく意味の曖昧な言葉を使わない方が良いと思います.

Apr 29, 2022

Aliquot

「約数」という日本語は,他にも「因数」や「因子」などの言い方がありますが,英語でも divisor, measure, factor, submultiple, aliquot などいろいろな言い方があります.最初の3つは,GCD (Greatest Common Divisor), GCM (Greatest Common Measure), HCF (Highest Common Factor) と表すと,いずれも「最大公約数」を意味します.あまり使われませんが,greatest common submultiple という場合もあります.しかし,aliquot だけは少し違った意味があります.

数学英和・和英辞典(共立出版)には,

aliquot a. 割り切れる,整除できる. n. 割り切れる数,約数. ~ part 約数.

と書かれているので,これだけでは aliquot も同じ「約数」という意味ではないかと思いますが,実は多くの場合,aliquot または aliquot part というのは proper divisor(真約数),すなわちそれ自身を含まない約数を意味します.例えば12の divisors は 1, 2, 3, 4, 6, 12ですが,12の aliquot は 1, 2, 3, 4, 6になります.

関連するものに aliquot sum(アリコット和), aliquot sequence(アリコット数列)があります.aliquotだけ和訳がないのは不思議ですが,元々Latin語の ali (otherの意) とquot (how manyの意)から来ているそうです.

aliquot sequence(アリコット数列)

正の整数$k$の全約数の総和を$\sigma(k)$と表します.aliquot sum すなわち proper divisor の総和は,全約数の総和からそれ自身を引くので,$\sigma(k)-k$となります.$k$に対して,aliquot sum を返す関数$s(k)=\sigma(k)-k$を "restricted divisor function"といいます.正式な日本語訳はありませんが,強いていうなら意訳して「真約数関数」でしょうか.

aliquot sequence は,正の整数$k$から始まり,次の項がその前の項の restricted divisor function の値,すなわち aliquot sum になるという,次の漸化式を満たす数列です.$$s_0=k,\quad \quad s_{n+1}=s(s_n)=\sigma(s_n)-s_n$$例1. $k=4$のとき,\begin{eqnarray}s_0&=&4\\s_1&=&s(s_0)=\sigma(s_0)-s_0=\sigma(4)-4=(1+2+4)-4=1+2=3\\ s_2&=&s(s_1)=\sigma(s_1)-s_1=\sigma(3)-3=(1+3)-3=1\\ s_3&=&s(s_2)=\sigma(s_2)-s_2=\sigma(3)-3=1-1=0\end{eqnarray}
例2. $k=6$のとき,\begin{eqnarray}s_0&=&6\\s_1&=&(1+2+3+6)-6=1+2+3=6\\ s_2&=&(1+2+3+6)-6=1+2+3=6\end{eqnarray}
例3. $k=220$のとき,
\begin{eqnarray}s_0&=&220\\s_1&=&1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\\ s_2&=&1+2+4+71+142=220\end{eqnarray}
例1は最後が「素数→1→0」となって終ります.例2は aliquot sum がそれ自身に一致する complete number(完全数)なので,同じ数が繰り返されます.例3はお互いが相手の aliquot sum になる a pair of amicable numbers(友愛数)なので,2数が交互に現れます.他にも3つ以上の数を繰り返す sociable numbers(社交数)があります.以上で aliquot sequence のパターンがすべて尽くされているとする Catalan-Dickson conjecture(カタラン-ディクソン予想)は,2022年4月現在,未解決問題となっています.

[Reference]

Aliquot sequences
https://www.unirioja.es/cu/jvarona/aliquot.html

aliquot part
https://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/aliquot_part.html

Mar 13, 2022

Bin

缶は英語でも can といいますが,瓶は bin ではなく bottle といいます.bin には蓋つきの容器やごみ箱という意味があるので「物を入れる」という点では瓶と似ています.さらにこの bin には数学用語でも2つの意味があります.

■binary(2進法)

decimal(10進法)は,ある数を0から9までの整数10個を係数に使って10の冪(べき)の和で表したとき,その係数を並べて表します.例えば234は,$$\begin{align} 200+30+4&=2\times10^2+3\times10^1+4\times10^0\\&=234\end{align}$$一方, binary(2進法)は,ある数を0と1のみを係数に使って2の冪の和で表したとき,その係数を並べて表します.例えば10進法の 234 は,$$\begin{align} 234&= 128+64+32+8+2\\ &= 2^7+2^6+2^5+2^3+2^1\\&=1\times2^7+1\times2^6+1\times2^5+0\times2^4+1\times2^30\times2^2+1\times2^1+0\times2^0\\&= 11101010_{(2)}\end{align}$$となり,2進法では$11101010_{(2)}$と表されます.

因みに,ファイルの拡張子で".bin"というのがありますが,テキストファイル".txt"以外のファイル,すなわち binary file のことで,2進数で表現されています.

■frequency distribution table(度数分布表)の class(階級)

frequency distribution table の class のことを bin ともいい,ある区間ごとに分類された小グループのひとつひとつ(histogram の各棒)を意味します.data binning とは、全データをいくつかの bin に分けることをいい,data bucketing ともいいます.data を分けて容器またはバケツに入れるというイメージでしょう.したがって,histogram を作ることも data binning のひとつといえます. 

# of data(データの数)を $n$ とし,それらを $x_1, x_2, ...., x_n$とします.すると,# of bins(階級の数)$k$ と bin width(階級の幅)$h$ との関係は次式で与えることができます.$$k=\frac{\max x_i-\min x_i}{h}\tag{1}$$または$$h=\frac{\max x_i-\min x_i}{k}\tag{2}$$つまり,$k$と$h$はデータの範囲を比例定数とする反比例の関係になります(値が整数にならない場合は切り上げます).

例えば,ある100点満点の試験を27名が受験した結果が次の値だったとしましょう.
76, 57, 47, 100, 47, 55, 83, 57, 49, 68, 73, 55, 68, 87, 91, 89, 37, 72, 63, 62, 57, 30, 77, 25, 60, 12, 66


$k$=10を上の式(2)に当てはめると,$$h=\frac{100-0}{10}=10$$すると$k$=10のとき$h$=10になり,frequency distribution table と graph は上図のようになります.しかし,特にこの値にしなければならないわけではありません.$$\frac{100-0}{5}=20$$なので,$k$=5のとき$h$=20,$k$=20のとき$h$=5になります.また,$$\left\lceil\frac{100-0}{7}\right\rceil=\left\lceil14.2857....\right\rceil=15$$
$\left\lceil\quad\right\rceil$は切り上げをする関数 ceiling function(天井関数)

なので,$k$=7のとき$h$=15,$k$=15のとき$h$=7になります.

この# of bins $k$とbin width $h$は data をよく眺めて直接決めてもいいのですが,実はこれらの適切な値についてはこれまでかなり研究されており,"choice","rule","formula"などと呼ばれる方法が知られています.# of data(データの数)$n$を基準にしたもの,SD=standard deviation(標準偏差)$\sigma$,IQR=interquartile range(四分位範囲)を使うものなどいろいろありますが,その中で$n$を基準にして$k$を求めるものは次の3つがあります.

① Square-root choice$$\displaystyle k=\lceil {\sqrt {n}}\rceil\displaystyle $$② Rice Rule(1944年)$$\displaystyle k=\lceil 2\sqrt[3]{n}\rceil \displaystyle$$
③ Sturges' formula(1926年)$$\displaystyle k=\lceil \log _{2}n\rceil +1$$$n$=27を代入すると,いずれも$k$=6になりますから,# of data $n$=27のときは # of bins $k$=6が適切ということになります.

①②③のグラフ

また,# of data $n$とSD=$\sigma$を使って$h$を求めるものに次式があります.

④ Scott’s Rule(1979年)$$\displaystyle h = \left\lceil\frac{3.49\sigma}{\sqrt[{3}]{n}}\right\rceil$$上の例の$\sigma$=20.7なので,$$\displaystyle h=\left\lceil\frac{3.49\times 20.7}{\sqrt[3]{27}}\right\rceil=\left\lceil24.08....\right\rceil=25$$となり,bin width $h$=25,# of bins $k$=4が適切ということになります.

[余談]

Excel で frequency distribution table を作るときに frequency を求める,すなわち多数のデータの中から各 bin width(階級の幅)の度数を数える方法は,「データ分析」「FREQUENCY関数」などを使うより「COUNTIFS関数」を使う方が比較的容易にできました.例えば,ある条件範囲から0以上10以下の数を数えるには次のように入力します.
=COUNTIFS (条件範囲, ">=0", 条件範囲, "<10")

●Excel で histogram と frequency distribution polygon(度数分布多角形)を重ねて描く方法をいろいろ試してみたところ,「挿入→ヒストグラム」「データ分析→ヒストグラム」から描くよりも次の方法が比較的容易でした. 

1) グラフを描く準備として,図のような3列(一番左の列はセルの書式設定で文字列にしておく)を作る. 
2) その3列を選択 
3) 挿入→おすすめグラフ→すべてのグラフ→組み合わせ→集合縦棒と折れ線→OK(棒グラフと折れ線グラ フができる)
4) グラフの縦棒の上で右クリック→データ系列の書式設定→要素の間隔→0%(棒グラフがヒストグラムに変わる)→色を変える

[Reference]

Jul 16, 2021

Cartesian plane

MathsLinks
ここでの plane は飛行機ではなくて平面という意味です.2D(2次元)のグラフを描くのに xy-plane(xy平面)を使いますね.これは coordinate(座標)を使うので coordinate plane(座標平面)ともいいます.

日本では以上の2つの言い方が多いのですが,英書では1637年に著書「方法序説」で座標を考案した René Descartes(1596-1650)の名をとって Cartesian plane(デカルト平面)と呼ばれることが多いです。

なぜデカルトなのに,Cartesian(英語発音「カーティージャン」)と呼ぶのかというと,ラテン語名が Renatus Cartesius(レナトゥス・カルテシウス)というからなんです.日本語ではデカルトがよく使われているので,初めて Cartesian と聞くと誰のことだか分かりませんね.

2D以上の場合も含めると,Cartesian coordinate system(デカルト座標系)といい,orthogonal coordinate system(直交座標系)あるいはrectangular coordinate system(長方形座標系または矩形座標系)といういい方もあります.

[Quiz]
デカルトの著書『方法序説』(Discours de la méthode)の中の有名な言葉で,"I think, therefore I am." の日本語訳は何でしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
我思う、ゆえに我あり

因みに,Cartesian product(デカルト積)または direct product(直積)という集合があります.これは,複数の集合から1つずつ要素をとりだしてできる組の集まりのことで,例えばA= {1, 2, 3}とB= {a, b}の Cartesian product A×Bは{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}になります.

2Dの Cartesian plane の座標は,(2, 3)とか$(\sqrt{2},\pi)$とかの(実数,実数)の形で表されるので,実数の集合$\mathbb{R}$と$\mathbb{R}$の Cartesian product $\mathbb{R}×\mathbb{R}$の要素になります.

また,$y=2x+3$,$x^2+y^2=4$, $z=x^2+y^2$ などの,2Dならxとy,3Dならx, y, zを用いる関数の表し方を Cartesian equation(デカルト方程式) といいます.それに対するものとして,polar equation(極方程式)やvector equation(ベクトル方程式)などがあります.例えば,原点中心で半径3の円を表す polar equation $r=3$,vector equation $|\vec{p}|=3$ は,$\sqrt{x^2+y^2}=3$ より,Cartesian equation は $x^2+y^2=9$となります.

[Cartesian plane 問題]
Eliminate the parameter t to find a simplified Cartesian equation of the form.
(1)  $x=2-t$,$y=6-3t$
(2)  $x=\cosh t$,$y=\sinh t$
正解はこちら

[Reference]
MathsLinks

Jul 4, 2021

Hemisphere

Math Hemisphere Emoji Clip Art
半円のことを semicircle といいますね.Circle は円ですから,semi は半分という意味になります.他にも quadrant(4分の1円),three quarter circle(4分の3円)といういい方があります. 

Quadrantは「象限」の訳語だとばかり思っていたので,「4分の1円」という意味があるのは意外だったのですが,もっと意外だったのはもともと「四分儀」という天体の高度を観測するのに用いられた機器のことであって,quadrant が「象限」を意味するのは2次元平面上だけだということです.つまり,x軸とy軸で分かれる quad(4つの)領域だけが  quadrant と呼ばれるわけです.

また,3次元における「象限」は,x軸とy軸とz軸で分かれる oct(8個の)領域なので octant といい,これももともとの意味は「八分儀」(天体の高度や水平方向の角度を測るための道具)です.

なので,次元に関係なく「象限」は,quadrant でも octant でもなく,一般に orthant というのが正しいようです.従って,n次元空間には $2^n$個の orthant(象限)が存在するということになります.

さて, 半円のことを semicircle というので,半球は semisphere なのかと思ったら,hemisphere といいます.もともと semi はラテン語起源,hemi はギリシア語起源だそうですが,なぜこのような違いになったのか不思議ですね.

[Quiz]
北半球はNorthern hemisphere.では南半球は?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
Southern hemisphere

頭にsemiがつくものは他に,semiannual(年に2回),semifinal(準決勝)などがあります.また,hemiがつくものは,hemicylinder(円柱を縦に半分に切った雨どいのような形)があります.

因みに,demiもフランス語で半分の意味があり,tasseがコーヒーカップという意味なので,demitasse coffeeは小さいカップに入れたコーヒーのことをいいます.

そしてさらに,イギリス英語で quaver は音楽用語の8分音符,semiquaver は16分音符,demisemiquaver は32分音符,hemidemisemiquaver は64分音符という意味なんです.これは驚きですよね.

[Hemisphere 問題]
Calculate the spherical layer's volume that remains from the hemisphere after the v(=3) cm section is cut. The height of the hemisphere is r(=10) cm.     (Hemisphere Problems)

Jun 14, 2021

Vinculum

「分数の分子と分母の間の線」にも名前があります.日本では日頃あまり意識しないし,使うこともないのですが,実は2通りの呼び方があります.
vinculum(括線)
② fraction bar(分数線)
ところが,これらは他にもいろいろな意味があるので話が少々ややこしくなります.

まず以下の横線部分はすべて vinculum と呼ばれています.

1. radical(根号)$\sqrt{12345}$ 
2. repeating decimals(循環小数)$0.\overline{123}$
3. line segment(線分)$\overline{AB}$
4. complex conjugate(共役複素数)$\overline{z_1+z_2}$
5. negation of a logical expression(論理式の否定)$\overline{A∧B}$

さらに,$3-(2+1 )=3-\overline{2+1}$のように,括弧の代わりに使うこともできるようですが,この使い方はほとんど見ることがなく,ネットで探したらインドのものばかりでした.

つまり,vinculum は「分数の分子と分母の間の線」というよりは,その線の下の数式や文字式を括って(くくって)いる線(括線)のことだということになります.

[Quiz]
$\frac{3}{4}$は英語で何と読むでしょう?正しいものをすべて選びなさい.
①three quarters ②three over four ③three divided by four ④three by four ⑤quotient of three and four ⑥ratio of three to four ⑦three fourths

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
すべて正解.(ただし,three by four は 3×4 を意味する場合もあります.divided by, multiplied by を by だけに省略した形です.読み方ですから式を見て判断できます)

Fraction Bars
じゃあ vinculum ではなく,fraction bar の方が直訳で分かり易いのかなと思ったら,これも主には右図のような長方形を分割して分数を表したもののことをいいます.小学生の分数計算の学習によく使われているものですが,これにはさらに別名があって,fraction strips(日本語では「分数タイル」)とも呼ばれています.

ということは,vinculum も fraction bar も「分数の分子と分母の間の線」という意味を持つが,よく使われる別の意味もあるということです.ややこしいですね.

因みに,日本語で括線(かっせん)と同じ読みの数学用語である割線は,円や曲線のグラフ上の2点を通る直線のことで secant といいますが,この secant も reciprocal circular functions(割三角関数)の secant(正割)$\sec x=\frac{1}{\cos x}$という別の意味もあります.

さらに数学用語でない「かっせん」は他にもあり,cock(活栓)は管などを開閉するもの,live line(活線)は電流の通じている電線,battle(合戦)は雪合戦などのような「戦い」を意味します.

[vinculum 問題]
Express $0.\overline{1}+0.\overline{12}+0.\overline{123}$ as a fraction and decimal.
正解はこちら

[Reference]

What’s the line in a fraction called?
https://caterpickles.com/2017/11/28/whats-the-line-in-a-fraction-called/

Vinculum
https://mathworld.wolfram.com/Vinculum.html

Math.net Fraction bar
https://www.math.net/fraction-bar

Jun 6, 2021

Shear Transformation

いつもは英文の中で見つけた数学用語で意外なものを紹介することが多いのですが,この用語はその逆で,「等積変形」の英訳は何かを調べてみた結果の紹介です.

「等積変形」は日本の中学数学2の教科書に登場します.広い意味では,図形の面積を一定にしたまま形を変えることですが,ここでは特に三角形や平行四辺形で底辺の長さと高さを同じにしたまま,頂点や上辺を底辺に対して平行移動させることを意味しています.

[Quiz]
右図の三角形の面積は?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
2×5÷2=5

用語や短文などの翻訳や説明を互いに助け合うサイト KudoZネットワーク で,「等積変形」という用語に関して,その回答がnative speakerや英語教育従事者などからいくつか寄せられていました.それだけ適切な訳語が見つからない用語のひとつということになります.
find another shape with the same area
isometric transformations
equal area transformation
equivalent deformation
shaving the shape
shear transformation
congruence transformation
これらのうちほぼ「等積変形」と訳して良さそうなものは始めの4つですが,実際,英語のサイトでこの用語を使って,ここでいう「等積変形」を説明しているのを見つけることができません.また,equivalent は「命題の同値(⇔)」,congruent は「図形/整数の合同(≡/≅)」の意味で使われるのが定番ですから,これらをさらに「等積」の英訳とするのは難しい気がします.

Shear(せん断)は,もともと「刈る」とか「ハサミで切る」という意味ですが,平面幾何では上の方法で図形を変形させるという意味があり,これは"Translation"で紹介した shear transformation(直訳は「せん断変換」)と同じ意味になっています.実際,この用語だけは,検索するとその意味の内容のものが見つかります.したがって,shear transformation こそ,少し意訳になりますが「等積変形」を英訳する用語として最も適切ではないでしょうか.

[Shear Transformation 問題]

図のように4点A=(1, 5),B=(-1, 3),C=(2, 1),D=(1, 0)と,底辺が$x$軸上にあって上辺が点Aを通る四角形EFGHがある,この折れ線で分けられている左右の部分の面積が変わらないように,点Aを通る直線で左右を分けるとき,この直線の方程式を求めよ.
正解はこちら

[Reference]

May 24, 2021

Closure Property

いきなりクイズです.

[Quiz]
日本の数学Ⅲの教科書に登場する平均値の定理は次の誰の名前がつくでしょう?
①ロル ②ラグランジュ ③コーシー ④テーラー

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
②ラグランジュ

日本の教科書では数学用語として名前の出てこない概念や定理・公式などが,実は英語ではちゃんと名前があるという場合があります.

■発見者の名前がついていない例

Lagrange's mean value theorem(ラグランジュの平均値の定理)
平均値の定理はいくつかあります.その中で日本の高校数学Ⅲで登場する,「グラフ上の2点を結ぶ割線と等しい傾きを持つ接線がその間に存在する」という定理が「ラグランジュの平均値の定理」です.

Varignon's theorem(バリニョンの定理)
日本の中学数学2で出てくる「任意の四角形の各辺の中点を結んでできる四角形は平行四辺形になる」という定理です.

■用語として使われていない例

Scientific Notation(科学表記)
例えば$1.23×10^4$のような数の表し方(2021年度からの学習指導要領で中1で学ぶ内容から中3で学ぶ内容に移りました)をいいますが,日本の教科書では「(整数部分が1けたの数)×(10の累乗)の形」という言い方をしています.

Closure property も用語として使われていない例になります.日本語で「閉性」というので直訳で伝わりますが,日本の教科書では中学数学1と高校数学Ⅰで2回も登場するのに,この用語が使われていないというのが意外なのです.

例えば,整数×整数の結果は必ず整数になるので,このことを"the set of integers is closed under multiplication(整数の集合は掛け算について閉じている)"といいます.逆に,整数÷整数の結果は整数になるとは限らないので,"the set of integers is not closed under division(整数の集合は割り算について閉じていない)"といいます.

このような性質をclosure property(閉性)というのですが,日本の教科書にはこの用語は出てこず,「数の範囲と四則計算の可能性」といって,closedのことを「この範囲でいつでも計算できる」「その範囲で常に計算できる」というような言い方をしています.operation of arity two(2数の演算)の結果がまたその2数の属する集合の元になるという意味なので,この表現は少し違和感を感じますね.

このように2数(ある集合の元2つ)から1つの数(ある集合の元1つ)が得られる演算を,代数学ではbinary operation(二項演算)といい,一般には2つの集合A, Bの Cartesian product(デカルト積)A×B={(a, b)|a∈A,b∈B}からその演算結果の集合C{c|c∈C}へのmapping(写像)で定義されます.例えば$2\div 3=\frac{2}{3}$という計算は,(2, 3)を$\frac{2}{3}$に対応させており,この場合は,整数の集合と整数の集合のデカルト積$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$から有理数の集合$\mathbb{Q}$へのmappingになっています.

「ある集合が,ある演算について閉じている」という場合は,A=B=Cのときをいい,例えば上の整数の集合$\mathbb{Z} $では,足し算,引き算,掛け算の結果がまた整数になるので,これら3つの演算については閉じているといえます.文献によっては,このように閉じている場合だけをbinary operationという場合があります.

代数学は,以上の事柄を基本として,単位元,逆元の存在,ひとつの演算についての交換法則,結合法則,2つの演算についての分配法則を用いて,群,環,体という概念を定義し,3次,4次,5次方程式解法の理論へと発展していきます.

[Closure Property 問題]
Is the set {-1, 1} closed under addition, subtraction, multiplication and/or division?
解答はこちら

[Reference]
Binary operation
https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_operation
因みに,このサイトを参考にするのはいいのですが,日本語Wikiの「二項演算」というページは「この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか不十分です」となっており,内容も英語版とかなり違っていてあまり参考になりませんでした(この投稿公開日現在).

May 6, 2021

Elementary mathematics

どの国でもあると思いますが,その国で常識だと思われていることが,世界に目を向けたときに常識ではない,実はおかしいと感じることがよくあります.日本の教育関連で思いつくことをいくつか挙げてみると,
・年度始めが4月である.
・小学生だけがランドセルを使う.
・三学期だけ期間が短い.
・国立なのに女子大がある.
・教科名を小学校では「算数」,中学校以上では「数学」という.
etc....

[Quiz]
「数学」は英語で mathematics,または省略して math といいますが,小学校の教科名「算数」は英語でなんというでしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
 和英辞典にはarithmeticとあります.

逆にこの単語を英和辞典で調べると,算数の他に,算術,計算などの意味がありますが,算数以外の意味の方が近いように思われます.

しかも,この単語は英語圏で「算数」という意味にはとられないようです.日本の「算数」にあたる用語は,ずばり mathematics です.小学校で学ぶ math だと強調するなら elementary mathematics となります.ただこれは「初等数学」(大雑把に言えば小中高の数学)という意味にも使われているので,もう少し正確にいうと.elementary school mathematics となります.

海外の現地校やインターナショナルスクールの小中高は,六三三制よりも五三四制が多いので,日本の「算数」をもっと正確に言うなら,mathematics at Japanese elementary school になるでしょう.

「数について学ぶ」ことなので,小学校でも中学以上でも数学(math)ですよね.中国・台湾や韓国・北朝鮮でも小学校での教科名は「数学」だそうです.小学校だけ「算数」という名称を使っているのは日本だけのようです.日本の小学校でも「数学」で良いのではないでしょうか.

よく算数と数学の違いはこうだという,いかにももっともらしい説明をする書籍やサイト等が見られますが,後付けの印象を強く感じます.

平成29(2017)年改訂の小学校学習指導要領解説では,従来の「算数的」という表現を「数学的」に変え,「数学的活動を通して,数学的に考える資質・能力を育成することを目指す」とし,中高と同じような表現になりました.ところが教科名については,

小学校の時に具体物を伴って素朴に学んできた内容を,中学校では数の範囲を広げ,抽象的・論理的に整理して学習し直すことになる。そして,さらに高等学校・大学ではそれらが,数学の体系の中に位置付けられていく。以上のことから,小学校では教科名を「算数」とし,中学校以上の「数学」と教科名を分けている。

と書かれています.しかし,小学校では「具体的」で中学から「抽象的」になるからというのは,教科名を分ける理由にはなりません.具体的な数学もあれば抽象的な数学もあるからです.

文科省の他の文書も「算数・数学」とひとまとめにして述べる場合が多く見られますが,これらをまとめて「数学」だけにすれば,文章もすっきりして読みやすくなるでしょう.

文科省は,世界標準の小中高カリキュラム "International Baccalaureate (IB)" を実施する日本の学校を増やすため,高校の最後の2年間のカリキュラムDiploma Program (DP)の6教科のうち4教科を日本語でできる「日本語ディプロマ」を普及させようとしています.このように教育のグローバル化を目指す中で,小学校だけ「算数」という呼び方を残すのは時代遅れのような気がします.

日本の小学校も教科名を「数学」にするべきだと思います.

[Reference]

英語で「算数」はなんと言うの?│ arithmeticじゃないよ
https://www.sanctio.net/arithmetic/

Apr 19, 2021

Duck’s Egg

Duckはカモやアヒルのことです.ドナルドダックというキャラクターがありますが,その絵から判断すると,ダックはアヒルだとばかり思っていました.ただ,アヒルではなくてカモであることを強調したいときはwild duckといいます.また,よく騙される人のことをカモといいますが,これはeasy markというそうです.

Eggは卵ですから,duck's eggはアヒルの卵という意味になります.ニワトリより少し大きいそうですが,味はどうなんでしょうか? 一度食べてみたいものです.

さて,duck's eggの直訳はアヒルの卵となりますが,数学ではどんな意味があるのでしょう.これはその形から来ています.卵に似た数字は何でしょう? そう,0ですね.なので数字の0を表すのかと思ったら,zero point,すなわち全く得点できない0点のことなんです.ずばり,スポーツや試験の点数が0点のときにduck’s eggといいます.別にduckのではなくても単にeggでいいと思いますけどね.

[Quiz]
ドラえもん(1969年~)の野比のび太よりずっと前からテストで0点を取ることで有名だった漫画のキャラクターは誰でしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
丸出ダメ夫(1964年 - 1967年 週刊少年マガジン)

Zeroが数字の0という意味なのは当然ですが,もうひとつ,zero of a function(関数の零点)という概念があります.関数$y=f(x)$があるとき,$f(x)=0$となる$x$をzeroといいます.例えば,$f(x)=(x-1)(x-2)$のzeroは,$x=1, x=2$になります.つまり,関数=0という方程式の解のことです.英語ではzeroですが,日本語では零点といいます.

証明できたら100万ドル授与されるミレニアム問題のひとつであるリーマン予想は,ゼータ関数の自明でないzero(零点)の実数部分はすべて$\frac{1}{2}$であるというもので,2021年4月現在,未解決です.

因みに,oval(卵形線)と聞けば卵の形に近い曲線を思い浮かべますが,定義としては「内側の任意の2点を結ぶ線分がその曲線の中にある閉じた曲線」というもので,円や楕円はもちろん,陸上競技のトラックや三角形・四角形などの凸多角形も含まれます. 

Ellipse(楕円)の定義は,2つの焦点$S$, $T$からの距離の和$PS+PT$が一定である点$P$の軌跡で,2点からその距離より長い糸をピーンと張って描くことができます.

実際の卵の形に近い曲線としては,Ellipseに定義が似ている以下の2つが知られています.

■Cartesian oval(デカルトの卵形線)
2つの焦点$S(0,0)$, $T(c,0)$からの距離を$PS$, $PT$とするとき,$PS+mPT$が一定の値$d$である点$P$の軌跡で,方程式は次式になります.$$\left \{(1-m^2) (x^2+y^2)+2 m^{2}c x+d^{2}-m^{2} c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)\tag{1}$$これは2つの図形が現れ,定数の値によって,円や楕円や双曲線になったりします.GEOGEBRAで描いてみたので,定数をいろいろ変えてみてください.

なお,m=1の時は式$(1)$より楕円$$\left \{2c x+d^{2}- c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)$$となり,長軸を$2a$,短軸を$2b$として高校の教科書風に整理すると次式になります.$$\frac{\left(x-\frac{c}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Cartesian ovalは,アナログではEllipseと似た方法で描けますが,一方の糸だけ2重にするという方法をJames Clerk Maxwell (1831 - 1879)が見つけました.

<描き方>

            Ellipse                         Cartesian Oval

■Cassini oval(カッシーニの卵形線)
2つの焦点$S(-c,0)$, $T(c,0)$からの距離の積$PS \times PT$が一定の値$d^2$である点$P$の軌跡で,方程式は次式になります.$$ (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})+c^{4}=d^{4}\tag{2}$$

Cassini Oval (c=5, d=4.9 のとき)

[Duck’s Egg 問題]
Prove (1) and (2).
正解はこちら

Apr 17, 2021

Vanishing

この単語が邦題になっている映画が3つもあります.
●The Vanishing / Keepers(バニシング)2018年イギリス
無人島に灯台守としてやって来た3人の男の前に,金塊を大量に持った男とそれを追う男2人が現れ,金塊の争奪戦が起こります.
●The Vanishing(ザ・バニシング -消失-)1988年ドイツ
夫婦でオランダからフランスへ旅行に来たが,妻が突然いなくなり,夫が捜索するが見つからず,3年後に犯人から連絡が来ます.
●Live Like a Cop, Die Like a Man(バニシング)1976年イタリア
容疑者を次々に撃ち殺すので上司も手を焼いているという若い2人の刑事が,麻薬シンジケートの大ボスを追いかけます.

[Quiz]
新車を陸送する仕事の途中,スピード違反で警察に追いかけられても、ただひたすら車を走らせて逃げ続ける男を描いた1971年のアメリカ映画は何でしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
Vanishing Point

いずれも誰か,または何かがvanish(消失)する映画です.

さて前置きが長くなりましたが,数学で「消え失せる」なんていう意味の用語はあるのでしょうか.実は,値が0になることを vanish といいます.例えば関数$f(x)=(x-1)^2$は,$x=1$で$f(x)$の値が$0$ ($f(1)=0$) になりますから,このことを
the function $f(x)=(x-1)^2$ vanishes at $x=1$
と表します.単純に「$x=1$のとき$f(x)=0$」でいいんじゃないの?と思いますが,これも「少し気取った言い回し」(『数学版これを英語で言えますか?』保江邦夫著:講談社ブルーバックス)のひとつらしいので,こんな言い方も知っておいた方がよさそうです.

また,$x$が実数の時,関数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$は,$x$が大きくなるにつれて$f(x)$の値が0に近づきますが,このことを次のように言います.
the function $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ vanishes at infinity

さらに,vanish identically という場合がありますが,これはある時の値が$0$になるのではなく、恒等的に$0$に等しいということを意味しています.例えば,
$\sin ^2 \theta +\cos ^2 \theta -1$ vanishes identically
ということになります.

逆にどこも$0$にならない場合は、nonvanishingといい,例えば次のように表すことができます.
the values of $x^2+1$ are nonvanishing for real $x$
もちろん$x^2+1$は$x$が虚数の時にvanishすることがありますから,real $x$(実数の$x$)でないといけませんね.

因みに,3次式の因数分解をするには,factor theorem(因数定理)で因数をひとつ見つけた後,次の名前のついた2つの方法のいずれかですることができます.
vanishing method$$\begin{align} x^3-19x-30 &= x^3+2x^2-2x^2-4x-15x-30\\ &= x^2(x+2)-2x(x+2)-15(x+2) \\&= (x+2)(x^2-2x-15)\\&= (x+2)(x^2+3x-5x-15)\\&= (x+2)\{x(x+3)-5(x+3)\}\\&= (x+2)(x+3)(x-5)\end{align}$$
division method$$\begin{align} x^3-19x-30 &=  (x+2)(x^2-2x-15)\\&= (x+2)(x+3)(x-5))\end{align}$$①は無理やり因数を作っていく感じがしますが,「因数」→「値が0になる」→「消失する」ということでこんな名前がついたのでしょう.②は日本の高校の教科書に載っているやり方で,はじめに見つけた因数で割り算をする方法です.


Apr 4, 2021

Pizza Theorem

食べ物の名前のついた定理がいくつかあります.

Pancake Theorem(パンケーキの定理)は,「2つのパンケーキ(形は円でなくてもよいし,重なっていても離れていてもよい)は1つの直線でそれぞれを2等分できる」という定理で,それを3次元に拡張したものをHam Sandwich Theorem(ハムサンドイッチの定理)といいます.

Chicken McNugget Theorem(チキン・マックナゲットの定理)は,「互いに素な$m$個入り,$n$個入りパックの組み合わせで買えない最大の個数は$mn-m-n$個である」という定理で,もともとチキン・マックナゲットが9個入り,20個入りで販売されていたのが発祥の定理です.

Pizza Theorem(ピザ の定理)1968年
ピザ(この形は円でなければいけません)を,円内の任意の点Pを通る$2n$本の直線で中心角が$\frac{\pi}{2n}$ (radian) になる扇形みたいな図形$4n$個に分割したとき, 分割された各部分を2人で同じ方向に交互に取っていくと,その和がそれぞれ同じ面積になる.ただし,$n≥2$.

[Quiz]
n=1のときの分割は何本の直線でいくつに分割し,できたおうぎ形みたいな図形の中心角は何度でしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
2本の直線で4分割,中心角はπ/2(radian)=90°

n=2のとき4本で8分割,n=3のとき6本で12分割

上図でいうと,n=2のときは紫色と黄色の部分,n=3のときは緑色と橙色の部分の面積が等しいという定理です(1999年には「$n$人で交互に取っていっても,その和がそれぞれ同じ面積になる」ことが示されました).

n=1のとき,すなわち2本で4分割したときはなぜダメなのでしょう.

右図の円の半径をR,中心をOとします.点Pで直交する2本で4分割されたとして,中心Oを通る2本の直径とでできる9個の領域をa~iとすると,
  右上+左下=a+e+h+i+c=a+(i+g)+(i+f)+i+c
                      >a+g+f+i+c=$\frac{\pi R^2}{2}$
となり,右上+左下>半分>左上+右下になるからです.つまり,4分割では交互に取っても2人の取り分は同じ面積になりません.

n=2のとき,すなわち4本で8分割したときに定理が成り立つことを確認してみましょう.

右図で$PA=r(\theta)$,$PE=r(\theta+\frac{\pi}{4})$とすると,扇形みたいな形APEは,$\theta$を細かくすると,ほとんど扇形になるので,扇形の面積の公式$S=\frac{1}{2} r^2  \theta$より,$\varDelta S=\frac{1}{2} r(\theta)^2 \varDelta \theta$となりますから,この部分の面積$S_1$は$$S_1=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2}r(\theta)^2 d\theta$$となります.これから交互に4つ取ると,$$S_1+S_3+S_5+S_7=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2} \left \{ r(\theta)^2+r \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)^2+r(\theta+\pi)^2+r \left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)^2 \right \}d\theta$$となりますが,これは$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta\tag{1}$$となることが分かっていて(理由はこの後すぐ),するとこの続きは$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta=2R^2\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} d\theta=2R^2 \left[ \theta \right] _0^\frac{\pi}{4}=2R^2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi R^2}{2} $$となって,交互に取った1人分の面積はちょうど円の半分になることが分かります.

さて$(1)$の理由です.
$r(\theta)=PA=a$,$r(\theta+\frac{\pi}{2})=PB=b$,$r(\theta+\pi)=PC=c$,$r(\theta+\frac{3\pi}{2})=PD=d$とすると,$$R^2=OA^2=ON^2+NA^2=MP^2+NA^2=\left( \frac{b-d}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c}{2}\right)^2$$$$R^2=OB^2=OM^2+MB^2=NP^2+MB^2=\left( \frac{a-c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+d}{2}\right)^2$$辺々加えると,$$2R^2= \frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$$となり,$(1)$が示されました.

因みに,Wolfram MathWorld には the second pizza theorem というのが紹介されていて,こう書かれてありました(笑).
This one gives the volume of a pizza of thickness a and radius z:
pi z z a. 

Mar 30, 2021

Half-life

検索サイトで"half-life"と入力すると,この名前のゲームが上位にいくつも出てきます.Google翻訳では,"half-life"を「人生の半分」と答えます(2021年3月現在)が,通常「人生の半分」は"Half (of) one's life"といいます.「半生(はんせい)」は「〇〇の半生を描く」というように「それまでの人生」というような意味ですが,「半死半生(はんしはんしょう)は瀕死の状態を表します.実は最近まで「半生」は「はんしょう」と読むものだと思っていました.「人生」の半分だから「はんせい」と読むのでしょうが,「一生」の半分だから「はんしょう」と呼んでもいいのではないでしょうか.

[Quiz]
料理で火を通すのが不十分な場合「半生」と書きます.何と読むでしょうか?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
はんなま

さて,優れた翻訳で有名なDeepL翻訳では"half-life"を「半減期」と答えます.この訳は辞書にも載っていますが,減衰する放射性同位体の量が半分になるのにかかる時間のことをいいます.数学用語というよりは科学用語ですが,指数関数の応用問題には日英ともに頻出しています.

ある時の量$N$から時間$t$の経過につれて一定の割合$\lambda$(decay constant=崩壊定数)で減衰していることを微分方程式で表すと次式になります.$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$これを変数分離して解くと次のようになります.$\ln$はnatural logarithm(自然対数)です.$$\begin{align}\int \frac{1}{N}dN &= -\int \lambda dt\\ \ln |N|&=-\lambda t+C \\N&=e^C \cdot e^{-\lambda t}\end{align}$$

初期値(t=0のとき)$N_0$とすると,次の式で表せます.$$N=N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$これが$N_0$の半分になるので,半減期を$t_{1/2}$とすれば,$$N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}=N_0 \cdot \frac {1}{2}$$これを解くと,$$\begin{align} e^{-\lambda t_{1/2}} &= \frac {1}{2}\\ -\lambda t_{1/2} &= \ln{\frac{1}{2}} \\t_{1/2} &= \frac{\ln{2}}{\lambda} \end{align}$$例えば,化石の年代測定に使われるCarbon-14 (炭素14)$^{14}C$ の半減期は5730±40年なので,$t_{1/2} =5730$で計算すると,崩壊定数$\lambda \approx 1.21\times 10^{-4}$になります.

因みに,以上はPhysical half-life $T_p$(物理学的半減期)の話でしたが,生物が生きている間の代謝による放射性物質の半減期はBiological half-life $T_b$(生物学的半減期)といい,それらを合算したものをEffective half-life $T_e$(実効半減期)といい,次の関係があります.$$ \frac{1}{T_e} = \frac{1}{T_p} + \frac{1}{T_b} $$

[Half-life 問題]
Carbon-14 has a half-life of 5730 years. You are presented with a document which purports to contain the recollections of a Mycenaean soldier during the Trojan War. The city of Troy was finally destroyed in about 1250 BC, or about 3270 years ago. Carbon-dating evaluates the ratio of radioactive carbon-14 to stable carbon-12. Given the amount of carbon-12 contained a measured sample cut from the document, there would have been about 1.3 × 10^–12 grams of carbon-14 in the sample when the parchment was new, assuming the proposed age is correct. According to your equipment, there remains 1.0 × 10^–12 grams. Is there a possibility that this is a genuine document? Or is this instead a recent forgery? Justify your conclusions. (Purplemath)
正解はこちら

[Reference]

Half-life
https://en.wikipedia.org/wiki/Half-life

Purplemath "More Exponential Word Problems"
https://www.purplemath.com/modules/expoprob3.htm

Feb 17, 2021

Take off

youtube
飛行機が離陸する.
Airplane takes off.

このようにtake offは「離陸する」という意味がすぐに思い浮かびますが,他に「脱ぐ」,「外す」などの意味もあります.

[Quiz]
take off one hundred
はどういう意味でしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
100を引く

つまり,take offは(数を)引くという意味にも使われます.四則演算には,add(足す),subtract(引く),multiply(掛ける),divide(割る)がよく登場します.引き算はminusやdeductも使われますが,さらにtake offも使われます.

英国で2010年~2016年に活躍したOne Directionの"What Makes You Beautiful"という曲の替え歌 "Math Song"の歌詞に四則演算が含まれていて,この用語が出てきます.以下はその計算部分の抜粋です.上から順に,出た答に対してその次の計算をしていきます.最後にいくらになるでしょう?
OAP

half of four
add two threes
multiply by 60
add two
take off one hundred
add on 24
divide by two
add on seven more
divide the sum by three
add on the age of this OAP

最後のOAPは高齢年金者(Old Age Pensioner) の略で,60です(日本ではもう60歳での年金支給はありませんね).計算を確かめてみましょう.

half of four    $4\div2=2$

add two threes    $2+3+3=8$

multiply by 60   $8\times60=480$ 

add two    $480+2=482$

take off one hundred    $482-100=382$

add on 24    $382+24=406$

divide by two    $406\div2=203$

add on seven more    $203+7=210$

divide the sum by three    $210\div3=70$

add on the age of this OAP    $70+60=130$  ←正解

この他にも,例えば$2\times3 = 6$は,two multiplied by three is sixというよりも,two times three is sixという方が簡単でよく使われています.

日本の九九の表も,正式にはmultiplication tablesといいますが,もっとカジュアルにはtimes tablesといいます.しかも,9×9までではなくて,英国系では12×12まであります.

因みに,理系の論文作りによく使われる組版処理システム「LaTeX(ラテフ)」では,+と-はそのままの記号を使いますが,×は\times,÷は\divが使われています.また,電卓,アプリ,ウェブサイト等では÷という記号はあまり使われず,/ (Slash)や分数の形が使われることが多いですね.つまり$2\div3$よりも$2/3$,$\frac{2}{3}$と表される方が多いです.どれもtwo divided by threeと読みますが,分数ならもっと簡単にtwo over threeとかtwo thirdsとも読みます.

このように四則演算だけでもいろいろな表現がありますから,いろいろな用語の使い方を知っていなければ理解できない場合があります.

[Reference]

One direction - math song
https://www.youtube.com/watch?v=OyDzugtQmRw


Jan 27, 2021

Radii

図形(三角形,四角形など)がすべることなく転がるときに,その頂点のひとつが描くlocus(軌跡)の長さを考えてみましょう.


例えば上の図で1辺10の正三角形OABがすべることなく転がって1回転するとき,点Oのlocusは,radius(半径)が10,central angle(中心角)が120°のsector(おうぎ形)の弧2つ分になります.

日本では小中学校で度数法を使い,高校では弧度法を使ってsectorの弧の長さや面積を求めます.sectorのradiusをr,central angleを度数法で$a$°,弧度法で$\theta$(単位はradian)とすると,上図の弧のひとつの長さは次のようになります($\approx$は≒と同じ意味ですが,$\approx$の方が海外のテキストではよく見られます).

 小学校 円周 $\times\frac{a}{360}\approx 20\times 3.14 \times \frac{120}{360}=62.8\times \frac{1}{3}\approx20.9$

 中学校 $2 \pi r \times \frac{a}{360}=2 \pi  \times 10 \times \frac{120}{360}=\frac{20}{3} \pi $

 高校  $r \theta=10 \times \frac{2}{3}\pi=\frac{20}{3} \pi $

ちょうど1回転した場合のlocusはこの2倍なので$\frac{40}{3} \pi $になります.

さて,前置きが長くなりましたが,このsectorについての説明が,あるテキストにこう書かれてありました.

A part of a circle bounded by two radii is called a sector.
(新中学問題集中1数学英語版)

話の流れからこのradiiはradiusの複数形だと気づきますが,この形は珍しいですね.知らないと一瞬考えこんでしまいます.しかも調べてみたら,発音が réɪdiὰɪ(レイディアイ).私は最初,ラディイだと思いました.実はlocusも複数形はlociで発音はloʊsaɪ(ロウサイ).この形はラテン語が語源の単語に多いそうです.

[Quiz]
radiiはradiuses,lociはlocusesという表現も使えるでしょうか?
①どちらも複数形は2種類あって全部使える
②radiusの複数はradiiだけである
③locusの複数はlociだけである
④どちらも複数形は1種類だけである.

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
正解は③です.つまり,radiusの複数形はradiiでもradiusesでもいいのですが,locusの複数形はlociだけなんです.ややこしいですね

このradiiという用語から少しそれてしまいますが,sectorについての話をもう少し.

ここでのsectorは円の一部なので,そのことを強調する場合はcircular sectorといいます.なぜなら他にhyperbolic sector, spherical sectorがあるからです.下図の色のついた部分がcircular sector, hyperbolic sectorで,この場合の面積$S$はどちらも$\frac{t}{2}$になります.確かめてみましょう.

circular sector               hyperbolic sector

circular sectorは,面積の公式 $S=\frac{r^2 \theta}{2}$を使って,$r=1$, $\theta=t$なので,$S=\frac{t}{2}$

hyperbolic sectorは,点Pから$x$軸に垂線を下ろしてできる直角三角形から双曲線の下の部分を引きます.$$S=\frac{1}{2}\cosh t \sinh t - \int_1^{\cosh t} \sinh t dx \tag 1$$これを計算すると,$S=\frac{t}{2}$になります.

spherical sectorは球の一部分で,下図の2種類あります.左側は上に球の中心を頂点とする円錐形の穴が空いていて,open spherical sectorといい,右側の穴のないclosedのものはspherical coneといいます.Wolfram MathWorldで,体積はどちらも$V=\frac{2}{3}\pi R^2 h$になるとだけ書かれていて,求める式や計算がなかったので確かめてみました.

WolphramMathWorld

右側のconeは,circular sectorの回転体なので,その体積$V$は,縦を$x$軸として2つの回転体の和を考えると次の式で求められます.$$V=\frac{1}{3}\pi(R^2-(R-h)^2)(R-h) + \pi \int_{R-h}^{R} (R^2-x^2)dx \tag 2$$

左側のopenの場合も,2つの回転体の和から穴の部分を引けば体積が求められます.式中の$b$は$h$の上の球の頂上までの距離ですが,計算すると最後に消去されてしまいます.$$V=\frac{1}{3}\pi(R^2-(R-h-b)^2)(R-h-b)+\pi\int_{R-h-b}^{R-b}(R^2-x^2) dx $$ $$- \frac{1}{3}\pi(R^2-(R-b)^2)(R-b) \tag 3$$左右で$h$の値は異なりますが,体積は同じ$\frac{2}{3}\pi R^2 h$になります.

[Radii Question]

Calculate (1), (2), (3) above.

Answer

[Reference]

ラテン語由来の英単語の複数形
https://www.almamatersjk.com/gift-cactus/

Spherical Sector
https://mathworld.wolfram.com/SphericalSector.html

Nov 13, 2020

DMS

海外の数学のテキストは,real world(現実の世界)の事柄を扱ったword problem(文章題)が多いので,例えば2時間46分かかったとか,角度が53.7°だったなど,手計算では困難な値が頻繁に登場します.そのため,IB(国際バカロレア)をはじめ,米国のSATや英国のGCSEなど,多くの国で数学の授業にも試験にもGDC(グラフ電卓)が使われています.

さて,時間の単位は,hour(時)の下はMinute(分),Second(秒)となっています.これをまとめて時間の単位系をHMS (Hour, Minute, Second)といいます.

[Quiz]
角度の単位は,degree(度)の下は何でしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
時間と同じで,Minute(分),Second(秒)

角度はDMS (Degree, Minute, Second)という単位系になります.時間の方は日常的に使われていますが,角度の方はminuteやsecondまで使われることはあまりありませんね.

これに対して,hourやdegree未満を小数で表すdecimal hours (dh)(10進時間),decimal degrees (dd)(十進角)の方が計算は簡単ですが,時間の方はこの形で出題されることはあまりなく,この形に直して計算しても,最後に答をHMSで求められることが多いです.これを手計算でするとかなり面倒なことになります.

GDC "TI-84 Plus" の画面
世界で最もシェアの高いTexas Instruments社のGDCには,▶DMSというコマンドがあって,ddをDMSに変換してくれます.これを使えば,時間の方も全く同様にdhからHMSに変換できます.右図では,角23.76度を23度45分36秒に変換していますが,23.76時間を23時間45分36秒に変換したと思っても良いわけです.

因みに,decimal time(10進化時間)とは,18世紀末のフランス革命で導入されようとして定着しなかった「1日を10時間として,その100分の1を1分,その100分の1を1秒とする時刻の体系」です.Decimal timeの1時間は今の2時間24分になり,正午は5時ということになります.もしこれが定着していたら,時間の計算はもっと楽になっていたことでしょう.

[DMS Question]

(1) Convert 28°15’23” to decimal degrees
(2) Convert 36.39° to DMS

[Reference]

Abbreviations.com
https://www.abbreviations.com/

デシマルタイムの嘆き
http://www.ksplz.info/+museum/matsumoto/inst16.pdf

University of Idaho Student Learning Center
MATH Lesson 3: Trigonometry
https://www.webpages.uidaho.edu/learn/math/lessons/lesson03/3_01.htm


Sep 9, 2020

Inverse Method

直訳すると「逆の方法」という意味ですが,複数の分野でこの用語が使われています.

Linear Equation(一次方程式)

まず両辺に同じことをして同値関係を保つ「等式の性質」を使って一次方程式を解きます.

① $A=B$ ならば $A+C=B+C$
② $A=B$ ならば $A-C=B-C$
③ $A=B$ ならば $AC=BC$
④ $A=B$ ならば $A/C=B/C$
例えば,次のように一次方程式を解いた場合,\begin{eqnarray} 2x+5 &=& 13 \\ 2x+5-5 &=& 13-5 \\ 2x &=& 8 \\ \frac{2x}{2} &=& \frac{8}{2} \\ x &=& 4  \end{eqnarray}(a) 1行目の$+5$に対して2行目で両辺にその逆をする,すなわち$5$を引く
(b) 3行目の$2$×$x$に対して4行目で両辺にその逆をする,すなわち$2$で割る
以上の方法を inverse method といいます.

この意味を理解した後で次のように解くことができます.\begin{eqnarray}  2x+5 &=& 13 \\ 2x &=& 13-5 \\ 2x &=& 8 \\ x &=& \frac{8}{2} \\ x &=& 4 \end{eqnarray}(a) $+5$を右辺に移して$-5$にする transposing the term(移項)
(b) $2x$の$2$を右辺の分母に移す
以上の方法を transpose method といいます.


Simultaneous Equation(連立方程式)

簡単な例として,次の2元1次連立方程式\begin{eqnarray}    \left\{      \begin{array}{l}        x + y = 10 \\        2x + 4y = 32      \end{array}    \right.  \end{eqnarray}を行列で表して解くと.\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}  1 & 1 \\  2 & 4  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}  10 \\  32  \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}  1 & 1 \\  2 & 4  \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}  10 \\  32  \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}  2 & -\frac{1}{2} \\  -1 &  \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  10 \\  32  \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=&  \begin{pmatrix}  4 \\ 6  \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}

このように,n元1次方程式が行列で$AX=B$と表されている場合,解$X$を求めるのに,左から$A^{-1}$を掛けて,$X=A^{-1}B$と求める方法も inverse method といいます.

[Quiz]
演算の逆はinverse,では命題の「逆」は英語で何というでしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
Converse

[Reference]

How to Use the Transpose Method to Solve a Linear Equation? | Don't Memorise
https://www.youtube.com/watch?v=JQpKKXOSwlc

Aug 20, 2020

DST triangle

 







略語を集めたAbbreviations.comというサイトでDSTを調べると76個もの用語が掲載されていて,中には daylight saving time(夏時間)というなじみのあるものも見つけることができます.

DSTというと,Distanceの省略で「距離」という意味を思い浮かべる人も多いのではないでしょうか.自動車や自転車の積算計などに表示されているのをよく目にします.それにtriangleがつくと「距離の三角形」となって何のことだか分からなくなってしまいますね.

確かにこの用語だけをいきなり聞くと分かりにくいですが,数学用語として図を見ればすぐにピンと来るのではないでしょうか.Distance, Speed and Timeの頭文字でDST,その3つの関係を表したのが DST triangle です.すなわち,次の Distance, speed and time formulae(公式)を表しています.
$$\mathrm{Distance}=\mathrm{Speed}×\mathrm{Time}$$$$\mathrm{Speed}=\frac{\mathrm{Distance}}{\mathrm{Time}}$$$$\mathrm{Time}=\frac{\mathrm{Distance}}{\mathrm{Speed}}$$
以前ここで紹介したSOHCAHTOAと同じように,DSTの関係を分かり易く覚えようという工夫から生まれたもので,"Magic Triangle for Speed, Distance and Time"と呼ばれることもあります.

さらにこの関係の他の覚え方として,"Dad’s silly triangle"というのがあります.訳すと「お父ちゃんのしょーもない三角形」みたいになって変な文章になりますが,これは「しょーもない」校則を生徒が「それってしょーもない決まりやなあ」 "That's a silly rule" という言い方のパロディ(おやじギャグみたいなもの)で覚えようというhumorが感じられます(笑).

他にもMagic Triangleを使って表す関係で,MDV triangleというのがあります.Density(濃度),Mass(質量),Volume(体積)として次の関係を表しています.
$$\mathrm{Mass}=\mathrm{Density}×\mathrm{Volume}$$
$$\mathrm{Density}=\frac{\mathrm{Mass}}{\mathrm{Volume}}$$
$$\mathrm{Volume}=\frac{\mathrm{Mass}}{\mathrm{Density}}$$
日本の小中学校でよく登場する食塩水の濃度は,「質量パーセント濃度」といい,溶液全体の質量に対する溶質の質量の割合を表したものですが,MDVは「質量/体積パーセント濃度」といって,溶液全体の体積に対する溶質の質量の割合を表したものなので,混同しないようにしなければいけません.

日本にもDSTと同じような覚え方があって,ちのり(またはょり),やさ,かんの1文字目をとって,「みはじ」(または「はじき」)を〇の中に書くというのが有名ですが,これをただ覚えるだけでそれぞれの関係の意味を分かっていなければ良くないという意見もよく耳にするところです.

因みに,他にも「くもわ」というのがあって,「」は比べられる量、「」はもとにする量,「」は割合を意味していて,「比べられる量」は「もとにする量×割合」で求めることを基本として,「みはじ」と同様に覚えようというわけです.

[Quiz]
Triangleの"tri"は "3" の意味,では"quad"の意味は?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
4

[DST triangle Question]

(1) How long will it take Simon to jog a distance of 15 miles if Simon jogs at a steady speed of 6mph.

(2) Make a round trip on the same road.Going 60 km/h, returning 20 km/h. Find the average speed.


[Reference]

Abbreviations.com

Maths Bitesize - The DST Triangle

パーセント濃度について

Using the Magic Triangle for Speed, Distance and Time

Apr 5, 2020

Line Graph

直線は無限の長さを持つ真っ直ぐな線のことをいい,straight line または単に line ともいいますが,一般に line だけなら直線とは限りません.曲線は curved line または curve といい,線分も line segment または segment というので,これらも広い意味で line です.

[Quiz]
Rayは光線,放射線などの意味がありますが,数学ではどういう意味でしょう?

[Answer](この下の行をドラッグしてください)
半直線

Graph はだいたい line で描かれているので,line graphというと,結局すべての graph を表すのではないか,それならわざわざ line graph といわずに graph だけでいいのではないかと思いますが,実は line graph は折れ線グラフを意味しています.この英語を初めて聞くとまさか折れ線グラフだとは思いませんよね.

折れ線グラフは他にも言い方があって,line chart, polygonal line graph などとも言います.折れ線だけなら polygonal line, broken line とも言いますが,broken line は破線という意味もあります.

日本の小中高で登場する line graph といえば,上のグラフのように値の推移を区切りごとに表すグラフ,統計分野での frequency line graph(度数折れ線)= frequency polygon(度数多角形),右の y=|x| のような absolute value function(絶対値関数)があります.

因みに,make a line と言えば「列を作る」,全部大文字で LINE といえば多くの人が利用しているコミュニケーションアプリですよね.

[Line Graph 問題]
Draw the graph.
(1)  $y=||x|-2|$
(2)  $y=||||x-2|-1|-2|-3|$

解答はこちら

[Reference]
絶対値について
http://shochandas.xsrv.jp/graph/absolutevalue.htm