Dec 15, 2018

Cyclic Quadrilateral

Cyclicは,循環する,巡回する,周期的というような意味があります.では,循環するquadrilateral(四角形)とはどういう意味でしょうか.

同一円周上にある(共円である)ということをconcyclicといい,4頂点がconcyclicな四角形を cyclic quadrilateral といいます.日本語では円に内接する四角形 (inscribed quadrilateral) といいますが,英語ではinscribedよりcyclicの方がよく使われています.

Test for cyclic quadrilateral(共円条件)
A quadrilateral is a cyclic quadrilateral if any of the following is true:
1) one pair of opposite angles are supplementary.(対角の和が180°)
2) an exterior angle is equal to the interior opposite angle.(外角が対角に等しい)
3) one side subtends equal angles at the other two vertices.(1辺に対する2角が等しい)
(Further Mathematics HL Geometry: Haese mathematics)

以上の3つは,4点がconcyclic(四角形がcyclic)であるための条件で,3)は「円周角の定理の逆」です.この3つ以外に,「方べきの定理の逆」も共円条件になります.

因みに,4辺をa, b, c, dとするcyclic quadrilateralの面積$S$を求める Brahmagupta's formula(ブラーマグプタの公式)があります.
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

ここで$d=0$とすると三角形の面積を求める Heron's formula(ヘロンの公式)と一致します.
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし $s=\frac{a+b+c}{2}$

またcyclicではない一般のquadrilateralの面積$S$を求めるにはBretschneider's formula(ブレートシュナイダーの公式)があります.
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$
ただし $p$, $q$はdiagonal length(対角線の長さ)
この公式は,cyclic quadrilateralの場合,Ptolemy's theorem(トレミーの定理)より $ac+bd=pq$ となるので,Brahmagupta's formulaと一致します.

Heron's formula
一般化↓ ↑特殊化
Brahmagupta's formula
一般化↓ ↑特殊化
Bretschneider's formula

[Reference]
Cyclic Quadrilateral -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html