Magnitude

地震のエネルギーの大きさを表すのによく使われる"magnitude"という用語は，もともとは「大きさ」という意味で，英語では星の明るさ（等級）や音量（dBデシベル）などにも使われています．日本では地震用語以外に使われることはほとんどないですが，数学ではreal number（実数），complex number（複素数），vector（ベクトル）などに使われます．

Real number aのmagnitudeは
\begin{align}
&|a|=a&\text{if $a\geq0$}\\
&|a|=-a &\text{if $a<0$} \\
\end{align}で，real number line（実数直線）上での原点からの距離を表します．これはabsolute value（絶対値）またはmodulusと言われることが多く，関数$f(x)=|x|$はabsolute value function またはmodulus functionと呼ばれています．Complex number（複素数）c=a+biのmagnitudeは$$|c|=\sqrt{a^2+b^2}$$で，complex plane（複素平面）上での原点からの距離を表します．これもabsolute valueまたはmodulusと言われることが多いです．

2-vector（2次元のベクトル）$\pmb{v}=(a_1, a_2)$のmagnitudeも複素数と同じく$$|\pmb{v}|=\sqrt{ a_1^2+a_2^2}$$となり，ベクトルの大きさを表しますが，複素数は2次元のベクトルとみなせるので同じ式になります．同様に実数も1次元のベクトルとみなすことができます．

一般にn-vector（n次元のベクトル）$\pmb{v}=(a_1, a_2, \cdot\cdot\cdot, a_n)$のmagnitudeは$$|\pmb{v}|=\sqrt{ a_1^2+a_2^2\cdot \cdot \cdot+a_n^2}$$となります．Vectorの場合はmagnitudeと呼ばれることが多く，日本語で「ベクトルの大きさ」と言いますが，「ベクトルの絶対値」とは言わないので，それぞれ同じ意味なのに用語の使い方は微妙に異なっています．そしてこれらのすべて（magnitude，absolute value，modulus）をまとめて一般化したもので，次の3つの条件を満たすfunction（関数）$f(\pmb{v})=\parallel{\pmb{v}}\parallel$をnorm（ノルム）といいます．

\begin{align}
&\parallel{\pmb{v}}\parallel=0⇔\pmb{v}=\pmb{0}\\
&\parallel{a\pmb{v}}\parallel=\mid{a}\mid\parallel{\pmb{v}}\parallel\\
&\parallel{\pmb{u}+\pmb{v}}\parallel≤\parallel{\pmb{u}}\parallel+\parallel{\pmb{v}}\parallel\\
\end{align}

Normにもいろいろあり，次式はabsolute-value normといいます．$$\parallel{a}\parallel=|a|$$ベクトルの各成分の「平方の和の平方根」はEuclidean norm（2-norm）といって，これはベクトルの大きさにあたります．$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|a_i|^2}=\sqrt{ |a_1|^2+|a_2|^2+\cdot \cdot \cdot+|a_n|^2}$$各$a_i$に|  |がついていますが，これは$a_i$が複素数の場合も考えるからです．「p乗の和のp乗根」として一般化したp-normは$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p}}=\sqrt[p]{|a_1|^p+|a_2|^p+\cdot \cdot \cdot+|a_n|^p}$$となり，特にp=1のときはTaxicab norm (Manhattan norm)といって，格子上の2点間の最短経路にあたります．$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_1=\sum_{i=1}^{n}|a_i|=|a_1|+|a_2|+\cdot \cdot \cdot+|a_n|$$さらにpが$\infty$のときはmaximum normといって，n個の$|a_i|$のうちの最大値になります．$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_\infty=Max(|a_1|,|a_2|,\cdot \cdot \cdot,|a_n|)\tag{1}$$この式(1)を証明しておきましょう．$M=Max(|a_1|,|a_2|,\cdot \cdot \cdot,|a_n|)$とおくと，$M$は$|a_i|$のうちのひとつなので，$M\leq \parallel{\pmb{v}}\parallel_p$であり，さらに$\frac{|a_i|}{M}\leq1$なので，$$M\leq \parallel{\pmb{v}}\parallel_p=\left({\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p}}\right)^\frac{1}{p}=M\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{|a_i|}{M}\right)^p\right)^\frac{1}{p}\leq M\cdot n^\frac{1}{p}$$最右辺は$p\rightarrow\infty$のとき$M$になるので，Squeeze Theorem（はさみうちの原理）より，$\parallel{\pmb{v}}\parallel_\infty=M$となり，式(1)が証明できました．

アメリカの地震学者Charles Francis Richter（1900-1985）が考案した地震のmagnitude "Richter scale"は，震央から100km離れた標準地震計が記録した最大振幅$I$（単位はmicro metre=µm=$10^{-6}$m）と標準地震の振幅$I_0$（1 µm）の比の常用対数をとったもので，次式で計算します．

$$R=\log_{10}\frac{I}{I_0}$$

因みに，星の明るさや音量にも対数が使われています．

【Magnitude 問題】

Early in the century the earthquake in San Francisco registered 8.3 on the Richter scale. In the same year, another earthquake was recorded in South America that was four time stronger. What was the magnitude of the earthquake in South American?

（解答はこちら）

<Reference>
Foundations of Signal Processing (Cambridge University Press)
Understanding the proof that L∞ norm is equal to max{f(xi)}
http://math.stackexchange.com/questions/109615/understanding-the-proof-that-l-infty-norm-is-equal-to-max-fx-i

Earthquake Word Problems

http://www.sosmath.com/algebra/logs/log5/log56/log56.html