Crisscross Method

変数xについてのtrinomial （3項整式）の$x^2$の係数が1でないときに$$Ax^2+Bx+C=(ax+b)(cx+d)$$と因数分解をする場合，日本では主にcrisscross method（たすきがけ）を利用します．cross methodともいいますが，なぜcrisscrossなのでしょうか．語源は中世英語の"Crist's cross"で，もともと「キリストの十字架」という意味だそうですが，今ではcrossと同じように「十字形」「十字交差」という意味で，その形は「＋」または「×」を表します． 因みにchemistry（化学）の分野でもcrisscross methodがあり，数学の線形計画法などのoptimization（最適化）の分野ではcrisscross algorithmというものがあります．

日本ではこの形の因数分解で当たり前のようにこの方法を使いますが，海外ではいろいろな方法があります．ここでは$$Ax^2+Bx+C=acx^2+(ad+bc)x+bd$$すなわち，A=ac, B=ad+bc, C=bdとして話を進めます．なお，Aは0でも1でもない整数とします．

1. 係数A=ac，B=ad+bc，C=bdから直接求める方法
いろいろな場合を考えて，やり直しをしながら当てはまる数を見つける方法です．

1.1. Trial and Error Method (Guess and Check Method)
$(ax+b)(cx+d)$のa,b,c,dの場所を空白にして，当てはまる数を試行錯誤しながら（推測と確認をしながら）求めていきます．最も直接的で，書き直しが多く，時間がかかりそうですが，aとcはAの約数でbとdはCの約数なので，うまく数を見つけられれば速くできます．

1.2.

1.2. Crisscross Method (Cross Method), Chinese Method
いわゆる「たすきがけ」ですが，これも試行錯誤しながら当てはまる数を求めていきます．詳しくは日本の高校数学Ⅰの教科書を参照してください．

2. 係数AとCの積AC=adbcとB=ad+bcから求める方法
まずAC=adbcとB=ad+bcから，「積がACで和がBになる2数」，adとbcを求めます．これさえ求めればあとは試行錯誤しなくて済むのが大きな特徴です．この後のa,b,c,dの求め方によって，さらに細かく分類することができます．

2.1. Common factor（共通因数）
AC Method, Grouping Method, Product-and-Sum Method, Un-FOIL Method (Reverse FOIL Method), AC or Middle Term Splitting Method, British Method
見つかった2数を使って次のように変形します．$$acx^2+\pmb{ad}x+\pmb{bc}x+bd=ax(cx+d)+b(cx+d)=(ax+b)(cx+d)$$
2.2. Fraction（分数）
Diamond Method, X Method, X Factor Method, Star Method, Asterisk Method, California Method, Berry Method, Bottoms Up Method, Australian Method, Lizzie Method, ABC Method
図のようにadとbc に，acxやbdを掛けたり割ったりしてa,b,c,dを求めます．

2.2.

2.3.

2.3. Area（面積）
X Box Method, Box Method, Table Method, Umbrella and Box Method
田の字の箱で，4つの小長方形の面積の和が大長方形の面積になるように4つの項を決めます．

2.4. Table（表）
Tic-Tac-Toe Method
○×を並べていくゲーム"Tic Tac Toe（三目並べ）"と同じような3×3の表を使って，図のように値や式を当てはめていきます．左列と中列の積が右列，下段と中段の積が上段になっています．（部分積分にもこう呼ばれる解法があります）

2.4.

【Crisscross Method 問題】
上の2.1以降の方法で次の式を因数分解せよ．$$12x^2-61x-16$$（解答はこちら）