Metallic Means

連続する正の整数のmetallic means（貴金属平均）とは，第n項が

$$a(n)＝\frac{n＋\sqrt{n^2＋4}}{2}$$

となる数列をいい，貴金属数（metallic numbers/constants）または貴金属比（metallic ratios）とも呼ばれます．これはその数とその逆数との差が正の整数nになるもの，すなわち方程式

$$x-\frac{1}{x}=n$$

の正の解で，両辺にxを掛けて移項すれば，2次方程式

$x^2-nx-1＝0$

の正の解になっています．始めの3項は，
\begin{align}
a(1)&=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180... \\
a(2)&=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}=2.4142... \\
a(3)&=\frac{3+\sqrt{13}}{2}=3.3027... \\
\end{align}となり，a(1)は1と2の間の，a(2)は2と3の間の，a(3)は3と4の間の貴金属平均といいます．このa(1)は黄金比（golden ratio），a(2)は白銀比（silver ratio），a(3)は青銅比（bronze ratio）と呼ばれていて，貴金属平均は黄金比を一般化した数列ともいえます．（注）英語でratioは「比」も「比の値」も意味しますので，ここでは便宜上どちらも「比」と呼んでいます．

黄金比は、正五角形の対角線と辺の比であり，フィボナッチ数（Fibonacci number）の前後の項の比がこの値に近づいていくことが知られています．ここで、フィボナッチ数とは漸化式

$a(n+2)=a(n+1)+a(n)$

を満たす数列（直前の2項を加えると次の項になる数列）

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

のことで、1-Fibonacci numbersともいいます．

白銀比は正八角形の対角線と辺の比であり，ペル数（Pell number）という数列の前後の項の比がこの値に近づいていきます．ここで、ペル数とは漸化式

$a(n+2)=2a(n+1)+a(n)$

を満たす数列（直前の項の2倍とその前の項を加えると次の項になる数列）

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, …

のことで，2-Fibonacci numbersともいいます．

同様に青銅比も，ある数列の前後の項の比がこの値に近づいていきます．この数列は，Neil Sloaneという数学者がつくったオンライン整数列大辞典OEIS（On-Line Encyclopedia of Integer Sequences）というサイト（2015年8月現在で26万もの数列が登録されている）でのID番号がA006190である数列で，次の漸化式

$a(n+2)=3a(n+1)+a(n)$

を満たす数列（直前の項の3倍とその前の項を加えると次の項になる数列）

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, …

であり，例えばa(9)/a(8)は12970/3927=3.3027…と前後の項の比が青銅比に近づき，3-Fibonacci numbersともいいます．その後も漸化式

$a(n+2)=ka(n+1)+a(n)$

を満たす数列をk-Fibonacci numbersといいます．

また他にMetallic Means Family (MMF)というのがあって，2次方程式

$x^2-x-m＝0$

の解になっている数があります．m＝1の場合は黄金比ですが，m＝2のときの解は2となり，これをcopper mean，m＝3のときの解は

$$\frac{1+\sqrt{13}}{2}=2.8027...$$

となり，これをnickel meanといいます．このcopperは純銅で，bronzeは青銅です．青銅は純銅とスズとの合金ですが，オリンピックの銅メダルには青銅が使用されています．

因みに貴金属平均ではありませんが、

$\sqrt{3}＝1.7320...$

は白金比またはプラチナ比（platinum ratio）と呼ばれています．また，類似するものにplastic number（プラスチック数）というのもあって，これは3次方程式

$x^3-x-1＝0$

の実数解で，1.3247…になります．

<Reference>
Proceedings of the First International Conference on Smarandache Type Notions in Number Theory (American Research Press 1997)
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences