Squeeze Theorem

別名pinching theoremまたはsandwich theorem ともいいますが，squeeze theoremは日本では「はさみうちの原理」のことです．squeezeというと「搾る」とか「押しつぶす」というイメージがあるので，"pinching"や"sandwich"の方が合うような気がします．日本の数学Ⅲのthe limit of a function（関数の極限）では，$$\lim _{x\rightarrow 0}\frac {x} {\sin x}=1$$の証明に使われています．これは，$$\sin x<x<\tan x$$が成り立つので，各辺を$\sin x$で割ると$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$$になり，右辺の極限が1になることから，$\frac{x}{\sin x}$の極限も1になるというわけです．

海外の高校数学のthe limit of a sequence（数列の極限）の記述を見てみましょう．

The Squeeze Theorem

If we have sequences $\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\} $ and $\left\{c_n\right\} $ such that 

$a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}$ for all $n\in \mathbb{Z} ^{+}$ and $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=\lim\limits_{n \to \infty} c_n=L < \infty $

then 

$\lim\limits_{n \to \infty} b_n=L$.

The Squeeze Theorem says that if we can find two sequences that converge to the same limit and squeeze another sequence between them, then that sequence must also converge to the same limit.(Mathematics Higher Level Topic 9 Option Calculus - Cambridge University Press)

なぜ正の整数$\mathbb{Z} ^{+}$と書き，自然数$\mathbb{N}$と書かないのかというと，自然数には0を含む場合もあるからです．

【Squeeze Theorem 問題】
Use the Squeeze Theorem to find $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(2n)!}$
（解答はこちら）

the limit of a functionの厳密な定義には，Bolzano (1817)，Cauchy，Weierstrassらによって確立されたepsilon-delta definition（$\varepsilon$-$\delta$論法）を使います．$\lim\limits_{x \to c} f(x)=L$を証明するのに，「どんなに小さな正の数$\varepsilon$があっても，うまく別の正の数$\delta$を決めて$|x-c|<\delta$にすれば$|f(x)-L|<\varepsilon$にできる」ことを示すというものです．このままでは分かりにくいので最も簡単な例を見てみましょう．$f(x)=2x$で，$x$が1に近づくときに$f(x)$が2に近づくことを証明しましょう．当たり前のような感じがしますが，厳密な証明は次のようになります．
小さな正の数$\varepsilon$に対し，$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$と決めて，$|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}$とすれば，$$|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}\Leftrightarrow 2|x-1|<\varepsilon\Leftrightarrow |2x-2|<\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-2|<\varepsilon$$となって，$ |f(x)-2|<\varepsilon$を示すことができました．ここで$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$は，上の式を逆算することによって決めることができます．

因みにthe limit of a sequenceの場合は，epsilon-N definition（$\varepsilon$-N論法）となります．「どんなに小さな正の数$\varepsilon$があっても，あるNから先のnは$|a_n-L|<\varepsilon$にできる」ことを示します．これも簡単な例を見てみましょう．$a_n=\frac{n + 1}{2n}$で，$n$が限りなく大きくなるときに$a_n$が$\frac{1}{2}$に近づくことを証明しましょう．
小さな正の数$\varepsilon$に対し，$N=\frac{1}{2 \varepsilon }$と決めると，$n>N$では，$$n>\frac{1}{2 \varepsilon }\Leftrightarrow \frac{1}{n}<2\varepsilon\Leftrightarrow  \frac{1}{2n} <\varepsilon \Leftrightarrow \frac{n + 1 - n}{2n} < \varepsilon\Leftrightarrow \frac{n + 1}{2n} - \frac{1}{2} < \varepsilon$$となって，$ |a_n-\frac{1}{2}|<\varepsilon$を示すことができました．ここで$N=\frac{1}{2 \varepsilon }$は，上の式を逆算することによって決めることができます．

<Reference>
Cambridge University Press "Mathematics Higher Level Topic 9 Option Calculus"
Proving Limit of a Sequence using Epsilon N
http://mathhelpforum.com/calculus/206837-proving-limit-sequence-using-epsilon-n.html