May 7, 2016

SOHCAHTOA

三角比の覚え方です.直角三角形のある角$\theta$のsine(正弦), cosine(余弦), tangent(正接)の値は,hypotenuse(斜辺), opposite(対辺), adjacent(隣辺)を用いて,
$$\sin\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}}$$$$\cos\theta=\frac{\mathrm{adjacent}}{\mathrm{hypotenuse}}$$$$\tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$
と定義されます.英語では分数は分子から読みますから,例えばsinはopposite over hypotenuse(またはopposite devided by hypotenuse)なのでSOHという順になり,これらの頭文字をとって,SOHCAHTOAと覚えましょうというわけです.日本ではよく図のような覚え方が参考書などで紹介されています.$$\sin\theta=\frac{y}{r}, \quad \cos\theta=\frac{x}{r}, \quad \tan\theta=\frac{y}{x}$$海外では高校程度の教科書に,他の三角関数として,sine, cosine, tangentのreciprocal(逆数)であるcosecant(余割), secant(正割), cotangent(余接),まとめてreciprocal trigonometric function(割三角関数)がよく登場します.SOHCAHTOAと同じように,CHOSHACAOという覚え方があります.
$$\csc\theta=\frac{\mathrm{hypotenuse}}{\mathrm{opposite}}, \quad \sec\theta=\frac{\mathrm{hypotenuse}}{\mathrm{adjacent}}, \quad \cot\theta=\frac{\mathrm{adjacent}}{\mathrm{opposite}}$$このうちsecantとtangentは別の意味で,つまりsecantは割線,tangentは接線という意味でよく使われます.割線とは2点を通る直線という意味ですが,日本の高校教科書ではこの用語は使われていません.$$\csc\theta=\frac{r}{y}, \quad \sec\theta=\frac{r}{x}, \quad \cot\theta=\frac{x}{y}$$またinverse function(逆関数)であるarcsineまたは$\sin^{-1}$, arccosineまたは$\cos^{-1}$, arctangentまたは$\tan^{-1}$も,世界中でインターナショナルスクールを中心に広く普及している教育課程「国際バカロレア」の高校数学Higher Level(主に理系)では登場します.周期関数の逆関数は多価関数になるので,定義域を制限して一価関数にしたものを特に主値と呼び,最初を大文字で表します.例えば,sin30°=1/2なので,次式が成り立ちます.$$\mathrm{Arcsin}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=30^{\circ}$$

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