Acid Solution

数学で mixture problem（混合問題）と呼ばれるものに，次のようなものがあります．
　(1) 四則演算の混じった計算問題
　(2) 濃度の異なる溶液を混ぜる問題
　(3) 微分方程式の初期値境界値問題

数学用語ではなく化学用語の acid solution（酸溶液）は上の(2)の問題によく登場します．数学で solution といえば｢解｣という意味に使われますが，化学では｢溶液｣という意味があります．日本では濃度の異なる溶液を混ぜるのは salt water（食塩水）の問題が定番ですが，海外では acid solution がよく使われます．その種類はシュウ酸溶液，クエン酸溶液，グルコン酸溶液などいろいろありますが，酸の種類は特定されずに出題されることが多いです．例えば次の問題

An acid solution was made by mixing 5 gallons of an 80% acid solution and 7 gallons of a 50% acid solution. Find the concentration of acid in the new mixture.  (GreeneMath.com)

を 一次方程式で解くと次のようになります．

Let $x$ = the concentration of acid in the new mixture.

\begin{eqnarray}(5+7)\times\frac{x}{100}&=&5\times\frac{80}{100} + 7\times\frac{50}{100}\\ (5+7)x&=& 5\times80 + 7\times50\\ 12x&=&750\\x&=&62.5\end{eqnarray}

So, the concentration of acid in the new mixture is 62.5%.

解き方は食塩水の問題と同じなのですが，食塩の溶解度は100gの水に対し36g（水温20℃）なので，飽和濃度は 36÷136≒26(%) ですから，食塩水の濃度はそれ以下の設定にしなければいけません．それに対して acid solution の場合は濃度が 100% まであり得ますから，このようにどんなに高い濃度でも問題にすることができます．因みに 100%（純性）の acid は pure acid といいます．混合問題には，他にも alcohol（アルコール） や copper（銅）も使われます．それぞれ 100% のものはpure alcohol,  pure copper と呼ばれます．

余談ですが，砂糖の溶解度は 100g の水に対して 200g なので，これならどんな濃度でもOKかと一瞬思ってしまいますが，よく考えると，濃度は 200÷300≒67(%) が最大ですね．

[Question] (The answer follows after reference)

A local chemist made a solution that was 14% acid. He started out with 12 gallons of a 12% acid solution. He then added an unknown number of gallons of a 20% acid solution. How many gallons of the 20% acid solution did the chemist add to the initial acid solution?   (GreeneMath.com)

[Reference]

Mixture Word Problems Lesson
https://www.greenemath.com/College_Algebra/49/Mixture-ProblemsLesson.html

[Answer] (Drag below)

Let $x$ = the # of gallons of a 20% acid solution.

\begin{eqnarray}0.14(x+12)&=&0.2x+0.12\times12\\14(x+12)&=& 20x +144 \\ 14x+168&=&20x+144\\-6x&=&-24\\x&=&4\end{eqnarray}

So, the # of gallons of a 20% acid solution is 4.

Cartesian plane

MathsLinks

ここでの plane は飛行機ではなくて平面という意味です．2D（2次元）のグラフを描くのに xy-plane（xy平面）を使いますね．これは coordinate（座標）を使うので coordinate plane（座標平面）ともいいます．

日本では以上の2つの言い方が多いのですが，英書では1637年に著書「方法序説」で座標を考案した René Descartes（1596-1650）の名をとって Cartesian plane（デカルト平面）と呼ばれることが多いです。

なぜデカルトなのに，Cartesian（英語発音「カーティージャン」）と呼ぶのかというと，ラテン語名が Renatus Cartesius（レナトゥス・カルテシウス）というからなんです．日本語ではデカルトがよく使われているので，初めて Cartesian と聞くと誰のことだか分かりませんね．

2D以上の場合も含めると，Cartesian coordinate system（デカルト座標系）といい，orthogonal coordinate system（直交座標系）あるいはrectangular coordinate system（長方形座標系または矩形座標系）といういい方もあります．

[Quiz]
デカルトの著書『方法序説』（Discours de la méthode）の中の有名な言葉で，"I think, therefore I am." の日本語訳は何でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
我思う、ゆえに我あり

因みに，Cartesian product（デカルト積）または direct product（直積）という集合があります．これは，複数の集合から1つずつ要素をとりだしてできる組の集まりのことで，例えばA= {1, 2, 3}とB= {a, b}の Cartesian product A×Bは{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}になります．

2Dの Cartesian plane の座標は，(2, 3)とか$(\sqrt{2},\pi)$とかの（実数，実数）の形で表されるので，実数の集合$\mathbb{R}$と$\mathbb{R}$の Cartesian product $\mathbb{R}×\mathbb{R}$の要素になります．

また，$y=2x+3$，$x^2+y^2=4$， $z=x^2+y^2$ などの，2Dならxとy，3Dならx, y, zを用いる関数の表し方を Cartesian equation（デカルト方程式） といいます．それに対するものとして，polar equation（極方程式）やvector equation（ベクトル方程式）などがあります．例えば，原点中心で半径3の円を表す polar equation $r=3$，vector equation $|\vec{p}|=3$ は，$\sqrt{x^2+y^2}=3$ より，Cartesian equation は $x^2+y^2=9$となります．

[Cartesian plane 問題]
Eliminate the parameter t to find a simplified Cartesian equation of the form.
(1)  $x=2-t$，$y=6-3t$

(2)  $x=\cosh t$，$y=\sinh t$

正解はこちら

[Reference]

MathsLinks

https://mathslinks.net/links/cartesian-plane

Vinculum

「分数の分子と分母の間の線」にも名前があります．日本では日頃あまり意識しないし，使うこともないのですが，実は2通りの呼び方があります．

① vinculum（括線）
② fraction bar（分数線）

ところが，これらは他にもいろいろな意味があるので話が少々ややこしくなります．

まず以下の横線部分はすべて vinculum と呼ばれています．

1. radical（根号）$\sqrt{12345}$ 
2. repeating decimals（循環小数）$0.\overline{123}$
3. line segment（線分）$\overline{AB}$
4. complex conjugate（共役複素数）$\overline{z_1+z_2}$
5. negation of a logical expression（論理式の否定）$\overline{A∧B}$

さらに，$3-(2+1 )=3-\overline{2+1}$のように，括弧の代わりに使うこともできるようですが，この使い方はほとんど見ることがなく，ネットで探したらインドのものばかりでした．

つまり，vinculum は「分数の分子と分母の間の線」というよりは，その線の下の数式や文字式を括って（くくって）いる線（括線）のことだということになります．

[Quiz]
$\frac{3}{4}$は英語で何と読むでしょう？正しいものをすべて選びなさい．
①three quarters　②three over four　③three divided by four　④three by four　⑤quotient of three and four　⑥ratio of three to four　⑦three fourths

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）

すべて正解．（ただし，three by four は 3×4 を意味する場合もあります．divided by， multiplied by を by だけに省略した形です．読み方ですから式を見て判断できます）

Fraction Bars

じゃあ vinculum ではなく，fraction bar の方が直訳で分かり易いのかなと思ったら，これも主には右図のような長方形を分割して分数を表したもののことをいいます．小学生の分数計算の学習によく使われているものですが，これにはさらに別名があって，fraction strips（日本語では「分数タイル」）とも呼ばれています．

ということは，vinculum も fraction bar も「分数の分子と分母の間の線」という意味を持つが，よく使われる別の意味もあるということです．ややこしいですね．

因みに，日本語で括線（かっせん）と同じ読みの数学用語である割線は，円や曲線のグラフ上の2点を通る直線のことで secant といいますが，この secant も reciprocal circular functions（割三角関数）の secant（正割）$\sec x=\frac{1}{\cos x}$という別の意味もあります．

さらに数学用語でない「かっせん」は他にもあり，cock（活栓）は管などを開閉するもの，live line（活線）は電流の通じている電線，battle（合戦）は雪合戦などのような「戦い」を意味します．

[vinculum 問題]
Express $0.\overline{1}+0.\overline{12}+0.\overline{123}$ as a fraction and decimal.
正解はこちら

[Reference]

What’s the line in a fraction called?
https://caterpickles.com/2017/11/28/whats-the-line-in-a-fraction-called/

Vinculum
https://mathworld.wolfram.com/Vinculum.html

Math.net Fraction bar
https://www.math.net/fraction-bar

Elementary mathematics

どの国でもあると思いますが，その国で常識だと思われていることが，世界に目を向けたときに常識ではない，実はおかしいと感じることがよくあります．日本の教育関連で思いつくことをいくつか挙げてみると，
・年度始めが4月である．
・小学生だけがランドセルを使う．
・三学期だけ期間が短い．
・国立なのに女子大がある．
・教科名を小学校では「算数」，中学校以上では「数学」という．
etc....

[Quiz]
「数学」は英語で mathematics，または省略して math といいますが，小学校の教科名「算数」は英語でなんというでしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
 和英辞典にはarithmeticとあります．

逆にこの単語を英和辞典で調べると，算数の他に，算術，計算などの意味がありますが，算数以外の意味の方が近いように思われます．

しかも，この単語は英語圏で「算数」という意味にはとられないようです．日本の「算数」にあたる用語は，ずばり mathematics です．小学校で学ぶ math だと強調するなら elementary mathematics となります．ただこれは「初等数学」（大雑把に言えば小中高の数学）という意味にも使われているので，もう少し正確にいうと．elementary school mathematics となります．

海外の現地校やインターナショナルスクールの小中高は，六三三制よりも五三四制が多いので，日本の「算数」をもっと正確に言うなら，mathematics at Japanese elementary school になるでしょう．

「数について学ぶ」ことなので，小学校でも中学以上でも数学（math）ですよね．中国・台湾や韓国・北朝鮮でも小学校での教科名は「数学」だそうです．小学校だけ「算数」という名称を使っているのは日本だけのようです．日本の小学校でも「数学」で良いのではないでしょうか．

よく算数と数学の違いはこうだという，いかにももっともらしい説明をする書籍やサイト等が見られますが，後付けの印象を強く感じます．

平成29（2017）年改訂の小学校学習指導要領解説では，従来の「算数的」という表現を「数学的」に変え，「数学的活動を通して，数学的に考える資質・能力を育成することを目指す」とし，中高と同じような表現になりました．ところが教科名については，

小学校の時に具体物を伴って素朴に学んできた内容を，中学校では数の範囲を広げ，抽象的・論理的に整理して学習し直すことになる。そして，さらに高等学校・大学ではそれらが，数学の体系の中に位置付けられていく。以上のことから，小学校では教科名を「算数」とし，中学校以上の「数学」と教科名を分けている。

と書かれています．しかし，小学校では「具体的」で中学から「抽象的」になるからというのは，教科名を分ける理由にはなりません．具体的な数学もあれば抽象的な数学もあるからです．

文科省の他の文書も「算数・数学」とひとまとめにして述べる場合が多く見られますが，これらをまとめて「数学」だけにすれば，文章もすっきりして読みやすくなるでしょう．

文科省は，世界標準の小中高カリキュラム "International Baccalaureate (IB)" を実施する日本の学校を増やすため，高校の最後の2年間のカリキュラムDiploma Program (DP)の6教科のうち4教科を日本語でできる「日本語ディプロマ」を普及させようとしています．このように教育のグローバル化を目指す中で，小学校だけ「算数」という呼び方を残すのは時代遅れのような気がします．

日本の小学校も教科名を「数学」にするべきだと思います．

[Reference]

英語で「算数」はなんと言うの？│ arithmeticじゃないよ
https://www.sanctio.net/arithmetic/

Take off

youtube

飛行機が離陸する．

Airplane takes off.

このようにtake offは「離陸する」という意味がすぐに思い浮かびますが，他に「脱ぐ」，「外す」などの意味もあります．

[Quiz]

take off one hundred

はどういう意味でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）

100を引く

つまり，take offは（数を）引くという意味にも使われます．四則演算には，add（足す），subtract（引く），multiply（掛ける），divide（割る）がよく登場します．引き算はminusやdeductも使われますが，さらにtake offも使われます．

英国で2010年～2016年に活躍したOne Directionの"What Makes You Beautiful"という曲の替え歌 "Math Song"の歌詞に四則演算が含まれていて，この用語が出てきます．以下はその計算部分の抜粋です．上から順に，出た答に対してその次の計算をしていきます．最後にいくらになるでしょう？

OAP

half of four
add two threes
multiply by 60
add two
take off one hundred
add on 24
divide by two
add on seven more
divide the sum by three
add on the age of this OAP

最後のOAPは高齢年金者(Old Age Pensioner) の略で，60です（日本ではもう60歳での年金支給はありませんね）．計算を確かめてみましょう．

half of four    $4\div2=2$

add two threes    $2+3+3=8$

multiply by 60   $8\times60=480$ 

add two    $480+2=482$

take off one hundred    $482-100=382$

add on 24    $382+24=406$

divide by two    $406\div2=203$

add on seven more    $203+7=210$

divide the sum by three    $210\div3=70$

add on the age of this OAP    $70+60=130$　　←正解

この他にも，例えば$2\times3 = 6$は，two multiplied by three is sixというよりも，two times three is sixという方が簡単でよく使われています．

日本の九九の表も，正式にはmultiplication tablesといいますが，もっとカジュアルにはtimes tablesといいます．しかも，9×9までではなくて，英国系では12×12まであります．

因みに，理系の論文作りによく使われる組版処理システム「LaTeX（ラテフ）」では，＋と－はそのままの記号を使いますが，×は\times，÷は\divが使われています．また，電卓，アプリ，ウェブサイト等では÷という記号はあまり使われず，/ (Slash)や分数の形が使われることが多いですね．つまり$2\div3$よりも$2/3$，$\frac{2}{3}$と表される方が多いです．どれもtwo divided by threeと読みますが，分数ならもっと簡単にtwo over threeとかtwo thirdsとも読みます．

このように四則演算だけでもいろいろな表現がありますから，いろいろな用語の使い方を知っていなければ理解できない場合があります．

[Reference]

One direction - math song
https://www.youtube.com/watch?v=OyDzugtQmRw

DMS

海外の数学のテキストは，real world（現実の世界）の事柄を扱ったword problem（文章題）が多いので，例えば2時間46分かかったとか，角度が53.7°だったなど，手計算では困難な値が頻繁に登場します．そのため，IB（国際バカロレア）をはじめ，米国のSATや英国のGCSEなど，多くの国で数学の授業にも試験にもGDC（グラフ電卓）が使われています．

さて，時間の単位は，hour（時）の下はMinute（分），Second（秒）となっています．これをまとめて時間の単位系をHMS (Hour, Minute, Second）といいます．

[Quiz]
角度の単位は，degree（度）の下は何でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
時間と同じで，Minute（分），Second（秒）

角度はDMS (Degree, Minute, Second)という単位系になります．時間の方は日常的に使われていますが，角度の方はminuteやsecondまで使われることはあまりありませんね．

これに対して，hourやdegree未満を小数で表すdecimal hours (dh)（10進時間），decimal degrees (dd)（十進角）の方が計算は簡単ですが，時間の方はこの形で出題されることはあまりなく，この形に直して計算しても，最後に答をHMSで求められることが多いです．これを手計算でするとかなり面倒なことになります．

GDC "TI-84 Plus" の画面

世界で最もシェアの高いTexas Instruments社のGDCには，▶DMSというコマンドがあって，ddをDMSに変換してくれます．これを使えば，時間の方も全く同様にdhからHMSに変換できます．右図では，角23.76度を23度45分36秒に変換していますが，23.76時間を23時間45分36秒に変換したと思っても良いわけです．

因みに，decimal time（10進化時間）とは，18世紀末のフランス革命で導入されようとして定着しなかった「1日を10時間として，その100分の1を1分，その100分の1を1秒とする時刻の体系」です．Decimal timeの1時間は今の2時間24分になり，正午は5時ということになります．もしこれが定着していたら，時間の計算はもっと楽になっていたことでしょう．

[DMS Question]
(1) Convert 28°15’23” to decimal degrees

(2) Convert 36.39° to DMS

Answer

[Reference]

Abbreviations.com
https://www.abbreviations.com/

デシマルタイムの嘆き
http://www.ksplz.info/+museum/matsumoto/inst16.pdf

University of Idaho Student Learning Center
MATH Lesson 3: Trigonometry
https://www.webpages.uidaho.edu/learn/math/lessons/lesson03/3_01.htm

DST triangle

 

略語を集めたAbbreviations.comというサイトでDSTを調べると76個もの用語が掲載されていて，中には daylight saving time（夏時間）というなじみのあるものも見つけることができます．

DSTというと，Distanceの省略で「距離」という意味を思い浮かべる人も多いのではないでしょうか．自動車や自転車の積算計などに表示されているのをよく目にします．それにtriangleがつくと「距離の三角形」となって何のことだか分からなくなってしまいますね．

確かにこの用語だけをいきなり聞くと分かりにくいですが，数学用語として図を見ればすぐにピンと来るのではないでしょうか．Distance, Speed and Timeの頭文字でDST，その3つの関係を表したのが DST triangle です．すなわち，次の Distance, speed and time formulae（公式）を表しています．

$$\mathrm{Distance}=\mathrm{Speed}×\mathrm{Time}$$$$\mathrm{Speed}=\frac{\mathrm{Distance}}{\mathrm{Time}}$$$$\mathrm{Time}=\frac{\mathrm{Distance}}{\mathrm{Speed}}$$

以前ここで紹介したSOHCAHTOAと同じように，DSTの関係を分かり易く覚えようという工夫から生まれたもので，"Magic Triangle for Speed, Distance and Time"と呼ばれることもあります．

さらにこの関係の他の覚え方として，"Dad’s silly triangle"というのがあります．訳すと「お父ちゃんのしょーもない三角形」みたいになって変な文章になりますが，これは「しょーもない」校則を生徒が「それってしょーもない決まりやなあ」 "That's a silly rule" という言い方のパロディ（おやじギャグみたいなもの）で覚えようというhumorが感じられます（笑）．

他にもMagic Triangleを使って表す関係で，MDV triangleというのがあります．Density（濃度），Mass（質量），Volume（体積）として次の関係を表しています．

$$\mathrm{Mass}=\mathrm{Density}×\mathrm{Volume}$$

$$\mathrm{Density}=\frac{\mathrm{Mass}}{\mathrm{Volume}}$$

$$\mathrm{Volume}=\frac{\mathrm{Mass}}{\mathrm{Density}}$$

日本の小中学校でよく登場する食塩水の濃度は，「質量パーセント濃度」といい，溶液全体の質量に対する溶質の質量の割合を表したものですが，MDVは「質量/体積パーセント濃度」といって，溶液全体の体積に対する溶質の質量の割合を表したものなので，混同しないようにしなければいけません．

日本にもDSTと同じような覚え方があって，みちのり（またはきょり），はやさ，じかんの1文字目をとって，「みはじ」（または「はじき」）を〇の中に書くというのが有名ですが，これをただ覚えるだけでそれぞれの関係の意味を分かっていなければ良くないという意見もよく耳にするところです．

因みに，他にも「くもわ」というのがあって，「く」は比べられる量、「も」はもとにする量，「わ」は割合を意味していて，「比べられる量」は「もとにする量×割合」で求めることを基本として，「みはじ」と同様に覚えようというわけです．

[Quiz]
Triangleの"tri"は "3" の意味，では"quad"の意味は？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）

4

[DST triangle Question]

(1) How long will it take Simon to jog a distance of 15 miles if Simon jogs at a steady speed of 6mph.

(2) Make a round trip on the same road．Going 60 km/h, returning 20 km/h. Find the average speed.

Answer

[Reference]

Abbreviations.com

https://www.abbreviations.com/

Maths Bitesize - The DST Triangle

https://www.youtube.com/watch?v=8glfUANjBbY

パーセント濃度について

https://www.jikkyo.co.jp/material/pdf/web_ni_link/pel_chemistry/12/12_web_ni_link.pdf

Using the Magic Triangle for Speed, Distance and Time

https://owlcation.com/stem/Using-the-magic-triangle-for-speed-distance-and-time-compound-measures

At Most

｢a は b 以下である｣ことを不等号を使って表すとき，日本では a ≦ b，海外では a ≤ b と表すことが多いです．

日本語では「a 小なりイコール b」（日本語とカタカナ英語が混じって気持ち悪い）または「aはb以下」と読み，英語では a is less than or equal to b と読みます．ただ他にも，a is at most b（直訳すると｢aは多くともb｣）など，いくつかの表現があります．

(1) a ≤ b or a ≼ b（a 小なりイコール b）（a は b 以下）

        a is at most b                                        a is no greater than b

        a is less than or equal to b                      a is not more than b

        a is b or less                                          a is no more than b

        a is not greater than b                            a does not exceed b

        

(2) a > b（a 大なり B）（a は b より大きい）

        a is greater than b                                 a exceeds b

        a is more than b                                    a is in excess of b

(3) a ≥ b or a ≽ b（a 大なりイコール b）（a は b 以上）

        a is at least b                                         a is no less than b

        a is greater than or equal to b                 a is not fewer than b

        a is b or more                                        a is no fewer than b

        a is not less than b

(4) a < b（a 小なり B）（a は b 未満）

        a is less than b                                       a is fewer than b

        a is up to b

(5) 次のような表現もあります．

        a ≪ b    a is much less than b

        a ≫ b    a is much greater than b

[Quiz]

mostは何の最上級でしょうか？

[Answer]（下の行をドラッグしてください）

many，much 

いろいろな言い方があるものですね．自分から伝えるときはひとつの表現だけでも相手に通じますが，読んだり聞いたりするときは異なる表現も知っておかないと理解できないことがあります．書いたり話したりするのが上手でなくても相手は理解してくれますが，読んだり聞いたりする力が不十分だとコミュニケーションがとりにくくなります．最近英語4技能が重要と言われますが，話すより聞く，書くより読むことのほうが大切ではないでしょうか．

[at most 問題]

Find the polynomial $q$ of degree at most 3 satisfying $q(-1) = -1, \ q(0) = 1, \ q(1) = 3, \ q(4) = -1$.

解答はこちら

[Reference]

Chegg Study
https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/2-find-polynomial-q-degree-3-satisfying-9-1-1-9-0-1-9-1-3-q-4-1-q40397264

Oneth

YouTube, What does twenty-oneth mean?

｢1番目という意味なら，oneth じゃなくて first でしょう｣といいたくなりますね．さすがに1番目を oneth とはいいませんが，21番目 (twenty-first) を，非標準ながら  twenty-oneth といったり，数列などで n+1番目 (n plus first) を n plus oneth といったりする場合があります．

分数の分母に使われる場合は，例えば$\frac{1}{21}$ (one twenty-first), $\frac{2}{21}$ (two twenty-firsts) を，one twenty-oneth, two twenty-oneths ということもあります．しかし，分数は one over twenty-one とか one divided by twenty-one とかいう方がずっと簡単ですよね．

また，oneth 単独では$\frac{1}{1}$という意味にも使われます．分数の割り算で，｢$\frac{1}{2}$で割ることは，$\frac{2}{1}$をかけることに等しい｣と表現するとき，整数の2をあえて$\frac{2}{1}$と表し，two oneths といういい方ができます．

一の位（桁）は units place(/digit) または ones place, 十の位は tens place, 百の位は hundreds place といいます．小数点以下は，十分の一の位が tenths place，百分の一の位は hundredths place というので，一分の一の位は oneths place といえそうですが，$\frac{1}{1}$は1と一致するので，この位はありません．つまり，ones place（一の位）の下は，decimal point（小数点）をはさんで tenths place（十分の一の位）になります．

[Oneth 問題]

You can have decimal oneths. Is this true or false?
(by ProProfs quiz maker)

（正解はこちら）

[Reference]

英辞郎 on the WEB "oneth"
https://eow.alc.co.jp/search?q=oneth

ProProfs quiz maker, Grade 7 Math Quiz
https://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=grade-7-math-quiz

PEMDAS / BODMAS

これはOrder of Operations（演算の優先順位）です．三角比のSOHCAHTOAと違い，地域によって異なる覚え方があります．

USA
PEMDAS（ペムダス）
Parentheses（括弧）, Exponents（累乗）, Multiplication（掛け算）, Division（割り算）, Addition（足し算）, Subtraction（引き算）
よく教えられる覚え方 "Please Excuse My Dear Aunt Sally"

UK系
BODMAS（ボドゥマス）または　BIDMAS（ビドゥマス）
Bracket（括弧），Order/Indices（累乗），Division，Multiplication，Addition, Subtraction

CANADA / NZ
BEDMAS（ベドゥマス）
Bracket, Exponents, Division, Multiplication, Addition, Subtraction

このようにいくつかの単語の頭文字を並べて新しい単語になったものをacronym（頭字語）といいます．ただこのままの順番だと，$×$と$÷$に，または$+$と$-$に優先順位があるような誤解を生む可能性があるので，正確には以下のように解釈しなければいけません．
　　1. まず（　）の中を先に計算
　　2. 次に累乗を計算
　　3. $+-$より$×÷$を優先し，$×÷$だけの部分は左から右へ計算
　　　（割り算は｢逆数の掛け算｣にしてもOK）
　　4. $+-$だけになったら左から右へ計算
　　　（足す数と引く数をまとめてから計算してもOK）

WolframAlpha

また，連続する累乗$a^{b^c}$を，このように右肩に小さい数字を書いていく場合は最も右上から順に計算しますが，a^b^cのように表す場合は，2通りの計算順序があって国際的な同意は得られていません．例えばMathematicaによる計算サイトWolframAlphaでは2^3^2=2^(3^2)=2^9=512と計算し，世界シェアトップクラスのTI 84 PlusというGDC（グラフ電卓）では2^3^2=(2^3)^2=8^2=64と計算します．

TI 84 Plus

[PEMDAS / BODMAS 問題]

Find the value of  $12/3x-3+4$  when $x=2$.

正解はこちら

[Reference]

Order of Operations PEMDAS
https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html

Exponentiation Associativity and Standard Math Notation
https://codeplea.com/exponentiation-associativity-options

Directed Numbers

日本では，中学1年生の数学で初めて負の数（negative numbers）が登場します．教科書には｢ーのついた数｣とも書かれています．もちろん小学校まで使っていた0より大きい数も，あらためて正の数（positive numbers）と呼び，正の数と負の数をまとめて｢正負の数｣と呼んでいます．英書ではこれらをdirected numbers（向きのある数）またはsigned numbers（符号のついた数）という場合があります．つまり，directed numbersもsigned numbersも意訳すれば｢正負の数｣ということになります．Directed numbersを中国語では有向數といいますが，日本語で有向数という用語はあまり使われません．また，signed numbersを符号数と呼ばないのは，signature（符号数）という別の意味の数があるからです．

ところで，英書で負の数に（　）をつけていないのを目にすることがあります．例えばよく

$-3+-4=-7$

negative 3 plus negative 4 equals negative 7

と書かれています．負の数に（　）をつけるのが当たり前の日本では，少し違和感を感じますが，（　）がないからといって間違いではありません．

さて，なぜa negative times a negative equals a positive（負の数×負の数＝正の数）となるのでしょうか．私の好きなのは次のような説明です．東向きに時速4kmで歩いている人は，2時間後には8km東に居ます．西向きに時速4km（東向きに時速－4km）で歩いている人は，2時間前（－2時間後）には8km東に居ました．同じところに居るので，$$4\times 2=-4\times -2$$ということになります．

借金と借金を掛けて財産になるというのはおかしな話です．この歴史的な議論を，数学者遠山啓(1909-1979)が著書「数学入門」(1959)で詳しく紹介しています．彼はこの中で「がんらい金高と金高をかけても無意味なのである」と述べています．速度と時間の積は意味がありますが，借金と借金の積は意味がありません．私たちは意味があるから，必要だから計算するのであって，意味のない計算はしないのです．

[Reference]
｢数学入門｣ 遠山啓著 (岩波新書)

Radix Point

実数のinteger part（整数部分）とfractional part（小数部分）を分ける点，すなわち小数点という意味の英語はdecimal pointだとばかり思っていましたが，この言い方はdecimal system（10進記数法）の場合だけの呼び方でした．確かにもともとdeciは，deciliterとかdecimeterのように10分の1という意味ですね．

例えば数字を0と1しか使わないbinary system（2進記数法）の場合のそれはbinary point（2進小数点）といいます．従って，正確にいうとdecimal pointは10進小数点ということになります．そして，これらn進小数点をまとめてradix point（基数点）といいます．

Hexadecimal system（16進記数法）の例も見てみましょう．Decimal systemでは10個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9を使いますが，hexadecimal systemでは16個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F を使います．AからFはdecimal systemでの10から15に当たります．なので，例えばhexadecimal systemではAB.Cもひとつの数を表しています．これをdecimal systemで表すと次のようになります．

$AB.C_{16}=10×16^1+11×16^0+12×16^{-1}=160+11+\frac{12}{16}=171.75$

ABとCの間の点はhexadecimal point（16進小数点），171と75の間の点はdecimal point，そしてこれらは両方ともradix pointということになります．

もともとラテン語であるradixは，根とか根源という意味があり，英語ではrootに相当します．数学でradixは（記数法・対数などの）基数（または底）という意味で使われています．例えば，10進記数法のradixは10で，2進記数法のradixは2，常用対数$\log_{10}x$のradixは10となります．

因みに，平方根を表すradical symbol（根号√）は，radixの頭文字の r を変形したものであるといわれています．上に横棒を引くのはデカルトが始めたそうです．　

[Radix Point 問題]

Fill the blanks.

解答はこちら

[Reference]
Decimal-Binary-Hex-Base7 Conversions with Radix Points
https://electronics.stackexchange.com/questions/131331/decimal-binary-hex-base7-conversions-with-radix-points

Fractional Part

Fractionは分数という意味なので，fractional partは分数部分ということになるはずですが，これはdecimal partとまったく同じ意味に使われていて，分数部分と訳されることは少なく，小数部分または端数部分と訳されています．もともとfractionは端数や破片という意味もあるので，端数部分というならまだ頷けますが，小数部分と訳されることが多く，少し違和感があります．でもこれはひとつの意訳と理解すればいいかも知れません．英語のサイトで検索すると，"decimal part"よりも"fractional part"のほうがより多く現れます．ただし後者は別の意味（図形の一部など）でも登場します．

正の数xのinteger part / whole part（整数部分）はガウス記号を使って$[x]$（xを超えない最大の整数），fractional partは$x-[x]$と定義されています．xのfractional partは{x}と表すこともありますから，その表記を使うと$x=[x]+\{ x \}$，すなわちx=(integer part)+(fractional part)になります．

例えば，2.236のinteger partは2，fractional partは0.236となり，$\sqrt{5}$のinteger partは2，fractional partは$\sqrt{5}-2$になります．記号で表すと，$[2.236]=2$，$\{ 2.236 \}=0.236$，$[\sqrt{5}]=2$，$\{ \sqrt{5} \}=\sqrt{5}-2$となります．

さて，xが負の数の場合，integer partとfractional partの定義は3つもあります．いずれもx=(integer part)+(fractional part)になります．

Definition A. 正の数と同じ定義で，日本ではほとんどこの定義が採用されています．ガウス記号$[x]$と同じ意味のfloor function（床関数）$\lfloor x \rfloor$を使うと，integer partが$\lfloor x \rfloor$，fractional partが$x-\lfloor x \rfloor$と表されます．

例えば，$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor -1.8 \rfloor=-2$，fractional partは$-1.8-\lfloor -1.8 \rfloor=-1.8-(-2)=0.2$になります．

Fractional Part Function by Def. A 

Definition B. Integer partを$\lfloor |x| \rfloor$，fractional partを$|x|-\lfloor |x| \rfloor$，すなわち絶対値で正の数にしてから定義Aと同様にします．正の数はその絶対値が等しいので，正の数もまとめてこの式で表すことができます．

例えば，$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor |-1.8| \rfloor=1$，fractional partは$|-1.8|-\lfloor |-1.8| \rfloor=1.8-1=0.8$になります．

Fractional Part Function by Def. B

Definition C. 負の数のinteger partをceiling function（天井関数）$\lceil x \rceil$（x以上の最小の整数）で定義し，fractional partは$x-\lceil x \rceil$と定義します．正の数もまとめて1つの式にすれば，$\mbox{sgn}(x)･\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$（ただし$\mbox{sgn}(x)$は$x$の符号）となります．

例えば，$x=-1.8$のinteger partは$\lceil -1.8 \rceil=-1$，fractional partは$-1.8-\lceil -1.8 \rceil=-1.8-(-1)=-0.8$になります．

Fractional Part Function by Def. C

以上まとめると，fractional partの3種類の定義は次のようになります（$\lfloor \ \ \rfloor$を$[ \ \ ]$と表しても同じです）．

Definition A　$x-\lfloor x \rfloor$

Definition B　$|x|-\lfloor |x| \rfloor$

Definition C　$\mbox{sgn}(x)･\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$

複数の定義があることについて，数式処理システムMathematicaを使用しているWolframMathWorldのFractional Partについてのページでは，"there is no universal agreement"と書かれていて，私がよく利用するWolframAlphaやGeogeblaでは定義Cを採用しています．

[Fractional Part 問題]
Let $x$ be a positive number such that
$x^2+\{ x \}^2=27$        ({$x$} : the fractional part of $x$)
Find $x$.
(by BRILLIANT.org)

解答はこちら

[Reference]
Fractional Part
http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html
Fractional Part Function
https://wiki.geogebra.org/en/FractionalPart_Function
Fractional part
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_part
Fractional Part Function
https://brilliant.org/wiki/factional-part-function/

Natural Number

Natural number（自然数）は，用語としては簡単ですが，意外なのはその定義が異なる場合があるということです．日本の学習指導要領で，natural numberの定義はpositive integer（正の整数）{1, 2, 3, ....} なので，これが当然のように思われますが，場合によってはnon-negative integer（負でない整数）{0, 1, 2, 3, ....} をnatural numberとする場合があります．つまりnatural numberに0を含む場合があるということです．海外の数学教科書には，natural numberに0を含む場合と含まない場合が混在しています．

ISO = International Organization for Standardization（国際標準化機構）が2009年に公表したISO 80000-2は，数学記号について定義している国際規格ですが，ここでは次のように書かれています．

2-6.1　$\mathbb{ N }$
the set of natural numbers,
the set of positive integers and zero
$\mathbb{ N }$ = {0, 1, 2, 3, ...}
$\mathbb{ N }^*$ = {1, 2, 3, ...}

この記述から判断するならば，自然数に0を含むのが国際標準といえそうです．余談ですが，ISO 80000-2英語版では"positive integer"なのにWikipedia日本語版の"ISO 80000-2"が「正の数」となっていたので，「正の整数」に訂正しておきました．これで修正したのは，たぶん5～6回目ぐらい，アカウント登録してからは2回目です（笑）．

Whole number も integer（整数），またはpositive integer（正の整数），またはnon-negative integer（負でない整数）と説明されることがあり，定義がはっきりしないのですが，英語の本にはよく登場します．この3つの定義のどれかを掲載している辞書が多いのですが，ここ（THE FREE DICTIONARY）だけは3つの意味を併記していました．

whole number
1. A member of the set of positive integers and zero.

2. A positive integer.

3. An integer.

Counting number {1, 2, 3, ....} は文字通り「数える数＝計数」ですが，意味はpositive integer（正の整数）で，比較的低学年の教科書によく登場します．

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences = OEIS（オンライン整数列大事典）にはnatural numberの項目はなく，以下のようになっています．

A000027 {1, 2, 3, ...}
The positive integers. Also called the natural numbers, the whole numbers or the counting numbers, but these terms are ambiguous（しかしこれらの用語は曖昧）. 

A001477 {0, 1, 2, 3, ...}
The nonnegative integers.

因みにOEISのA000045:Fibonacci numbers（フィボナッチ数）は，F(n)=F(n-1)+F(n-2) with F(0)=0 and F(1)=1と定義されていますが，Wikipediaでは，F(1)=1 and F(2)=1が併記されています．これは，数列の初項を0, 1のどちらからでも始めていいという意味だと思われます．

また，WolframMathWorldでは以下のように述べられています．

「自然数」という用語は、 「正の整数」{1,2,3,...}（OEIS A000027），「負でない整数」{0,1,2,3,...}（OEIS A001477）の中にあるが，自然数に0を含めるかどうかに関する一般的な合意はない．基準となる用語がないため， "counting number"，"natural number"，"whole number"より，"positive integer"，"non-negative integer"という用語を使用することを推奨する．

国立教育政策研究所が2016年に実施した「平成28年度全国学力・学習状況調査」の中学校第3学年数学Aにこんな問題が出てしまいました．

1  (2)  次のア～オまでの中から自然数をすべて選びなさい．
ア -5    イ 0    ウ 1    エ2.5    オ 4

正答例はウとオなんですが，海外で教育を受けた帰国生の中にはイも正解として答えた生徒もいるはずです．気になったので主催者にこのことを説明して何らかの考慮をしないのか問い合わせてみましたが，案の定「正答例の通りで，特に考慮はしない」との回答でした．

[Reference]
Natural Number
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
ISO 80000-2
https://ja.wikipedia.org/wiki/ISO_80000-2
Natural Number
http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html
平成28年度全国学力・学習状況調査問題・正答例・解説資料について
http://www.nier.go.jp/16chousa/16chousa.htm

Rise Over Run

英語で分数$$\frac{a}{b}$$は"a over b"とか，"a divided by b"と読みます．このrise over runは，分数$$\frac{rise}{run}$$のことで，直訳すれば「登り／走り」となりますが，意味はグラフでいうと，"vertical change / horizontal change"（垂直方向の変化／水平方向の変化），または「y軸方向の変化量／x軸方向の変化量」，または「yの増加量／xの増加量」．さらに言い換えると，正比例のconstant of proportionality（比例定数），一次関数のslope or gradient（傾き），関数のrate of change（変化の割合）またはaverage rate of change（平均変化率），グラフのsecant line（割線）の傾き，運動ではaverage velocity（平均の速度）を意味します．

動画サイトで関連のものを探したら，Slope = Rise over Run. "You have to RISE before you RUN"というのがありました．やはり，英語で分数は上から読むからでしょう．

因みに，接線はtangent line，微分係数（瞬間変化率）はinstantaneous rate of changeといいます．

Long Division

Quotient-remainder theorem（商と余りの関係 or 割り算の原理）より，整数や整式はA÷Bに対して商Qと余りRが必ずあり，

A=BQ+R  (0≤R<B)

となることから，この割り算で商と余りを求めることを，Euclidean division（ユークリッド除法）またはentire division（整除法）といい，そのための筆算をlong division（長除法）といいます．Longに対してshort division（短除法）は，下に計算を書かない方法です．式の割り算や平方根の開平のための筆算もlong divisionといいます．発音の似た言葉で，Long Vacationは私の好きな大瀧詠一のアルバム，Long Versionは私の好きな稲垣潤一の歌です（笑）．

expanded synthetic division

2次式以上の整式を1次式で割るのに筆算より速い方法として，synthetic division（組立除法）が知られていますが，これを拡張して，2次式や3次式で割る方法をexpanded synthetic divisionといいます．例えば3次式x^3-12x^2-42を2次式x^2+x-3で割る場合，図のように計算し，商はx-13，余りは16x-81を得ます．やり方はguessしてみてください．

Lattice Method

因みに，2数の最大公約数を求める方法として，Euclidean algorithm（ユークリッドの互除法）があります．同様に乗法の筆算をLong Multiplicationといいます．他にも手計算で乗法を行う方法にLattice Methodがあります．例えば，948×827は図のような格子状の図を描いて783996を計算します．やり方はguessしてみてください．

<Reference>
Synthetic division
https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_division

Lattice Method
http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html

Sig Figs

これはsignificant figuresの省略形で，s.f.とも表します．Significant（重要な，意味のある，著しい）とfigure（図，形，姿，人物，数字）を合わせて訳すなら，「意味のある図」または「意味のある数字」かなと思いますが，これは後者の意味を持つ「有効数字」のことをいいます．

例えば123456という値を，3 significant figures（有効数字3桁）で近似するという場合，上から3桁を有意な数として，4桁目を四捨五入し，decimal notation（10進表記）では123000，またはscientific notation（科学表記）なら$1.23\times 10^5$と表します．

Sig figs rules
①0でない数字はすべて有効数字である
例　123.45の有効数字は1, 2, 3, 4, 5の5桁
②0でない数字の間の0は有効数字である　
例　101.1203の有効数字は1, 0, 1, 1, 2, 0, 3の7桁
③0でない数字の前が全ての0の場合，前にある0は有効数字ではない
例　0.00052の有効数字は5, 2の2桁
④小数点以下の0は有効数字である
例　12.2300の有効数字は1, 2, 2, 3, 0, 0の6桁
⑤小数点なしの数の0でない数字の後の0は有効数字である場合とない場合がある
例　2000の有効数字は次の4つの場合が有り得る
　　a) 2100を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2だけの1桁
　　b) 2020を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2, 0の2桁
　　c) 2003を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2, 0, 0の3桁
　　d) 2000.4を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2, 0, 0, 0の4桁

このfigureという用語を「図」という意味で用いる場合，"The statistics are shown in figure 3"なら，「その統計は図3に示されている」という意味になります．またsignificantという用語はなしで，単にdouble figuresなら2桁（の数）という意味になります．またfigureは計算という意味もあり，"do figures"は「計算する」という意味にもなります．

因みに，人形のこともfigureといいますが，これは人物の形をしたものという意味から来ています．また，figure skatingのfigureは図形という意味で，元々氷上に図形を描くという競技でしたが，その語源となった種目のcompulsory figures（規定）は1990年に廃止され，今はshort programとfree skatingだけになっています．

【Sig Figs 問題】
Find, correct to 3 significant figures, the volume of the solid of revolution formed when these functions are rotated through 360º about the x-axis:
a) y=x^3/(x^2+1) for 1≤x≤3
b) y=e^(sinx) for 0≤x≤2

（正解はこちら）