Directed Numbers

日本では，中学1年生の数学で初めて負の数（negative numbers）が登場します．教科書には｢ーのついた数｣とも書かれています．もちろん小学校まで使っていた0より大きい数も，あらためて正の数（positive numbers）と呼び，正の数と負の数をまとめて｢正負の数｣と呼んでいます．英書ではこれらをdirected numbers（向きのある数）またはsigned numbers（符号のついた数）という場合があります．つまり，directed numbersもsigned numbersも意訳すれば｢正負の数｣ということになります．Directed numbersを中国語では有向數といいますが，日本語で有向数という用語はあまり使われません．また，signed numbersを符号数と呼ばないのは，signature（符号数）という別の意味の数があるからです．

ところで，英書で負の数に（　）をつけていないのを目にすることがあります．例えばよく

$-3+-4=-7$

negative 3 plus negative 4 equals negative 7

と書かれています．負の数に（　）をつけるのが当たり前の日本では，少し違和感を感じますが，（　）がないからといって間違いではありません．

さて，なぜa negative times a negative equals a positive（負の数×負の数＝正の数）となるのでしょうか．私の好きなのは次のような説明です．東向きに時速4kmで歩いている人は，2時間後には8km東に居ます．西向きに時速4km（東向きに時速－4km）で歩いている人は，2時間前（－2時間後）には8km東に居ました．同じところに居るので，$$4\times 2=-4\times -2$$ということになります．

借金と借金を掛けて財産になるというのはおかしな話です．この歴史的な議論を，数学者遠山啓(1909-1979)が著書「数学入門」(1959)で詳しく紹介しています．彼はこの中で「がんらい金高と金高をかけても無意味なのである」と述べています．速度と時間の積は意味がありますが，借金と借金の積は意味がありません．私たちは意味があるから，必要だから計算するのであって，意味のない計算はしないのです．

[Reference]
｢数学入門｣ 遠山啓著 (岩波新書)