Solid Angle

Plane angle（平面角）は，日本では高校の必履修「数学Ⅰ」の三角比まで 45° や 90° などの degrees（度数法）を使いますが，「数学Ⅱ」の三角関数からは微分積分で威力を発揮する radians（弧度法）を使います．弧度法は半径1の円の一部分（すなわち弧）の長さで表すので，一周なら 360°=2π，半周なら 180°=π，直角なら 90°=π/2 と表します（単位：radian）．

Solid angle（立体角）はその3次元への拡張なので，この訳が特に「意外」というわけではありませんが， 高校では扱われないので多くの人が「そんな角もあったのか」と思うことでしょう．

平面角は1点に集まる2辺の間の広がり具合を表すのに対し，立体角は1点に集まる面がつくる空間の広がり具合を表します．その定義はというと，平面角は半径1の円の扇形の中心角を弧の長さで表すのに対して，錐体の頂点に集まる面がつくる立体角は，その頂点を中心とする半径1の球面がその錐体と交わる部分の面積で表します．角錐なら spherical polygon（球面多角形），円錐なら spherical circle（球面円）（または spherical cap（球冠）ともいう）の面積になります．

例えば，右図のように，半径1の球の中心を頂点とする三角錐の，その頂点に集まる3平面がつくる立体角は，この球面上の黒い部分（球面三角形）の面積になります．平面上の三角形は3つの直線で囲まれた図形ですが，それと同じように球面三角形は3つの球面直線で囲まれた図形です．（注）球面幾何学において球面直線は大円（球と同じ半径の球面上の円）のことをいいます．なのでどの2本の球面直線も平行にはならず，必ず2点で交わります．

球面多角形や球面円は球面上の図形なので，平面上よりも膨らんでいる分だけその面積は大きくなります．また，それらを求める公式もよく知られています．

（球面の半径を1とします）

　①球面n角形　$S=\sum_{i=1}^n\theta_i-(n-2)\pi$　　($\theta_i$は内角，Harriot's theorem)

　　例えば球面三角形は$S=\theta_1+\theta_2+\theta_3-\pi$になります．

　②球面円　$\omega=2\pi\left(1-\cos\theta \right)=2\pi h$　　($\theta$は下図の角，$h$は球面円の高さ)

一般にこのような球面上の一部分の面積は次のように積分を使って求めることができます．

z軸となす角がθでx軸となす角がφである位置ベクトルを持つ球面上の点(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)（上図の赤い点）を含む微小長方形dωは，経線方向の長さがdθ，緯線方向の長さがsinθdφなので，面積はそれらの積になります．$$d\omega=d\theta \cdot \sin\theta d\phi$$よって立体角ωはこの両辺を積分して，次の式で求められます．$$\omega = \displaystyle \int \int \sin\theta d\theta  d\phi $$

円錐の頂点の立体角は，先に述べたように球面円の面積になります．下図はsphere（球面）とspherical cone（球面円錐＝円錐と球面円のつながった立体）（またはspherical sector（球面扇形）ともいう）です．球の中心を頂点とし，z軸を中心軸とし，母線とz軸のなす角がθである球面円錐を考えると，底面である球面円は 0≦φ<2πとなるので，上の式から次のように立体角 ω（上の公式）が求まります．

$$\begin{eqnarray}\omega&=&\displaystyle \int_0^{2\pi} d\phi \displaystyle \int_0^\theta \sin\theta d\theta \\ &=& 2\pi \left[ -\cos\theta \right]_0^\theta \\ &=& 2\pi(1-\cos\theta)\end{eqnarray}$$例えばθ=π/6 (30°)のとき，立体角は次の値になります（単位：steradian）．$$\begin{eqnarray}\omega&=&2\pi\left(1-\cos\frac{\pi}{6} \right)\\ &=& 2\pi \left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=&(2-\sqrt{3})\pi\\&\approx&0.268\pi \end{eqnarray}$$これで球面円のない円錐の部分だけだったら，底面の面積は$\pi \sin^2\displaystyle\frac{\pi}{6}=\pi \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^2=0.25\pi$なので，それより膨らんでいる分だけ大きくなっていますね．同じ計算で，θ=π/3 のときは ω=π，θ=π/2（半球）のときは ω=2π，特に θ=π（全球）のときは ω=4π になって球の表面積に一致します．

因みに，上の2θを円錐の apex angle（頂角）といいますから，円錐の頂角がπ/3のときの立体角は$0.268\pi$，円錐の頂角がπ（半球）のときの立体角は$2\pi$，円錐の頂角が2π（全球）のときの立体角は$4\pi$ということになります．

[Reference]

Solid angles in perspective

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2108/2108.05226.pdf

Hemisphere

Math Hemisphere Emoji Clip Art

半円のことを semicircle といいますね．Circle は円ですから，semi は半分という意味になります．他にも quadrant（4分の1円），three quarter circle（4分の3円）といういい方があります． 

Quadrantは「象限」の訳語だとばかり思っていたので，「4分の1円」という意味があるのは意外だったのですが，もっと意外だったのはもともと「四分儀」という天体の高度を観測するのに用いられた機器のことであって，quadrant が「象限」を意味するのは2次元平面上だけだということです．つまり，x軸とy軸で分かれる quad（4つの）領域だけが  quadrant と呼ばれるわけです．

また，3次元における「象限」は，x軸とy軸とz軸で分かれる oct（8個の）領域なので octant といい，これももともとの意味は「八分儀」（天体の高度や水平方向の角度を測るための道具）です．

なので，次元に関係なく「象限」は，quadrant でも octant でもなく，一般に orthant というのが正しいようです．従って，n次元空間には $2^n$個の orthant（象限）が存在するということになります．

さて， 半円のことを semicircle というので，半球は semisphere なのかと思ったら，hemisphere といいます．もともと semi はラテン語起源，hemi はギリシア語起源だそうですが，なぜこのような違いになったのか不思議ですね．

[Quiz]
北半球はNorthern hemisphere．では南半球は？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
Southern hemisphere

頭にsemiがつくものは他に，semiannual（年に2回），semifinal（準決勝）などがあります．また，hemiがつくものは，hemicylinder（円柱を縦に半分に切った雨どいのような形）があります．

因みに，demiもフランス語で半分の意味があり，tasseがコーヒーカップという意味なので，demitasse coffeeは小さいカップに入れたコーヒーのことをいいます．

そしてさらに，イギリス英語で quaver は音楽用語の8分音符，semiquaver は16分音符，demisemiquaver は32分音符，hemidemisemiquaver は64分音符という意味なんです．これは驚きですよね．

[Hemisphere 問題]
Calculate the spherical layer's volume that remains from the hemisphere after the v(=3) cm section is cut. The height of the hemisphere is r(=10) cm.     (Hemisphere Problems)

正解はこちら

[Reference]

円や楕円、半円、三日月形って英語で何て言うの？
https://dreamcometrue358.com/around_circle/

象限
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B1%A1%E9%99%90

Semi-, hemi-, and demi-
https://grammarist.com/prefix/semi-hemi-and-demi/

Hemisphere Problems
https://www.hackmath.net/en/word-math-problems/hemisphere

Shear Transformation

いつもは英文の中で見つけた数学用語で意外なものを紹介することが多いのですが，この用語はその逆で，「等積変形」の英訳は何かを調べてみた結果の紹介です．

「等積変形」は日本の中学数学2の教科書に登場します．広い意味では，図形の面積を一定にしたまま形を変えることですが，ここでは特に三角形や平行四辺形で底辺の長さと高さを同じにしたまま，頂点や上辺を底辺に対して平行移動させることを意味しています．

[Quiz]

右図の三角形の面積は？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
2×5÷2＝5

用語や短文などの翻訳や説明を互いに助け合うサイト KudoZネットワーク で，「等積変形」という用語に関して，その回答がnative speakerや英語教育従事者などからいくつか寄せられていました．それだけ適切な訳語が見つからない用語のひとつということになります．

find another shape with the same area

isometric transformations

equal area transformation

equivalent deformation

shaving the shape

shear transformation

congruence transformation

これらのうちほぼ「等積変形」と訳して良さそうなものは始めの4つですが，実際，英語のサイトでこの用語を使って，ここでいう「等積変形」を説明しているのを見つけることができません．また，equivalent は「命題の同値（⇔）」，congruent は「図形/整数の合同（≡/≅）」の意味で使われるのが定番ですから，これらをさらに「等積」の英訳とするのは難しい気がします．

Shear（せん断）は，もともと「刈る」とか「ハサミで切る」という意味ですが，平面幾何では上の方法で図形を変形させるという意味があり，これは"Translation"で紹介した shear transformation（直訳は「せん断変換」）と同じ意味になっています．実際，この用語だけは，検索するとその意味の内容のものが見つかります．したがって，shear transformation こそ，少し意訳になりますが「等積変形」を英訳する用語として最も適切ではないでしょうか．

[Shear Transformation 問題]
図のように4点A=(1, 5)，B=(-1, 3)，C=(2, 1)，D=(1, 0)と，底辺が$x$軸上にあって上辺が点Aを通る四角形EFGHがある，この折れ線で分けられている左右の部分の面積が変わらないように，点Aを通る直線で左右を分けるとき，この直線の方程式を求めよ．
正解はこちら

[Reference]

等積変形
https://jpn.proz.com/kudoz/japanese-to-english/mathematics-statistics/1154281-%E7%AD%89%E7%A9%8D%E5%A4%89%E5%BD%A2.html

Duck’s Egg

Duckはカモやアヒルのことです．ドナルドダックというキャラクターがありますが，その絵から判断すると，ダックはアヒルだとばかり思っていました．ただ，アヒルではなくてカモであることを強調したいときはwild duckといいます．また，よく騙される人のことをカモといいますが，これはeasy markというそうです．

Eggは卵ですから，duck's eggはアヒルの卵という意味になります．ニワトリより少し大きいそうですが，味はどうなんでしょうか？ 一度食べてみたいものです．

さて，duck's eggの直訳はアヒルの卵となりますが，数学ではどんな意味があるのでしょう．これはその形から来ています．卵に似た数字は何でしょう？ そう，0ですね．なので数字の0を表すのかと思ったら，zero point，すなわち全く得点できない0点のことなんです．ずばり，スポーツや試験の点数が0点のときにduck’s eggといいます．別にduckのではなくても単にeggでいいと思いますけどね．

[Quiz]
ドラえもん（1969年～）の野比のび太よりずっと前からテストで0点を取ることで有名だった漫画のキャラクターは誰でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
丸出ダメ夫（1964年 - 1967年 週刊少年マガジン）

Zeroが数字の0という意味なのは当然ですが，もうひとつ，zero of a function（関数の零点）という概念があります．関数$y=f(x)$があるとき，$f(x)=0$となる$x$をzeroといいます．例えば，$f(x)=(x-1)(x-2)$のzeroは，$x=1, x=2$になります．つまり，関数＝0という方程式の解のことです．英語ではzeroですが，日本語では零点といいます．

証明できたら100万ドル授与されるミレニアム問題のひとつであるリーマン予想は，ゼータ関数の自明でないzero（零点）の実数部分はすべて$\frac{1}{2}$であるというもので，2021年4月現在，未解決です．

因みに，oval（卵形線）と聞けば卵の形に近い曲線を思い浮かべますが，定義としては「内側の任意の2点を結ぶ線分がその曲線の中にある閉じた曲線」というもので，円や楕円はもちろん，陸上競技のトラックや三角形・四角形などの凸多角形も含まれます． 

Ellipse（楕円）の定義は，2つの焦点$S$, $T$からの距離の和$PS+PT$が一定である点$P$の軌跡で，2点からその距離より長い糸をピーンと張って描くことができます．

実際の卵の形に近い曲線としては，Ellipseに定義が似ている以下の2つが知られています．

■Cartesian oval（デカルトの卵形線）
2つの焦点$S(0,0)$, $T(c,0)$からの距離を$PS$, $PT$とするとき，$PS+mPT$が一定の値$d$である点$P$の軌跡で，方程式は次式になります．$$\left \{(1-m^2) (x^2+y^2)+2 m^{2}c x+d^{2}-m^{2} c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)\tag{1}$$これは2つの図形が現れ，定数の値によって，円や楕円や双曲線になったりします．GEOGEBRAで描いてみたので，定数をいろいろ変えてみてください．

なお，m=1の時は式$(1)$より楕円$$\left \{2c x+d^{2}- c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)$$となり，長軸を$2a$，短軸を$2b$として高校の教科書風に整理すると次式になります．$$\frac{\left(x-\frac{c}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Cartesian ovalは，アナログではEllipseと似た方法で描けますが，一方の糸だけ2重にするという方法をJames Clerk Maxwell (1831 - 1879)が見つけました．

＜描き方＞

            Ellipse      　　  　　　　           Cartesian Oval

■Cassini oval（カッシーニの卵形線）
2つの焦点$S(-c,0)$, $T(c,0)$からの距離の積$PS \times PT$が一定の値$d^2$である点$P$の軌跡で，方程式は次式になります．$$ (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})+c^{4}=d^{4}\tag{2}$$

Cassini Oval (c=5, d=4.9 のとき)

[Duck’s Egg 問題]

Prove (1) and (2).

正解はこちら

[Reference]
MacTutor Cartesian Oval
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Cartesian/
MacTutor Oval Curves
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Projects/Johnson/chapter-4/

Pizza Theorem

食べ物の名前のついた定理がいくつかあります．

Pancake Theorem（パンケーキの定理）は，「2つのパンケーキ（形は円でなくてもよいし，重なっていても離れていてもよい）は1つの直線でそれぞれを2等分できる」という定理で，それを3次元に拡張したものをHam Sandwich Theorem（ハムサンドイッチの定理）といいます．

Chicken McNugget Theorem（チキン・マックナゲットの定理）は，「互いに素な$m$個入り，$n$個入りパックの組み合わせで買えない最大の個数は$mn-m-n$個である」という定理で，もともとチキン・マックナゲットが9個入り，20個入りで販売されていたのが発祥の定理です．

Pizza Theorem（ピザ の定理）1968年
ピザ（この形は円でなければいけません）を，円内の任意の点Pを通る$2n$本の直線で中心角が$\frac{\pi}{2n}$ (radian) になる扇形みたいな図形$4n$個に分割したとき， 分割された各部分を2人で同じ方向に交互に取っていくと，その和がそれぞれ同じ面積になる．ただし，$n≥2$．

[Quiz]
n=1のときの分割は何本の直線でいくつに分割し，できたおうぎ形みたいな図形の中心角は何度でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
2本の直線で4分割，中心角はπ/2(radian)＝90°

n=2のとき4本で8分割，n=3のとき6本で12分割

上図でいうと，n=2のときは紫色と黄色の部分，n=3のときは緑色と橙色の部分の面積が等しいという定理です（1999年には「$n$人で交互に取っていっても，その和がそれぞれ同じ面積になる」ことが示されました）．

n=1のとき，すなわち2本で4分割したときはなぜダメなのでしょう．

右図の円の半径をR，中心をOとします．点Pで直交する2本で4分割されたとして，中心Oを通る2本の直径とでできる9個の領域をa～iとすると，

　　右上+左下＝a+e+h+i+c＝a+(i+g)+(i+f)+i+c

                      ＞a+g+f+i+c＝$\frac{\pi R^2}{2}$

となり，右上+左下＞半分＞左上+右下になるからです．つまり，4分割では交互に取っても2人の取り分は同じ面積になりません．

n=2のとき，すなわち4本で8分割したときに定理が成り立つことを確認してみましょう．

右図で$PA=r(\theta)$，$PE=r(\theta+\frac{\pi}{4})$とすると，扇形みたいな形APEは，$\theta$を細かくすると，ほとんど扇形になるので，扇形の面積の公式$S=\frac{1}{2} r^2  \theta$より，$\varDelta S=\frac{1}{2} r(\theta)^2 \varDelta \theta$となりますから，この部分の面積$S_1$は$$S_1=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2}r(\theta)^2 d\theta$$となります．これから交互に4つ取ると，$$S_1+S_3+S_5+S_7=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2} \left \{ r(\theta)^2+r \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)^2+r(\theta+\pi)^2+r \left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)^2 \right \}d\theta$$となりますが，これは$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta\tag{1}$$となることが分かっていて（理由はこの後すぐ），するとこの続きは$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta=2R^2\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} d\theta=2R^2 \left[ \theta \right] _0^\frac{\pi}{4}=2R^2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi R^2}{2} $$となって，交互に取った1人分の面積はちょうど円の半分になることが分かります．

さて$(1)$の理由です．

$r(\theta)=PA=a$，$r(\theta+\frac{\pi}{2})=PB=b$，$r(\theta+\pi)=PC=c$，$r(\theta+\frac{3\pi}{2})=PD=d$とすると，$$R^2=OA^2=ON^2+NA^2=MP^2+NA^2=\left( \frac{b-d}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c}{2}\right)^2$$$$R^2=OB^2=OM^2+MB^2=NP^2+MB^2=\left( \frac{a-c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+d}{2}\right)^2$$辺々加えると，$$2R^2= \frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$$となり，$(1)$が示されました．

因みに，Wolfram MathWorld には the second pizza theorem というのが紹介されていて，こう書かれてありました（笑）．

This one gives the volume of a pizza of thickness a and radius z:

pi z z a. 

 [Reference]

57. THE PIZZA THEOREM
https://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper57.pdf

Pizza Theorem
https://mathworld.wolfram.com/PizzaTheorem.html

Radii

図形（三角形，四角形など）がすべることなく転がるときに，その頂点のひとつが描くlocus（軌跡）の長さを考えてみましょう．

例えば上の図で1辺10の正三角形OABがすべることなく転がって1回転するとき，点Oのlocusは，radius（半径）が10，central angle（中心角）が120°のsector（おうぎ形）の弧2つ分になります．

日本では小中学校で度数法を使い，高校では弧度法を使ってsectorの弧の長さや面積を求めます．sectorのradiusをr，central angleを度数法で$a$°，弧度法で$\theta$（単位はradian）とすると，上図の弧のひとつの長さは次のようになります（$\approx$は≒と同じ意味ですが，$\approx$の方が海外のテキストではよく見られます）．

　小学校　円周 $\times\frac{a}{360}\approx 20\times 3.14 \times \frac{120}{360}=62.8\times \frac{1}{3}\approx20.9$

　中学校　$2 \pi r \times \frac{a}{360}=2 \pi  \times 10 \times \frac{120}{360}=\frac{20}{3} \pi $

　高校　　$r \theta=10 \times \frac{2}{3}\pi=\frac{20}{3} \pi $

ちょうど1回転した場合のlocusはこの2倍なので$\frac{40}{3} \pi $になります．

さて，前置きが長くなりましたが，このsectorについての説明が，あるテキストにこう書かれてありました．

A part of a circle bounded by two radii is called a sector.
（新中学問題集中1数学英語版）

話の流れからこのradiiはradiusの複数形だと気づきますが，この形は珍しいですね．知らないと一瞬考えこんでしまいます．しかも調べてみたら，発音が réɪdiὰɪ（レイディアイ）．私は最初，ラディイだと思いました．実はlocusも複数形はlociで発音はloʊsaɪ（ロウサイ）．この形はラテン語が語源の単語に多いそうです．

[Quiz]
radiiはradiuses，lociはlocusesという表現も使えるでしょうか？
①どちらも複数形は2種類あって全部使える
②radiusの複数はradiiだけである
③locusの複数はlociだけである
④どちらも複数形は1種類だけである．

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
正解は③です．つまり，radiusの複数形はradiiでもradiusesでもいいのですが，locusの複数形はlociだけなんです．ややこしいですね．

このradiiという用語から少しそれてしまいますが，sectorについての話をもう少し．

ここでのsectorは円の一部なので，そのことを強調する場合はcircular sectorといいます．なぜなら他にhyperbolic sector, spherical sectorがあるからです．下図の色のついた部分がcircular sector, hyperbolic sectorで，この場合の面積$S$はどちらも$\frac{t}{2}$になります．確かめてみましょう．

circular sector　　          　　　hyperbolic sector

circular sectorは，面積の公式 $S=\frac{r^2 \theta}{2}$を使って，$r=1$, $\theta=t$なので，$S=\frac{t}{2}$

hyperbolic sectorは，点Pから$x$軸に垂線を下ろしてできる直角三角形から双曲線の下の部分を引きます．$$S=\frac{1}{2}\cosh t \sinh t - \int_1^{\cosh t} \sinh t dx \tag 1$$これを計算すると，$S=\frac{t}{2}$になります．

spherical sectorは球の一部分で，下図の2種類あります．左側は上に球の中心を頂点とする円錐形の穴が空いていて，open spherical sectorといい，右側の穴のないclosedのものはspherical coneといいます．Wolfram MathWorldで，体積はどちらも$V=\frac{2}{3}\pi R^2 h$になるとだけ書かれていて，求める式や計算がなかったので確かめてみました．

WolphramMathWorld

右側のconeは，circular sectorの回転体なので，その体積$V$は，縦を$x$軸として2つの回転体の和を考えると次の式で求められます．$$V=\frac{1}{3}\pi(R^2-(R-h)^2)(R-h) + \pi \int_{R-h}^{R} (R^2-x^2)dx \tag 2$$

左側のopenの場合も，2つの回転体の和から穴の部分を引けば体積が求められます．式中の$b$は$h$の上の球の頂上までの距離ですが，計算すると最後に消去されてしまいます．$$V=\frac{1}{3}\pi(R^2-(R-h-b)^2)(R-h-b)+\pi\int_{R-h-b}^{R-b}(R^2-x^2) dx $$ $$- \frac{1}{3}\pi(R^2-(R-b)^2)(R-b) \tag 3$$左右で$h$の値は異なりますが，体積は同じ$\frac{2}{3}\pi R^2 h$になります．

[Radii Question]

Calculate (1), (2), (3) above.

Answer

[Reference]

ラテン語由来の英単語の複数形
https://www.almamatersjk.com/gift-cactus/

Spherical Sector
https://mathworld.wolfram.com/SphericalSector.html

Scale Factor

Scaleには大きさ，目盛，音階，天秤，うろこなどいろいろな意味がありますが，数学では主に尺度，すなわち長さ，大きさ，目盛などの意味に使われます．

例えば，アメリカの地震学者Richterが考案した地震の規模を表すmagnitudeは，"Richter scale"とも呼ばれています．また，大きなデータを扱うグラフでの目盛の取り方のひとつに，logarithmic scale（対数目盛）があります．

統計学におけるscaleには，評価の基準として4つのscalesがあります．
・nominal scale（名義尺度）…同じか違うかだけを判断する．
・ordinal scale（順序尺度）…大小関係だけを判断する．
・interval scale（間隔尺度）…大小関係を差も考察して比較する．
・ratio scale（比例尺度）…絶対的な値0を基準にした値で大小関係を比較する．

Factorの方も因数，因子，係数，率など，いろいろな訳し方がありますが，scale factorとはどんな意味なのでしょう．

Transformations of functions（関数の変換）

y=f(x)のグラフをｙ軸方向に拡大縮小したy=af(x)や，x軸方向に拡大縮小したy=f(ax)の a をscale factorといい，これは倍率を意味しています．正比例の式 y=ax の比例定数 a もこれに含まれます．

Similarity（相似）

Similarity ratio（相似比＝相似な図形の辺の長さの比）もscale factorといいます．これも倍率の一種といえますが，相似ならではの用語です．数学英和･和英辞典（共立出版）ではscale factorの欄に倍率，尺度係数とありますが，加えて相似比も載せてほしいところです．

"Find the similarity ratio." と書かれていれば分かりやすいのですが，相似比を答えさせるのに "Find the scale factor." と書かれている場合が多いです．

相似比はa:bという形で答える場合と，a/bの値で答える場合とありますが，英語の場合，後者で答える方が一般的です．
（注）英語でratioは「比」も「比の値」も意味するので，ここでは便宜上どちらも「比」と呼んでいます．

因みに「scale factor 日本語」で検索してみると，「スケール係数」と出てきますし，Wikipediaには同じ英語で「スケール因子」が出てきます．定まった和訳のない英語はその場に合った訳し方が難しいですね．

Figure 1

[Quiz]

See the figure 1.

[Answer]（下の行をドラッグしてください）
5 or 1/5,  length=35

[Scale Factor 問題] 

Figure 2

See the figure 2. D, E is the midpoint of AB, AC. BF:FC=2:3. DH:HG=3:1.
  a) Find the ratio of BF:FG:GC.
  b) Find the area ratio of quadrilaterals BFHD:CGHE.

解答はこちら

[Reference]

Statistics How To
https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/scales-of-measurement/

Net

Netと聞くと｢網｣，または｢インターネット｣という意味しか思いつかないので，こんな数学用語があるのかなと思います．｢数学英和･和英辞典｣（小松勇作編･共立出版）には次のように掲載されています．

net　a. 正味の．n. 正価；網．
net present worth 正味原価．net price 正価．

しかし，これは数学用語とは言い難いですね．実はnetには他にもこの辞典には載っていない2つの意味があります．

初等幾何学
初等幾何学においては，立体の｢展開図｣という意味で使われています．特に，nets of cube（立方体の展開図）のパターンは11種類あることが知られています．上図のnetは，truncated icosahedron（切頂二十面体）のものです．文字通りicosahedron（正二十面体）の各頂点を切り落としてできる立体で，32面（正五角形12+正六角形20）あります．よくあるサッカーボールはこれを膨らませたものです．

位相幾何学
位相幾何学においては，点列を一般化した概念でnetという用語があります．これはMoore-Smith sequenceとも呼ばれています．

Definition
A directed set is a nonempty set $I$ with a relation such that
(1) $\alpha\preceq\alpha$ whenever $\alpha \in I$;
(2) if $\alpha\preceq\beta$ and $\beta\preceq\gamma$, then $\alpha\preceq\gamma$;
(3) for each pair $\alpha$, $\beta$ of elements of $I$ there is a $\gamma_{\alpha\beta}$, in $I$ such that $\alpha\preceq\gamma_{\alpha\beta}$ and $\beta\preceq\gamma_{\alpha\beta}$.
That is, a directed set is a nonempty preordered set that satisfies (3). A net or Moore-Smith sequence in a set $X$ is a function from a directed set $I$ into $X$. The set $I$ is the index set for the net.
(An Introduction to Banach Space Theory by Robert E. Megginson)

日本語でいえば，有向集合（任意の2元が上界をもつ前順序集合）$I$からある集合$X$への関数をnetと言います．簡単な例としては，高校数学に登場する普通の数列は，有向集合である正の整数から数全体の集合への関数といえるのでnetになります．

NetはMooreとSmithが1922年に紹介した概念ですが，netという用語は1950年のKelleyによる論文で初めて使われました．Kelleyは当初wayという用語を使おうとしたのですが，netにはsubnetという概念もあり，wayを使うとそれがsubwayとなって｢地下鉄｣と混同してしまうので，Norman Steenrodという人がwayの代わりにnetを使うよう提案したそうです．

[Reference]
An Introduction to Banach Space Theory
Robert E. Megginson (2012)

Cyclic Quadrilateral

Cyclicは，循環する，巡回する，周期的というような意味があります．では，循環するquadrilateral（四角形）とはどういう意味でしょうか．

同一円周上にある（共円である）ということをconcyclicといい，4頂点がconcyclicな四角形を cyclic quadrilateral といいます．日本語では円に内接する四角形 (inscribed quadrilateral) といいますが，英語ではinscribedよりcyclicの方がよく使われています．

Test for cyclic quadrilateral（共円条件）
A quadrilateral is a cyclic quadrilateral if any of the following is true:

1) one pair of opposite angles are supplementary.（対角の和が180°）
2) an exterior angle is equal to the interior opposite angle.（外角が対角に等しい）
3) one side subtends equal angles at the other two vertices.（1辺に対する2角が等しい）
(Further Mathematics HL Geometry: Haese mathematics)

以上の3つは，4点がconcyclic（四角形がcyclic）であるための条件で，3)は｢円周角の定理の逆｣です．この3つ以外に，｢方べきの定理の逆｣も共円条件になります．

因みに，4辺をa, b, c, dとするcyclic quadrilateralの面積$S$を求める Brahmagupta's formula（ブラーマグプタの公式）があります．

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

ただし$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

ここで$d=0$とすると三角形の面積を求める Heron's formula（ヘロンの公式）と一致します．

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ただし $s=\frac{a+b+c}{2}$

またcyclicではない一般のquadrilateralの面積$S$を求めるにはBretschneider's formula（ブレートシュナイダーの公式）があります．

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$

ただし $p$, $q$はdiagonal length（対角線の長さ）

この公式は，cyclic quadrilateralの場合，Ptolemy's theorem（トレミーの定理）より $ac+bd=pq$ となるので，Brahmagupta's formulaと一致します．

Heron's formula

一般化↓ ↑特殊化

Brahmagupta's formula

一般化↓ ↑特殊化

Bretschneider's formula

[Reference]
Cyclic Quadrilateral -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html

Straightedge and Compass Construction

これらの単語を調べたら，次のような意味があることが分かります．
    straightedge＝幻覚剤･酒･たばこなどに手を出さない生き方
    compass＝羅針盤，方位磁針
    construction＝建設，建築，構文，構造

https://genuineideas.com/

しかし，straightedge は直定規（直定木），compass はコンパス（円を描く道具，あえて日本語にするなら円規，両脚器，ぶん回しともいいます），construction は作図という意味もあり，straightedge and compass construction は，直定規とコンパスだけを使う作図という意味になります．

他にruler-and-compass construction，classical construction，geometric construction，Euclidean constructions という言い方があります．｢作図｣を直訳して figure construction という場合もありますが，こちらは人物画を描くという意味の方によく使われているようです．

普通に図を描くことも広い意味で作図といえますが，一般に数学における作図といえば，straightedge and compass construction のことを指していて，"Euclid's Elements（ユークリッドの原論）" に初めて登場したので，Euclidean constructions ともいうわけです．定規といえば ruler を思い浮かべますが，straightedge（直定規）という用語がよく使われています．

この straightedge and compass construction は，日本ではまず中1で直線外の点を通る垂線，線分の垂直2等分線，角の2等分線，中3では平方根で表される長さ，高校数学Aで等分点などを作図する方法として登場しています．

正n角形の作図可能性

Equilateral triangle（正3角形），square（正4角形）とそれから派生する regular hexagon（正6角形），regular octagon（正8角形）が constructible（作図可能）であることはギリシャ時代から知られています（以下 regular を省略します）．Pentagon（正5角形）もギリシャ時代に constructible であることがわかっていましたが，残念ながら，あのアルキメデスでさえも正7角形，正9角形の作図には成功しなかったようです．

1796年3月30日の朝，19才のガウスが目覚めたとき，heptadecagon（正17角形）の作図法がひらめいたそうです．そしてその後ガウスは次のことを証明しています．

定理
四則演算とべき乗根を用いて表される数は作図可能である．

定理
代数方程式 zⁿ−1＝0 が四則演算とべき乗根だけで解けたら、正n角形が作図可能である．

ということから，

定理
nの値が2のべき乗（2^αで表される数）であるか，フェルマー素数すなわち｢2^2m＋1で表される素数｣であるか，またはこれらの2種類の数の積であるとき，すなわち，
n＝2^α･p₁ ･p₂ ･･････p_k　（ただしp_mはフェルマー素数）
のときに、正n角形は作図可能である．

α＝0かつｍ＝0のときn＝3となり正3角形，α＝2で2のべき乗だけのときn＝4となり正4角形、α＝0かつｍ＝1のときｎ＝5となり正5角形，α＝1かつm＝0のときn＝6となって正6角形が作図可能ですが，7や9はこの形で表せないので作図不可能です．そして，α＝0かつｍ＝2のときが正17角形になります．さらに，257-gon（正257角形，m＝3）の作図法が1832年に，65537-gon（正65537角形，m＝4）の作図法が1900年ごろに発見されました．正n角形は代数方程式 zⁿ−1＝0 を解けばいいのですが，nの値が大きくなるにつれてどんどん複雑になっていきます．

[Straightedge and Compass Construction 問題]
1) Construct a equilateral triangle.
2) Construct a regular pentagon.

解答はこちら

[Reference]
「数学入門（上）」遠山啓著　岩波新書

Plan and Elevation

https://study.com/

この2つの用語 Plan and Elevation が出てくる話はなんでしょうかと聞かれたら，まず「計画」と「標高／高度」が思い浮かぶので，登山か飛行の話かなと思ってしまいますが，これは日本の中1数学の教科書でいう投影図の中の平面図と立面図に当たります．

a) Plan
真上または真下から見た図．建築物のfloor plan といえば間取図という意味になります．

b) Elevation
立面図と側面図を合わせて縦面の図．見る方向によって front elevation, side elevation などと呼ばれ，建築物の外観を表すのによく使われています．

Graphical projection（投影図）は立体を平面上に描いた図の総称なので，他にもいろいろあります．

oblique projection (WikipediA)

Haese Mathematics 社の "MATHEMATICS FOR YEAR 8 (Fifth Edition)"では，次の2つが紹介されています．

c) oblique projection（斜投影図）の代表的なものでcabinet projection（キャビネット投影法）
＝正面は長さの比を変えず、奥行きだけ2分の1にして，座標軸を45°の傾きで描く．

d) isometric projection（等角投影図／等軸測投影図／等測投影法）

isometric projection (WikipediA)

＝すべて長さの比を変えず，座標軸を30°の傾きで描く．

以上4つは座標軸に平行に描くので，parallel projection（平行投影図）の一種になります．

さらに，座標軸にparallelにならないものがあります．

e) perspective projection（透視投影図）
この中には遠近法による 1 point perspective（一点透視），2 point perspective（二点透視），3 point perspective（三点透視）などがあります．Sketch（見取図）を実物と見た目をできるだけ同じように書くなら，3 point perspective が最も適しているといえます．

http://art-design-glossary.musabi.ac.jp

[Plan and Elevation 問題]

SPM Mathematics

The diagram shows a solid consisting of a right prism and a half-cylinder which are joined at the plane HICB. The base ABCDEF is on a horizontal plane. The rectangle LKJG is aninclined plane. The vertical plane JDEK is the uniform cross-section of the prism. AB = CD = 2cm. BC = 4cm. CM = 12cm.
Draw to full scale
(a) The plan of the solid
(b) The elevation of the solid on a vertical plane parallel to ABCD as viewed from X.
(c) The elevation of the solid on a vertical plane parallel to DE as viewed from Y.
(by SPM Mathematics)

解答はこちら

[Reference]

Net, Plan & Elevation of 3D Shapes
https://study.com/academy/lesson/net-plan-elevation-of-3d-shapes-lesson-for-kids.html

Graphical projection
https://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection

Perspective Projection
http://art-design-glossary.musabi.ac.jp/perspective-projection/

Plan and Elevation, Long Question
http://spmmathematics.blog.onlinetuition.com.my/2015/11/plan-and-elevation-long-question_9.html

Translation

日常では「翻訳」としか訳すことがないtranslationですが，数学では「平行移動」という意味があり，移動のさせ方はベクトルで表します．日本の教科書でよく使われる「x軸方向に$p$，y軸方向に$q$平行移動したもの」という言い方は，a translation of $\left( \begin{array}{c} p \\q \\ \end{array} \right)$とか，be translated through $\left( \begin{array}{c} p \\q \\ \end{array} \right)$のように表されます．他にshiftやmoveという用語も使われることがあります．

向きも形も変えない移動だけのtranslationに加えて，向きの変わるrotation（回転移動），reflection（対称移動），大きさの変わるscaling / resizing / zooming（拡大縮小），傾斜するshear / skew（せん断）など，図形の平行を保つlinear transformation（一次変換）を合わせてaffine transformation（アフィン変換）といい、さらに拡張して図形の平行を保たない場合もある変換をprojective transformation / homography（射影変換）といいます．

rotation  $\left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\cos \theta-y\sin \theta \\ x\sin \theta+y\cos \theta \end{pmatrix}$   $ \theta $回転

scaling  $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax  \\ by \end{pmatrix}$  横にa倍，縦にb倍拡大縮小

shearing  $\begin{pmatrix} 1 & t \\ s & 1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+ty  \\ sx+y \end{pmatrix}$　横にyのt倍移動，縦にxのs倍移動するせん断（長方形が平行四辺形になります）

translation  $\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p  \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+p  \\ y+q \end{pmatrix}$  x軸方向に$p$，y軸方向に$q$平行移動

以上のように，2×2行列を掛ける一次変換では(0,0)が(0,0)に移るのでtranslationを表すことはできないし、平行を保つのでprojective transformationを表すことはできません．しかし，座標(x, y)を(x, y, 1)と表すことでこれらをすべてまとめて表すことができます．そのため，変換行列を3×3にして(3, 3)成分を1とします。

rotation  $\left(  \begin{array}{ccc}   \cos \theta  & -\sin \theta  & 0 \\ \sin \theta  & \cos \theta  & 0 \\0 &0 &1\end{array}\right)\left(  \begin{array}{ccc}   x\\ y\\1\end{array}\right)=\left(  \begin{array}{ccc}   x\cos \theta -y\sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \\ 1 \end{array} \right) $

scaling  $\left(  \begin{array}{ccc}   a  & 0  & 0  \\ 0  & b  & 0 \\ 0  & 0  & 1 \end{array}\right)\left(  \begin{array}{ccc}   x  \\ y \\ 1 \end{array}\right)=\left(  \begin{array}{ccc}   ax  \\ by \\ 1 \end{array}\right)$

shearing  $\begin{pmatrix} 1 & t &0 \\ s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x  \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+ty  \\ sx+y \\ 1 \end{pmatrix}$

translation  $\left(  \begin{array}{ccc}   1  & 0  & p  \\ 0  & 1  & q \\ 0  & 0  & 1 \end{array}\right)\left(  \begin{array}{ccc}   x  \\ y \\ 1 \end{array}\right)=\left(  \begin{array}{ccc}   x+p  \\ y+q \\ 1 \end{array}\right)$

因みに，映画"Transformers"（変形ロボット），映画"The Transporter"（運び屋）はありましたが，映画"Translator"はまだないですね（笑）．

<Reference>
Function Translations
http://www.purplemath.com/modules/fcntrans.htm

Quick Reviews on Local Descriptors, SIFT and Single Object Recognition by Fei-Fei Li.
https://sensblogs.wordpress.com/2011/08/23/quick-reviews-on-local-descriptors-sift-and-single-object-recognition-by-fei-fei-li/

Arbelos and Salinon

図のような大きなsemicircle（半円）と，その直径上に中心を持つ2つの半円で囲まれた部分をarbelos（アルベロス＝αρβηλος）といいます．古代ギリシアの「靴屋のナイフ（arbelos）」に似ているのでこのように呼ばれています．

Arbelosの面積は，中の2つの半円の半径をa, bとすると，$$\frac{\pi(a+b)^2}{2}-\frac{\pi a^2}{2}-\frac{\pi b^2}{2}=\pi ab$$となりますが，これは，中の2つの半円の共通接線と大きい半円との交点を結ぶ線分CDを直径とする円の面積に等しくなっています．（Archimedes' Book of Lemmas Proposition 4 アルキメデスの補助定理集命題4）

Arbelosはギリシャ時代にBook of Lemmasに登場してから現在までいろいろな研究がされ，江戸時代の和算でも多く登場しています．中の2つの半円の半径の比がa：b＝1：1のときのArbelosは，漫画「和算に恋した少女」第2巻にも登場しました．

似たような形で，図のような大きな半円と，その直径上に中心を持つ3つの半円（両端の半円は同半径）で囲まれた部分をsalinon（サリノン=σαλινον）といい，ギリシャ語で「塩入れ(salt-celler)」を意味します．

Salinonの面積は，中の両端の半円の半径をa, 中央の半円の半径をbとすると，$$\frac{\pi(2a+b)^2}{2}-\pi a^2+\frac{\pi b^2}{2}=\pi(a+b)^2$$となりますが，これは図の最上点と最下点を結んだ線分を直径とする円の面積に等しくなります．（Archimedes' Book of Lemmas Proposition 14）

Arbelosの形をした大きな彫刻がNederland（オランダ）にあります．Kaatsheuvel（カーツスフーフェル）という村の中央を走る高速道路Midden-Brabantweg（ミッデン＝ブラバント通り）沿いにあり，高さは24mもあります．Googleのstreet viewで探したところ，51°39'37.4"N 5°03'26.1"Eという位置にありました．2016年6月の撮影でしたが，正面から全体を見ると，目の前の街灯が邪魔をしていて少し残念でした．探してみてください．
（左：街灯設置前，右：街灯設置後）

<Reference>

アルベロス 3つの半円がつくる幾何宇宙
岩波科学ライブラリー 2010年 奥村博/渡邉雅之

Book of Lemmas

http://www.wikiwand.com/en/Book_of_Lemmas

★SalinonをGeoGebraで作ってみました．aの値を変えてみてください．
https://www.geogebra.org/m/qtVmj2p5

Intercept Theorem

さえぎる、横取りする、傍受する、迎撃する，球技で相手のパスを奪うなど，いろいろな意味を持つinterceptですが、数学でよく使われるのは，グラフでいう切片です．普通，interceptはy-intercept（y切片），すなわちy軸との交点のy座標のことをいい，x-intercept（x切片）はx軸との交点のx座標のことをいいます．

一方，切片はもともと切れ端という意味もあるので，secant（割線）やtransversal（横断線）によって切り取られるsegment（線分）もこう呼ばれます．

figure 1

Intercept theoremは，2本の交わる直線と複数の平行な直線が交わってできるsegment（平行な直線によって切り取られる線分）の比が等しいという定理で，図1の場合なら
a：b＝c：d
が成り立つという定理です．日本の中学数学3の教科書では，「平行線と線分の比の定理」と呼ばれています．英語でThales' Theoremと呼ばれる場合もありますが，同名の異なる定理が他にもあるのであまりこう呼ばない方がいいかも知れません．

figure 2

[証明]2つの三角形は容易に相似と分かりますから，図1右の場合，相似比より，
a:b＝c:d
図1左の場合，相似比より，
a:(a+b)＝c:(c+d)
⇔a(c+d)＝c(a+b)
⇔ac+ad＝ac+bc
⇔ad＝bc
⇔a:b＝c:d

図1の突き抜けた部分を削除した図2の場合は，triangle intercept theoremといい，日本の中学数学3の教科書の相似のところで登場する「三角形と比の定理」がこれに当たります．

figure 3

この定理を利用して証明できるもので，angle bisector theorem（角の二等分線定理）があります．図3のように，△ABCで∠Aの二等分線と直線BCとの交点をDとするとき、AB:AC=BD:DCが成り立つという定理です．証明方法はいくつかありますが，BAの延長線上にAD//ECとなる点Eをとる方法がよく知られています．

日本の中学数学3の教科書ではtriangle intercept theoremの後に，midsegment theorem 別名 midpoint (connector) theorem （中点連結定理=中国語では「中點定理」）が登場します．

＜中点連結定理＞ midsegment theorem / midpoint (connector) theorem
△ABCの2辺AB,ACのそれぞれの中点を結んだ線分は，残りの辺BCと平行かつ長さはその半分となる．

＜中点連結定理の逆＞
△ABCの2辺AB,AC上に端点を持つ線分が，残りの辺BCと平行かつ長さがその半分となるとき，線分の端点は各辺の中点になる．

次の場合も「中点連結定理の逆」と呼ばれる場合があります．
△ABCの辺ABの中点Mを通り辺BCに平行な直線と、残りの辺ACとの交点Nは、辺ACを二等分する．（triangle intercept theorem 中国語では「截線（せっせん）定理」）

<Reference>
Intercept theorem - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Intercept_theorem
中点連結定理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E9%80%A3%E7%B5%90%E5%AE%9A%E7%90%86

Donkey Theorem

このdonkeyという言葉は，ロバという意味の他に「バカ」という意味もあり，ロバの別名であるassは俗語で「尻」という意味もあります．三角形の合同条件のひとつとして，「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい（SAS=Side-Angle-Side）」が知られていますが，「2組の辺とその間にない角がそれぞれ等しい（ASSまたはSSA）」という条件は，図のようにambiguous case（一意に定まらない場合）になります．これが合同条件として成り立たないということと，donkeyとassの意味とを掛けて，donkey theoremと呼んでいます．これはバカにして呼んでいるので，正しく成り立つ定理の名称ではありません．

    

  

  

三角形の辺と角の関係を細かく分類してみましょう．すべて最後に「がそれぞれ等しい」を省略しています．

①SSS=SSS 「3組の辺」 congruent（合同）
「直角三角形の斜辺と他の1辺」は三平方の定理を既知とすればもう１辺はすぐに求められるのでここに含まれます．

②SAS=SAS 「2組の辺とその間の角」 congruent
ドイツの数学者ヒルベルトDavid Hilbert (1862–1943) は著書「幾何学基礎論」の中で，これを三角形の合同公理としています．

③ASS=ASS 「2組の辺とその間にない対応する角」 ambiguous case
上図左の場合です．角辺辺の順で等しい三角形が2つできます．

④ASS=SSA 「2組の辺とその間にない対応しない角」 ambiguous case
上図右の場合です．角辺辺と辺辺角が等しい三角形が2つできます．

⑤ASA=ASA 「2組の角とその間の辺」または「1組の辺とその両端の角」 congruent
内角の和は180ºなので自動的に3組の角が等しくなり，2つの角の間の辺は対応する辺なので，三角形は１つに決まります．

⑥AAS=AAS 「2組の角とその間にない対応する辺」 congruent
自動的に3組の角が等しくなり，対応する辺が等しいので，三角形は１つに決まります．「直角三角形の斜辺とひとつの鋭角」といいう条件はここに含まれます．「直角三角形の斜辺と他の1辺」も三平方の定理を既知としない場合は，一方を裏返して「他の１辺」を重ねて二等辺三角形を作り，その底角が等しくなることから，「直角三角形の斜辺とひとつの鋭角」という条件になるので，ここに含まれます．

⑦AAS=SAA 2組の角（自動的に3組）とその間にない対応しない辺 similar（相似）

⑧AAA=AAA 3組の角（2組の角で十分） similar

因みに米国では，ロバはDemocrats（民主党）のシンボルになっていて「家庭」を象徴しているのに対し，Republican（共和党）のシンボルはelephant（ゾウ）で「知識と力」の象徴だそうです．

Bearing

Vectors（ベクトル）の応用問題の中には，直進する物体の進行方向を求めるものがあり，その解答は，bearing ≈ 300ºとか，bearing  ≈ 60º west of north などとなっています．前者はtrue bearing（真方位）といい，真北線からclockwise direction（時計回り）に何度というように表します．また後者はconventional bearing（よく使われる方位）で，南北線から東または西へ何度というように表します．

Cardinal Points（基本方位）は，north, south, east, and westの4方位で，NSEW（北南東西）の順でいいます．日本では普通，東西南北の順でいいますが．麻雀では東南西北という順ですね．さらにそれら4つの方位の間に，half-cardinal pointsまたはquadrantal pointsまたはintercardinal pointsまたはintermediate (or ordinal) directionsと呼ばれるnorth east（北東）, south east（南東）, south west（南西） and north west（北西）があります．

例えば右図でPの方位は，true bearingでは140º，conventional bearingでは40º east of southとなり，これはS40ºEとも表します．日本語で「南東40ºの方向」ということになります．飛行機や船などの航路の問題でdirectionを問われたらbearingで答えるのが一般的です．

【Bearing 問題】

Boat A is at (x₁, y₁)=(2, 4) at exactly 2:17 pm. It sails with velocity vector (1, –3). Boat B is at  (x₂, y₂)=(11, 3). It begins to sail with velocity vector (–1, a) at 2:19 pm to meet the boat A. Distance units are metres and t is in minutes from 2:17 pm.

a) Find x₁(t) and y₁(t) for boat A.

b) Find x₂(t) and y₂(t) for boat B.

c) At what time do they meet?

d) What was the direction and speed of boat B?

（正解はこちら）

<Reference>
Bearings
http://www.mathsteacher.com.au/year7/ch08_angles/07_bear/bearing.htm

SOHCAHTOA

三角比の覚え方です．直角三角形のある角$\theta$のsine（正弦）, cosine（余弦）, tangent（正接）の値は，hypotenuse（斜辺）, opposite（対辺）, adjacent（隣辺）を用いて，

$$\sin\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}}$$$$\cos\theta=\frac{\mathrm{adjacent}}{\mathrm{hypotenuse}}$$$$\tan\theta=\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{adjacent}}$$

と定義されます．英語では分数は分子から読みますから，例えばsinはopposite over hypotenuse（またはopposite devided by hypotenuse）なのでSOHという順になり，これらの頭文字をとって，SOHCAHTOAと覚えましょうというわけです．日本ではよく図のような覚え方が参考書などで紹介されています．$$\sin\theta=\frac{y}{r}, \quad \cos\theta=\frac{x}{r}, \quad \tan\theta=\frac{y}{x}$$海外では高校程度の教科書に，他の三角関数として，sine, cosine, tangentのreciprocal（逆数）であるcosecant（余割）, secant（正割）, cotangent（余接），まとめてreciprocal trigonometric function（割三角関数）がよく登場します．SOHCAHTOAと同じように，CHOSHACAOという覚え方があります．
$$\csc\theta=\frac{\mathrm{hypotenuse}}{\mathrm{opposite}}, \quad \sec\theta=\frac{\mathrm{hypotenuse}}{\mathrm{adjacent}}, \quad \cot\theta=\frac{\mathrm{adjacent}}{\mathrm{opposite}}$$このうちsecantとtangentは別の意味で，つまりsecantは割線，tangentは接線という意味でよく使われます．割線とは2点を通る直線という意味ですが，日本の高校教科書ではこの用語は使われていません．$$\csc\theta=\frac{r}{y}, \quad \sec\theta=\frac{r}{x}, \quad \cot\theta=\frac{x}{y}$$またinverse function（逆関数）であるarcsineまたは$\sin^{-1}$, arccosineまたは$\cos^{-1}$, arctangentまたは$\tan^{-1}$も，世界中でインターナショナルスクールを中心に広く普及している教育課程「国際バカロレア」の高校数学Higher Level（主に理系）では登場します．周期関数の逆関数は多価関数になるので，定義域を制限して一価関数にしたものを特に主値と呼び，最初を大文字で表します．例えば，sin30°=1/2なので，次式が成り立ちます．$$\mathrm{Arcsin}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=30^{\circ}$$

Midsegment Theorem

三角形の2辺の中点を結んだ線分をmidsegmentといい，midsegmentがもう一つの辺と平行で長さが半分であるという定理がmidsegment theoremで，midpoint theorem（中点定理）ともいい，日本の中学数学3の教科書では中点連結定理と呼ばれています．直訳するとmidpoint connector theoremとなりますが，この表現はあまり使われていません．かといってmidsegmentの方も適した日本語訳はありません．

他にもsegment in triangle（三角形の中にできる線分）は，このmidsegment以外にもいろいろあり，特に次の4つは有名で，special segments in triangleとして紹介されます．
①median（中線）… 頂点とその対辺の中点を結んでできる線分で，それらの交点はcentroid（重心）になります．
②altitude（垂線）… 頂点から対辺に垂直に降ろした線分で，それらの交点はorthocenter（垂心）になります．
③angle bisector（内角の2等分線）… 内角を2等分する線分で，それらの交点はincenter（内心）になります．
④perpendicular bisector（垂直2等分線）… 辺の中点を通りその辺に垂直な線分で，それらの交点はcircumcenter（外心）になります．
このうち上の3つは，三角形の頂点から対辺に降ろした線分Cevian（チェバ線）の一種でもあります．

日本の中学数学3の教科書には中点連結定理の応用として，「任意の四角形の各辺の中点を隣同士順につないでいくと平行四辺形になる」ことを証明するという問題が必ずあります．この定理をVarignon's Theoremといい，この平行四辺形をVarignon parallelogramといいます．四角形や四面体の対辺の中点同士を結んでできる線分をbimedianといいますが，これはVarignon parallelogramの対角線に当たるので，互いに他を2等分します．

さて，三角形のmidsegmentを3本引くと4つの三角形に分かれます．その中央だけを抜いて残りの3つにまた同じことをして繰り返すと，図のようなSierpiński triangle（またはSierpiński gasketまたはSierpiński sieve）と呼ばれるfractal（自己相似）図形になります．

長さ$\frac{1}{m}$の相似図形がn個残る場合のfractal dimension（フラクタル次元）はlogmnと定義されます．従ってこの場合は，長さ$\frac{1}{2}$の相似図形が3つ残りますから，Sierpiński triangleのfractal dimensionはlog23=1.584962501...≈1.58となります．

【Midsegment Theorem 問題】
Find the fractal dimension of Cantor set and Koch curve.
（解答はこちら）

<Reference>
Varignon's Theorem
http://mathworld.wolfram.com/VarignonsTheorem.html

Pierre Varignon (1654–1722) French mathematician

Bimedian
http://mathworld.wolfram.com/Bimedian.html

Alternate Segment Theorem

この定理の説明の英文は次のようになります．

The angle between the tangent and chord at the point of contact is equal to the angle in the alternate segment.

この"tangent and chord"が「接線と弦」という意味なので，この定理は「円の接線と弦の作る角の定理（接弦定理＝円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧の円周角に等しい）」を意味しています．ところが英語では"tangent chord theorem"とはあまり呼ばれず，一般にalternate segment theoremと呼ばれています．

もともとalternateは「交互の」とか「反対側の」という意味で，例えば錯角も，2本の平行線の内側に交互に存在するのでalternate interior angleといいます．またsegmentは「部分」とか「区分」という意味で，数学では直線の部分なら線分を意味しますが，ここでは円の部分，すなわち弦によって分割される弓形（弦と弧で囲まれた図形）を意味しています．弦が直径の場合は2つのsemicircle（半円）になりますが，そうでない場合は大きい弓形major segment（優弓形）と小さい弓形minor segment（劣弓形）に分かれます．これはmajor arc（優弧）とminor arc（劣弧）と同様の呼び方ですね．

接線と弦の間の角から見て，その弦に関して反対側の弓形をalternate segmentといい，その中の角がthe angle in the alternate segmentになります．従って，「弦に関して同じ側の弓形の弧の円周角」は「弦に関して反対側の弓形の中の角」と同じ意味になります．なのでalternate segment theoremを直訳すると「反対側弓形の定理」と言えそうです．

「ユークリッドの原論」第3巻命題32の表現を見てみましょう．
Euclid's Elements Book III Proposition 32
If a straight line touches a circle, and from the point of contact there is drawn across, in the circle, a straight line cutting the circle, then the angles which it makes with the tangent equal the angles in the alternate segments of the circle.
直線が円に接していて，接点から円を分割する直線が引かれているとき，その直線と接線とでできる角は，反対側にある弓形の中の角に等しい．

2000年も前からalternate segmentsという言葉が使われていたのですが，どうやらこの定理を日本語訳するときに，alternate segmentsよりもtangent and chordの方が訳し易かったのではないかと思います．

<Reference>
Teach GCSE Math, Alternate Segment Theorem
http://slideplayer.com/slide/677852/