Alternate Segment Theorem

この定理の説明の英文は次のようになります．

The angle between the tangent and chord at the point of contact is equal to the angle in the alternate segment.

この"tangent and chord"が「接線と弦」という意味なので，この定理は「円の接線と弦の作る角の定理（接弦定理＝円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧の円周角に等しい）」を意味しています．ところが英語では"tangent chord theorem"とはあまり呼ばれず，一般にalternate segment theoremと呼ばれています．

もともとalternateは「交互の」とか「反対側の」という意味で，例えば錯角も，2本の平行線の内側に交互に存在するのでalternate interior angleといいます．またsegmentは「部分」とか「区分」という意味で，数学では直線の部分なら線分を意味しますが，ここでは円の部分，すなわち弦によって分割される弓形（弦と弧で囲まれた図形）を意味しています．弦が直径の場合は2つのsemicircle（半円）になりますが，そうでない場合は大きい弓形major segment（優弓形）と小さい弓形minor segment（劣弓形）に分かれます．これはmajor arc（優弧）とminor arc（劣弧）と同様の呼び方ですね．

接線と弦の間の角から見て，その弦に関して反対側の弓形をalternate segmentといい，その中の角がthe angle in the alternate segmentになります．従って，「弦に関して同じ側の弓形の弧の円周角」は「弦に関して反対側の弓形の中の角」と同じ意味になります．なのでalternate segment theoremを直訳すると「反対側弓形の定理」と言えそうです．

「ユークリッドの原論」第3巻命題32の表現を見てみましょう．
Euclid's Elements Book III Proposition 32
If a straight line touches a circle, and from the point of contact there is drawn across, in the circle, a straight line cutting the circle, then the angles which it makes with the tangent equal the angles in the alternate segments of the circle.
直線が円に接していて，接点から円を分割する直線が引かれているとき，その直線と接線とでできる角は，反対側にある弓形の中の角に等しい．

2000年も前からalternate segmentsという言葉が使われていたのですが，どうやらこの定理を日本語訳するときに，alternate segmentsよりもtangent and chordの方が訳し易かったのではないかと思います．

<Reference>
Teach GCSE Math, Alternate Segment Theorem
http://slideplayer.com/slide/677852/