Cyclic Quadrilateral

Cyclicは，循環する，巡回する，周期的というような意味があります．では，循環するquadrilateral（四角形）とはどういう意味でしょうか．

同一円周上にある（共円である）ということをconcyclicといい，4頂点がconcyclicな四角形を cyclic quadrilateral といいます．日本語では円に内接する四角形 (inscribed quadrilateral) といいますが，英語ではinscribedよりcyclicの方がよく使われています．

Test for cyclic quadrilateral（共円条件）
A quadrilateral is a cyclic quadrilateral if any of the following is true:

1) one pair of opposite angles are supplementary.（対角の和が180°）
2) an exterior angle is equal to the interior opposite angle.（外角が対角に等しい）
3) one side subtends equal angles at the other two vertices.（1辺に対する2角が等しい）
(Further Mathematics HL Geometry: Haese mathematics)

以上の3つは，4点がconcyclic（四角形がcyclic）であるための条件で，3)は｢円周角の定理の逆｣です．この3つ以外に，｢方べきの定理の逆｣も共円条件になります．

因みに，4辺をa, b, c, dとするcyclic quadrilateralの面積$S$を求める Brahmagupta's formula（ブラーマグプタの公式）があります．

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

ただし$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

ここで$d=0$とすると三角形の面積を求める Heron's formula（ヘロンの公式）と一致します．

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

ただし $s=\frac{a+b+c}{2}$

またcyclicではない一般のquadrilateralの面積$S$を求めるにはBretschneider's formula（ブレートシュナイダーの公式）があります．

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$

ただし $p$, $q$はdiagonal length（対角線の長さ）

この公式は，cyclic quadrilateralの場合，Ptolemy's theorem（トレミーの定理）より $ac+bd=pq$ となるので，Brahmagupta's formulaと一致します．

Heron's formula

一般化↓ ↑特殊化

Brahmagupta's formula

一般化↓ ↑特殊化

Bretschneider's formula

[Reference]
Cyclic Quadrilateral -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html