Intercept Theorem

さえぎる、横取りする、傍受する、迎撃する，球技で相手のパスを奪うなど，いろいろな意味を持つinterceptですが、数学でよく使われるのは，グラフでいう切片です．普通，interceptはy-intercept（y切片），すなわちy軸との交点のy座標のことをいい，x-intercept（x切片）はx軸との交点のx座標のことをいいます．

一方，切片はもともと切れ端という意味もあるので，secant（割線）やtransversal（横断線）によって切り取られるsegment（線分）もこう呼ばれます．

figure 1

Intercept theoremは，2本の交わる直線と複数の平行な直線が交わってできるsegment（平行な直線によって切り取られる線分）の比が等しいという定理で，図1の場合なら
a：b＝c：d
が成り立つという定理です．日本の中学数学3の教科書では，「平行線と線分の比の定理」と呼ばれています．英語でThales' Theoremと呼ばれる場合もありますが，同名の異なる定理が他にもあるのであまりこう呼ばない方がいいかも知れません．

figure 2

[証明]2つの三角形は容易に相似と分かりますから，図1右の場合，相似比より，
a:b＝c:d
図1左の場合，相似比より，
a:(a+b)＝c:(c+d)
⇔a(c+d)＝c(a+b)
⇔ac+ad＝ac+bc
⇔ad＝bc
⇔a:b＝c:d

図1の突き抜けた部分を削除した図2の場合は，triangle intercept theoremといい，日本の中学数学3の教科書の相似のところで登場する「三角形と比の定理」がこれに当たります．

figure 3

この定理を利用して証明できるもので，angle bisector theorem（角の二等分線定理）があります．図3のように，△ABCで∠Aの二等分線と直線BCとの交点をDとするとき、AB:AC=BD:DCが成り立つという定理です．証明方法はいくつかありますが，BAの延長線上にAD//ECとなる点Eをとる方法がよく知られています．

日本の中学数学3の教科書ではtriangle intercept theoremの後に，midsegment theorem 別名 midpoint (connector) theorem （中点連結定理=中国語では「中點定理」）が登場します．

＜中点連結定理＞ midsegment theorem / midpoint (connector) theorem
△ABCの2辺AB,ACのそれぞれの中点を結んだ線分は，残りの辺BCと平行かつ長さはその半分となる．

＜中点連結定理の逆＞
△ABCの2辺AB,AC上に端点を持つ線分が，残りの辺BCと平行かつ長さがその半分となるとき，線分の端点は各辺の中点になる．

次の場合も「中点連結定理の逆」と呼ばれる場合があります．
△ABCの辺ABの中点Mを通り辺BCに平行な直線と、残りの辺ACとの交点Nは、辺ACを二等分する．（triangle intercept theorem 中国語では「截線（せっせん）定理」）

<Reference>
Intercept theorem - Wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Intercept_theorem
中点連結定理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%82%B9%E9%80%A3%E7%B5%90%E5%AE%9A%E7%90%86