Natural Number

Natural number（自然数）は，用語としては簡単ですが，意外なのはその定義が異なる場合があるということです．日本の学習指導要領で，natural numberの定義はpositive integer（正の整数）{1, 2, 3, ....} なので，これが当然のように思われますが，場合によってはnon-negative integer（負でない整数）{0, 1, 2, 3, ....} をnatural numberとする場合があります．つまりnatural numberに0を含む場合があるということです．海外の数学教科書には，natural numberに0を含む場合と含まない場合が混在しています．

ISO = International Organization for Standardization（国際標準化機構）が2009年に公表したISO 80000-2は，数学記号について定義している国際規格ですが，ここでは次のように書かれています．

2-6.1　$\mathbb{ N }$
the set of natural numbers,
the set of positive integers and zero
$\mathbb{ N }$ = {0, 1, 2, 3, ...}
$\mathbb{ N }^*$ = {1, 2, 3, ...}

この記述から判断するならば，自然数に0を含むのが国際標準といえそうです．余談ですが，ISO 80000-2英語版では"positive integer"なのにWikipedia日本語版の"ISO 80000-2"が「正の数」となっていたので，「正の整数」に訂正しておきました．これで修正したのは，たぶん5～6回目ぐらい，アカウント登録してからは2回目です（笑）．

Whole number も integer（整数），またはpositive integer（正の整数），またはnon-negative integer（負でない整数）と説明されることがあり，定義がはっきりしないのですが，英語の本にはよく登場します．この3つの定義のどれかを掲載している辞書が多いのですが，ここ（THE FREE DICTIONARY）だけは3つの意味を併記していました．

whole number
1. A member of the set of positive integers and zero.

2. A positive integer.

3. An integer.

Counting number {1, 2, 3, ....} は文字通り「数える数＝計数」ですが，意味はpositive integer（正の整数）で，比較的低学年の教科書によく登場します．

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences = OEIS（オンライン整数列大事典）にはnatural numberの項目はなく，以下のようになっています．

A000027 {1, 2, 3, ...}
The positive integers. Also called the natural numbers, the whole numbers or the counting numbers, but these terms are ambiguous（しかしこれらの用語は曖昧）. 

A001477 {0, 1, 2, 3, ...}
The nonnegative integers.

因みにOEISのA000045:Fibonacci numbers（フィボナッチ数）は，F(n)=F(n-1)+F(n-2) with F(0)=0 and F(1)=1と定義されていますが，Wikipediaでは，F(1)=1 and F(2)=1が併記されています．これは，数列の初項を0, 1のどちらからでも始めていいという意味だと思われます．

また，WolframMathWorldでは以下のように述べられています．

「自然数」という用語は、 「正の整数」{1,2,3,...}（OEIS A000027），「負でない整数」{0,1,2,3,...}（OEIS A001477）の中にあるが，自然数に0を含めるかどうかに関する一般的な合意はない．基準となる用語がないため， "counting number"，"natural number"，"whole number"より，"positive integer"，"non-negative integer"という用語を使用することを推奨する．

国立教育政策研究所が2016年に実施した「平成28年度全国学力・学習状況調査」の中学校第3学年数学Aにこんな問題が出てしまいました．

1  (2)  次のア～オまでの中から自然数をすべて選びなさい．
ア -5    イ 0    ウ 1    エ2.5    オ 4

正答例はウとオなんですが，海外で教育を受けた帰国生の中にはイも正解として答えた生徒もいるはずです．気になったので主催者にこのことを説明して何らかの考慮をしないのか問い合わせてみましたが，案の定「正答例の通りで，特に考慮はしない」との回答でした．

[Reference]
Natural Number
https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
ISO 80000-2
https://ja.wikipedia.org/wiki/ISO_80000-2
Natural Number
http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html
平成28年度全国学力・学習状況調査問題・正答例・解説資料について
http://www.nier.go.jp/16chousa/16chousa.htm