日本の中学数学3で学習するbinomial（2項式）同士の積を展開するには次のように計算します．$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$この計算は，まずFirst terms同士を掛け（ac）, 次にOuter（ad）, Inner（bc）, Last（bd）と計算するので，これらの頭文字をとってFOIL methodといいます．このような覚えやすい方法をmnemonicといい，このように頭文字をとって新たな単語のように読む用語はacronym（頭字語）といいます．右の計算の続きはこうなります．
\begin{align}
(2x+3)(4x-5)&=2x\cdot4x+2x\cdot(-5)+3\cdot4x+3\cdot(-5)\\
&=8x^2-10x+12x-15\\
&=8x^2+2x-15\\
\end{align}
(2x+3)(4x-5)&=2x\cdot4x+2x\cdot(-5)+3\cdot4x+3\cdot(-5)\\
&=8x^2-10x+12x-15\\
&=8x^2+2x-15\\
\end{align}
日本ではこの計算方法に特別な名前はありません．
この応用として，binomial theorem（二項定理），trinomial theorem（三項定理），multinomial theorem（多項定理）があります．
二項定理
\begin{align}
(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\
(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\
(a+b)^n&=a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdot\cdot\cdot+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+b^n\\
&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\\
\end{align}
この応用として，binomial theorem（二項定理），trinomial theorem（三項定理），multinomial theorem（多項定理）があります．
二項定理
\begin{align}
(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\
(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\
(a+b)^n&=a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdot\cdot\cdot+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+b^n\\
&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\\
\end{align}
ここで各項のcoefficient（係数）は，$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$で得られ，これらを並べるとPascal's triangle（パスカルの三角形）ができます．
三項定理 （日本の高校教科書ではこれを多項定理と呼んでいます）
\begin{align}
(a+b+c)^2&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\
(a+b+c)^3&=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc\\
(a+b+c)^n&=\sum_{\substack{i+j+k=n}}\binom{n}{i,j,k}a^ib^jc^k\\
\end{align}ここで各項の係数は，$$\binom{n}{i,j,k}=\frac{n!}{i!j!k!}=(i,j,k)!$$で得られ，これらを並べるとPascal's tetrahedron（パスカルの正四面体）またはPascal's pyramid（パスカルのピラミッド）ができます．
多項定理
\begin{align}
(a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_m)^n&=\sum_{k_1+k_2+\cdot\cdot\cdot+k_m=n}\binom{n}{k_1,k_2,\cdot\cdot\cdot,k_m}\prod_{1\leq t\leq m}a_t^{k_t}\\
\end{align}ここで各項の係数は，$$\binom{n}{k_1,k_2,\cdot\cdot\cdot,k_m}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot\cdot\cdot k_m!}=(k_1,k_2,\cdot\cdot\cdot, k_m)!$$で得られ，これらを並べるとPascal's simplex（パスカルの単体）ができます．このsimplex（単体）とは，0次元の点，1次元の線分，2次元の三角形，3次元の四面体をn次元に一般化したものです．
因みに，このfoilという単語はもともとあって，金属の薄片，箔を意味します．あまりご縁はありませんが，ネイルアートでは爪にnail foilという薄片を貼りつけて装飾します．台所用品のアルミホイル（アルミ箔）は，実はaluminium foilなので，アルミフォイルと呼ぶべきところです．似たような言葉でアルミホイールといえば車に装備するaluminium wheelになります．
三項定理 （日本の高校教科書ではこれを多項定理と呼んでいます）
(a+b+c)^2&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\
(a+b+c)^3&=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc\\
(a+b+c)^n&=\sum_{\substack{i+j+k=n}}\binom{n}{i,j,k}a^ib^jc^k\\
\end{align}ここで各項の係数は，$$\binom{n}{i,j,k}=\frac{n!}{i!j!k!}=(i,j,k)!$$で得られ，これらを並べるとPascal's tetrahedron（パスカルの正四面体）またはPascal's pyramid（パスカルのピラミッド）ができます．
多項定理
\begin{align}
(a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_m)^n&=\sum_{k_1+k_2+\cdot\cdot\cdot+k_m=n}\binom{n}{k_1,k_2,\cdot\cdot\cdot,k_m}\prod_{1\leq t\leq m}a_t^{k_t}\\
\end{align}ここで各項の係数は，$$\binom{n}{k_1,k_2,\cdot\cdot\cdot,k_m}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot\cdot\cdot k_m!}=(k_1,k_2,\cdot\cdot\cdot, k_m)!$$で得られ，これらを並べるとPascal's simplex（パスカルの単体）ができます．このsimplex（単体）とは，0次元の点，1次元の線分，2次元の三角形，3次元の四面体をn次元に一般化したものです．
因みに，このfoilという単語はもともとあって，金属の薄片，箔を意味します．あまりご縁はありませんが，ネイルアートでは爪にnail foilという薄片を貼りつけて装飾します．台所用品のアルミホイル（アルミ箔）は，実はaluminium foilなので，アルミフォイルと呼ぶべきところです．似たような言葉でアルミホイールといえば車に装備するaluminium wheelになります．
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