Oblique Triangle

三角形で，isosceles triangle（二等辺三角形）でもequilateral triangle（正三角形）でもない，3辺の長さが異なる三角形（a triangle that has three unequal sides）をscalene triangle（不等辺三角形）といいますが，この名称は日本の教科書ではほとんど使われていません．内田康夫著作の推理小説「浅見光彦シリーズ」に「不等辺三角形」というタイトルがあって，TVドラマになったときにこの用語を初めて知りました．

ところがさらに日本でほとんど使われていないのが，直角を持たない三角形，つまり直角三角形でない三角形oblique triangle（非直角三角形または斜三角形）で，acute triangle（鋭角三角形）とobtuse triangle（鈍角三角形）をまとめたものです．英語の方を検索すると多数でてきますが，漢字の方を検索しても中国語のサイトばかりが出てきて，日本語のサイトはほとんど登場しません．Obliqueはもともと「斜め」という意味で，oblique angleは「直角またはその倍数でない角（angles that are not right angles or a multiple of a right angle）」という意味です．

三角形の一部の辺や角を知って他の辺や角を求めることを「三角形を解く」といいますが，この場合，英語では”solving oblique triangles”ということが多いです．これはcosine rule（余弦定理）が，直角三角形ではcos90°＝0なのでPythagorean theorem（三平方の定理）になってしまうため，その場合を始めから区別して述べているわけです．

【Oblique Triangle 問題】
(1) In the oblique triangle ABC, find side c if side a=5, b=10, and they include and angle of 14°.
△ABCで，辺a=5, b=10でその間の角が14°のとき，辺cの長さを求めよ．

(2) AB is a line 652 feet long on one bank of a stream, and C is a point on the opposite bank. A = 53°18', and B = 48°36'. Find the width of the stream from C to AB.

（解答はこちら）

ところで日本の小中高で習うEuclidean geometry（ユークリッド幾何学）に対して，non-Euclidean geometry（非ユークリッド幾何学）という分野があります．こちらで定義される三角形は，内角の和が180°になりません．elliptic geometry（楕円幾何学）の特別な場合であるspherical geometry（球面幾何学）でのspherical triangle（球面三角形）は，内角の和が180°より大きく，540°より小さくなります．また，その反対のHyperbolic Geometry（双曲幾何学）でのhyperbolic triangle（双曲三角形）は，内角の和が180°より小さく，0°になる場合もあります．

spherical trigonometry（球面三角法）における三角形は，辺（弧）の長さが球の中心角と一致するのが特徴です．これは，半径を1として弧度法（半径と弧の長さが等しい扇形の中心角を1とする角度の表し方）を用いれば，扇形の弧の長さは中心角と一致するからです．つまり，扇形の弧の長さの公式 l=rθでr=1とすると，l=θなので，例えば右図の球の半径が1で中心角a=$\frac{π}{2}$（度数法では90°）ならば弧BCの長さは$\frac{π}{2}$になります．

spherical trigonometryでも平面上と同じように「三角形を解く」ことができ，正弦定理や余弦定理もあります．

spherical trigonometryのsine rule（正弦定理）
$$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}$$
spherical trigonometryのcosine rule（余弦定理）
$$\cos a=\cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A$$$$\cos b=\cos a \cos c + \sin a \sin c \cos B$$$$\cos c=\cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C$$sinaやcosbなど，これまで角度だったところに辺の長さがあると少し違和感がありますが，半径1の円で弧度法を使えば，辺の長さと角の大きさが同じ値なのでこのような表現になります．これらの定理の証明は他サイトにありますので探してみてください．

因みに筋肉の名称にabdominal oblique muscle（腹斜筋）というのもがあります．これはよく言う「横腹の筋肉」のことです．scalene muscles（斜角筋）というのもあります．首筋にあるのですが，3つあってどれも長さが異なり，「不等辺」になっています．

<Reference>
The Law of Cosines
http://www.themathpage.com/atrig/law-of-cosines.htm
Oblique Triangles
http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/oblique.html
このウェブページの問553は答えが間違っています．チェックしてみて下さい．
Oblique Spherical Triangle
http://www.mathalino.com/reviewer/spherical-trigonometry/oblique-spherical-triangle