Jul 18, 2022

Sextic

Sex は「性」や「性別」などの意味があるので,sexual, sexy は「性的な」という意味になります.それなら sextic も同様の意味ではないかと思ってしまいますが,これは全く異なる意味の数学用語で, 形容詞なら「6次の」,名詞なら「6次式」という意味になります.6 なら six だろうと思いますが,数学用語は Latin(ラテン語)や Greek(ギリシャ語)が語源になっているものが多く,これも Latin で 6 を表す sex を語源としています.なので,例えば sextic function なら6次関数という意味になります.

両言語の数詞をまとめてみました.


数学用語以外にも,monotone, duet, triathlon など,これらが頭につくものがたくさんありますね.

[Quiz] 1960年代に「ドリフターズ」から分裂して活躍した4人組コミックバンド(のちに5人になった)のグループ名は「○○○○カルテット」.○○○○は何?

[Answer] (次の行をドラッグしてください)
Donkey Quartet(ドンキーカルテット)

紀元前,1年が10か月だった時代,今の August(8月)は Sextilis(6番目の月)と呼ばれていました.その後 January, February が加わって12か月になっても名称は変わりませんでしたが,後にローマ皇帝 Augustus が自分の名を使って August に変えました.因みに,7月も Quintilis(5番目の月)だったのを,あの Julius Caesar が 同じく自分の名をとって July に変えました.しかし,September から December は当初の意味から2か月ずれたまま残っています.

意外なところでは,16進法を hexadecimal または sexadecimal と言うのに対し,60進法は sexagecimal と言いますが,hexagecimal とは言わないようです.

次数の表現です.


1変数の sextic equation(6次方程式)は一般に次式で表されます.$$a_6x^6+a_5 x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$$Abel–Ruffini theorem(アーベル–ルフィニの定理)により,5次以上の方程式は代数的に(四則演算と累乗根で)解けないのですが,Galois theory(ガロア理論)から,ある条件を満たすときは代数的に解けることが分かっています.例えば次のような特別な形なら$x^3$を変数とする2次方程式として代数的に解くことができます.$$a_6x^6+a_3x^3+a_0=0$$必ず解ける代数的でない(超越的な)解法はあるのですが,あまりにも複雑なので,実用的には数値計算で解を求めるのが一般的です.

Cayley's sextic

次の2変数 sextic equation(6次方程式)を Cayley's sextic といいます.これは他の人が最初に発見したのですが,Cayley が詳しく研究したのでこの名前がついています.$$64 (x^2+y^2)^3-48 ax (x^2+y^2)^2-3 a^2(x^2+y^2)(5 x^2+9 y^2) -a^3 x^3=0$$
a=-1のとき                                     a=1のとき

これはよく知られた Cardioid(心臓形)上の任意の点における接線に原点から降ろした垂線の足の軌跡(pedal curve=垂足線)になっています.
内側の曲線がCardioid (Wolfram MathWorld)

[Reference]



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