Power of a Point Theorem

Power of a point theoremは「方べきの定理」のことをいいます．日本語からは想像できない英語なので意外ですね．power of a pointは直訳すると「点の力」，「点の冪（べき）」となります（数学用語でpowerはべき＝累乗という意味もある）．これが「方べき」にあたることになるのでしょうか．

日本の高校教科書にある方べきの定理は、図1と図2の場合、

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

図3の場合、

$PA\cdot PB=PT^2$

が成り立つとなっています。

この定理はもともとEuclid's Elements Book III（ユークリッドの「原論」第3巻）にあります。

Proposition 35（第35命題）
"If in a circle two straight lines cut one another, then the rectangle contained by the segments of the one equals the rectangle contained by the segments of the other."
「ある円の中で2本の直線が交わっているとき、一方の2線分でできる長方形（の面積）と他方の2線分でできる長方形（の面積）は等しい」

これは図1で、

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

が成り立つという意味になります。

Proposition 36（第36命題）
"If a point is taken outside a circle and two straight lines fall from it on the circle, and if one of them cuts the circle and the other touches it, then the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts the circle and the straight line intercepted on it outside between the point and the convex circumference equals the square on the tangent."

「ある円の外の点を通る2本の直線の一方が円と交わり、他方が円と接しているとき、外の点と交点を結ぶ2線分でできる長方形（の面積）と接線の上の正方形（の面積）は等しい」

これは図3で，

$PA\cdot PB=PT^2$

が成り立つという意味になります．

以上まとめると，

$$PA\cdot PB=PC\cdot PD=PT^2\tag{1}$$

というわけで「方べき」は「長方形の2辺の積」「正方形の1辺の2乗」という意味だと考えられます．

GeoGebraでこの面積を視覚化したものを作ってみました．

図4

Euclid's Elements (BC300) から約2000年を経た1826年に，power of a pointはスイスの数学者Jacob Steinerによって次のように定義されました．図4で、点Pから円の中心までの距離をd，円の半径をrとするとき，
$$p=d^2-r^2\tag{2}$$この値は，点Pが円外ならd>rなので

$p=d^2-r^2=PT^2$

という正の数になり，円上ならd=rなので0になり，点P'のように円内ならd'<rなので

$p=d'^2-r^2=-P'T^2$

という負の数になります．従って，式(1)は式(2)の絶対値になっています．

具体例を見てみましょう．r=1，d=$\frac{5}{3}$のとき，円外の点Pのpower of the pointは，

$p=\left(\frac{5}{3}\right)^2-1^2=\frac{16}{9}$

円内の点P'のpower of the pointは，d'=$\frac{3}{5}$なので，

$p=\left(\frac{3}{5}\right)^2-1^2=-\frac{16}{25}$

となり，このときの点Pと点P'はinversive geometry（反転幾何学）という分野のinverse pointという関係になります．

Steinerは弦から点へと視点を移し，$d^2-r^2$という不変量でpower of a pointを定義しました．今となっては，「長方形，正方形の面積」というよりは「円に対して点が持つ値」，まさに文字通り「点の力」というべきではないでしょうか．

因みに，図1の場合を"intersecting chords theorem（直訳：交弦定理）"，図2の場合を"intersecting secants theorem（直訳：交割線定理"，図3の場合を"secant-tangent theorem（直訳：割線接線定理）"と呼ぶ場合があります．

<Reference>
Wolfram MathWorld > Circle Power
このウェブページの式(4)はrが抜けています．チェックしてみて下さい．
Mathematical Association of America (MAA) > Jacob Steiner and the Power of a Point

Solutions ＜解答編＞

（注）日本の学校の試験は，電卓を使わないのが常識ですが，海外では電卓を使う試験と使わない試験と両方あります．このサイトで手計算で困難な問題は，グラフ電卓（GDC），グラフ電卓アプリ，オンラインの質問応答システム等を使っています．原則としてsignificant figures（有効数字）は3桁にしています．

"Cartesian plane" 以降の解答は各投稿の最後にあります．

[Cartesian plane 解答]
(1)  $y=3x$

(2)  $x^2-y^2=1$

[Hemisphere 解答]

図の斜線部のx軸回転体になります．r-v=aとすると，

$\pi\displaystyle\int_0^a(r^2-x^2)dx=\frac{1}{3}\pi a(3r^2-a^2)$

これにr=10, a=7を代入すると，約1840

[Vinculum 解答]

$\displaystyle\frac{434}{1221}$，$0.\overline{355446}$

[Shear Transformation 解答]

直線BDは　$y=\displaystyle\frac{-3}{2}(x-1)$

点Cを通りBDに平行な直線は　$y-1=\displaystyle -\frac{3}{2}(x-2)$この直線と$x$軸との交点J＝$\left(\displaystyle\frac{8}{3}, 0\right)$

直線AJの傾きは　-3
求める直線の$x$軸との交点をKとすると，

直線BKは　$y-3=-3(x+1)$より　$y=-3x$となり　$K=(0, 0)$
よって求める直線AKは　$y=5x$

[Closure Property 解答]

closed under multiplication and division.
not closed under addition and subtraction since 1+1=2, 1-1=0.

[Duck’s Egg 解答]

(1)定義より　

$\sqrt{x^2+y^2}+m\sqrt{(x-c)^2+y^2}=d$

平方根をひとつ移項して平方し，残った平方根と他方を分けてまた平方して整理すると，式(1)が導かれる．

(2)定義より　

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} \times \sqrt{(x-c)^2+y^2}=d^2$

平方して整理すると，式(2)が導かれる．

[Half-life 解答]
現在の炭素12の量からわかるこの羊皮紙の炭素14の初期値は$N_0=1.3 \times 10^{–12}$，できてからt年後に残っていた炭素14は$N=1.0 \times 10^{–12}$，$t_{1/2} = \displaystyle \frac{\ln{2}}{\lambda}$より$\lambda =\displaystyle  \frac{\ln{2}}{t_{1/2}}=\frac{\ln{2}}{5730} $なので，$N=N_0 \cdot e^{-\lambda t}$より，$$1.0 \times 10^{–12} = (1.3 \times 10^{–12}) e^{-\frac{\ln2}{5730} t}$$これを解くと，$$t \approx 2170 $$この羊皮紙は2170年前のものであり，3270年前と約1100年の違いがあるので，偽造されたものと考えられる．

[Radii 解答]

(1) $S=\frac{1}{2}\cosh t \sinh t - \displaystyle  \int_1^{\cosh t} \sinh t dx$

     第2式$=\displaystyle  \int_0^t \sinh^2 t dt=\int_0^t \frac{\cosh 2t -1}{2} dt=\left[\frac{\sinh 2t}{4}-\frac{t}{2}\right]_0^t=\frac{\sinh 2t}{4}-\frac{t}{2}$

$=\displaystyle \frac{1}{2}\cosh t \sinh t - \frac{t}{2}$

     よって，$S=\displaystyle \frac{t}{2}$

(2) $V=\displaystyle \frac{1}{3}\pi r^2 (R-h) + \pi \int_{R-h}^{R} (R^2-x^2)dx$

     $\displaystyle \frac{V}{\pi}=\frac{1}{3}(2Rh-h^2) (R-h) + \left[R^2 x - \frac{1}{3}x^3\right]_{R-h}^R$

          $=\displaystyle \frac{1}{3}(2R^2h-3Rh^2+h^3)+ R^2 (R-(R-h)) - \frac{1}{3}(R^3-(R-h)^3)$

          $=\displaystyle \frac{2}{3}R^2 h$

     よって，$V=\displaystyle \frac{2}{3}\pi R^2 h$

(3) $V=\displaystyle \frac{1}{3}\pi(R^2-(R-h-b)^2)(R-h-b)+\pi\int_{R-h-b}^{R-b}(R^2-x^2) dx $ 

$\displaystyle - \frac{1}{3}\pi(R^2-(R-b)^2)(R-b)$

$\displaystyle \frac{V}{\pi}=$

    $=\displaystyle \frac{2}{3}R^2 h$

　よって，$V=\displaystyle \frac{2}{3}\pi R^2 h$

[DMS 解答]

(1) 28.2564°

(2) 36° 23’ 24”

[DST 解答]

(1) Substitute D=15 and S=6 into the formula T=D/S

T=15/6=2.5 hours

So Simon will take 2 hours and 30 minutes to cover the distance.

(2) If the D=d, take d/60 hours on going and take d/20 hours on returning. So the average speed is 2d/(d/60+d/20)=30 km/h.

[Line Graph 解答]

(1)

(2)

[Complete Pair & Half Pair 解答]

$\displaystyle \frac{8.4}{\sin{59°}}=\frac{9.5}{\sin{B}}$
$\sin{B}=\displaystyle \frac{\sin{59°}}{8.4}×9.5=0.9694...$

$B_1=\sin^{-1}0.9694...=75.8°$
$B_2=180-75.8=104.2$
$B=75.8°$ or $104.2°$
このように2通りの場合があることを ambiguous case といいます．

[At Most 解答]

$\displaystyle q=-\frac{1}{6}x^3+\frac{13}{6}x+1$

[Scale Factor 解答]

a) 12:5:13
b) 63:67

[HCF 解答]

240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5

924 = 2 x 2 x 3 x 7 x 11

The HCF is 2 x 2 x 3 = 12

[Oneth 解答]

False
https://www.proprofs.com/discuss/q/592712/you-can-have-decimal-oneths-5gb

[Riemann Sum 解答]

$f(t)=-t^3+4$とすると，

$\displaystyle \frac{2}{5} \left( f(-1)+f\left(-\frac{3}{5}\right)+f\left(-\frac{1}{5}\right)+f\left(\frac{1}{5}\right)+f\left(\frac{3}{5}\right) \right)=8.4$

（定積分の正確な値は8になります）

[PEMDAS / BODMAS 解答]

（WolframAlphaやグラフ電卓TI84などでは）

$12/3x-3+4=12÷3×2-3+4$

$=4×2-3+4=8-3+4=5+4=9$

（日本の学習指導要領中学数学では）

$12/3x-3+4=12÷(3×2)-3+4$

$=12÷6-3+4=2-3+4=-1+4=3$

参照　WikipediA "Order of operations"

[Radicals and Surds 解答]

(1)  b
(2)  $\displaystyle \frac{4+\sqrt{6}}{2}$

[Continued Square Roots 解答]

3

[Ferris Wheel 解答]

(a) a=13, b=12, c=π/30, d=15  (b) 24.9 m

[Straightedge and Compass Construction 解答]

1)

2)

①線分ABの垂直2等分線mを引き、線分ABの中点をMとする。

②直線m上（線分ABの上側）に、AB=MPとなる点Pをとる。

③APの延長上に、AM=PQとなる点Qをとる。

④Aを中心としてAQを半径とする円と、直線mとの交点（線分ABの上側）をDとする。

⑤Dを中心としてABを半径とする円と、Aを中心として同じ半径の円の交点（直線mの左側）をEとする。

⑥Dを中心としてABを半径とする円と、Bを中心として同じ半径の円の交点（直線mの右側）をCとする。

⑦B, C, D, E, Aを結ぶ。

[Direct Variation 解答]

Let A=kab
300π=k×10×30
k=π
A=πab

[Pronumeral 解答]

(a) θ=arctan(15/5)=71.6°
(b) x=8tan70°=22.0
(c) α=arccos(7/12)=54.3°,  β=90-54.3=35.7°

[Radix Point 解答]

                                                                           

[Fractional Part 解答]

$5^2=25$，$6^2=36$だから，xのinteger partは5と推測できるので，x=5+tとおくと，$x^2+\{ x \}^2=27$より，$(5+t)^2+t^2=27$
これを解いて，$t=\displaystyle \frac{-5+\sqrt{29}}{2}$

よって，$x=5+t=\displaystyle \frac{5+\sqrt{29}}{2}$

[Inside and Outside Function 解答]

仮定　$g∘h(x)=2x^2+3x\hspace{ 203pt } (1)$

仮定　$h∘g(x)=x^2+2x-2\hspace{ 190pt } (2)$

式(2)に$x=-2$を代入すると，$h∘g(-2)=-2\hspace{ 130pt } (3)$

ここで$g(-2)=t$とおくと式(3)は $h(t)=-2$ だから， $g∘h(t)=g(-2)\hspace{33pt } (4)$

式(1)より $g∘h(t)=2t^2+3t$なので，式(4)は $2t^2+3t=t$

これを解いて，$t=0, -1$　すなわち $g(-2)=0, -1$

選択肢の中からは，(b) $-1$ が正解．

[Plan and Elevation 解答]

(a)

(b)

(c)

[Lagrange's Notation, Leibniz's Notation 解答]

a) $p(x)=r(x)-c(x)=4 \sqrt x-2x^2$
    $=4x^{\frac{1}{2}}-2x^2$

b) $\displaystyle \frac{dp}{dx}=2x^{-\frac{1}{2}}-4x, \ \frac{d^2p}{dx^2}=-x^{-\frac{3}{2}}-4$

c) $\displaystyle \frac{dp}{dx}=0 \Leftrightarrow x=2^{-\frac{2}{3}}=0.6299...$

    maximum 0.630 thousands (or 630)

[Wrapping Function 解答]

Q1.
a. W(2)=(0,1), W(3)=(0,0), W(4)=(1,0), W(5)=(1,1)
b. 単位正方形を1周，2周，…と包んでいくので周期関数になる．周期は4．
c. 通る点が周期的になるので，その座標も周期的になる．
d. nを整数（n∈$\mathbb{ Z }$），[   ]をガウス記号とすると，
4n≤t≤4n+1のとき，W(t)=(1, t-[t])
4n+1≤t≤4n+2のとき，W(t)=(1-t+[t], 1)
4n+2≤t≤4n+3のとき，W(t)=(0, 1-t+[t])
4n+3≤t≤4(n+1)のとき，W(t)=(t-[t], 0)
よって，u=c(t)とu=s(t)のグラフは，

u=c(t)                                 u=s(t)

Q2.
点(1,0)を起点として単位円を反時計回りに包む円弧の長さがtのときの先端の座標を(cost, sint)と定義する．

[Diophantine Equations 解答]

(1) The problem can be restated as an equation of the form 300x+210y=d, where x is the number of pigs, y is the number of goats, and d is the positive debt. The problem asks us to find the lowest d possible. x and y must be integers, which makes the equation a Diophantine equation. The Euclidean algorithm tells us that there are integer solutions to the Diophantine equation ax+by=d, where d is the greatest common divisor of x and y, and no solutions for any smaller d. Therefore, the answer is the greatest common divisor of 300 and 210, which is 30, (C).

(2) 95x+97y=4238 ⇔ 95x+97(y-43)=67 ⇔ 95p+97q=1 ⇔ 95･48+97･(-47)=1 ⇔ 95･3216+97･(-3149)=67 ⇔ x=3216+97k=15+97(33+k) ⇔ Donut=15
Jack must pay 15･0.95=14.25, and Jill must pay 29･0.97=28.13. The total to pay is 42.38, which accords with the total bill.

[First Principles 解答]

（途中，$\dfrac{h}{x}$を$d$と置き換えています）$$\begin{align}(\ln x)' &= \lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\ln \left( \dfrac{x+h}{x}\right) \\ &= \lim_{h\to 0}\ln \left( 1+\dfrac{h}{x}\right)^\dfrac{1}{h}\\ &= \lim_{d\to 0}\ln \left( 1+d \right)^\dfrac{1}{dx}\\&= \lim_{d\to 0}\dfrac{1}{x}\ln \left( 1+d\right)^\dfrac{1}{d} \\ &=\dfrac{1}{x}\ln e
 \\ &= \dfrac{1}{x}\end{align}$$

[Explicit Formula 解答]

上の$C_n=2^n$は$C_n=2^{n-1}$に，$2^6=32$は$2^5=32$に訂正してください．

正解は$2^{n-1}$ではなく，$\displaystyle \frac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)$になります．その理由はMethod of Differencesで見てください．

(Moser's Circle Problem)

[Significant Figures 解答]

GDCを利用して，V=integral from a to b PI y^2 dx より
a) 18.6
b) 30.2

[Bearings 解答]

a) Boat A: (x₁(t), y₁(t))=(2, 4)+t(1, -3) より x₁(t)=2+t, y₁(t)=4–3t,  t ≥0

b) Boat B: (x₂(t), y₂(t))=(11, 3)+(t-2)(-1, a) より x₂(t)=13–t, y₂(t)=3–2a+at,  t ≥2

c) 2+t=13–t より t=11/2 だから 2:22:30 pm

d) このとき 4-3t=3–2a+at より a=-31/7 なので 速度ベクトルは v=(-1, -31/7) となり Tan^-1(7/31)≈13º だから bearing≈13º west of south (or 193º)

|v|=√(1+a²)=√(1010/49)≈4.54

[Tabular Method 解答]

1. $\displaystyle \int{x^2\log x}dx=\frac{1}{9}x^3(3\log x-1)+C$

2. $\displaystyle \int{x^6e^x}dx=e^x (x^6-6x^5+30x^4-120x^3+360x^2-720x+720)+C$

3. $\displaystyle \int{e^{-x}\sin x}dx=-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)+C$

[R-Alpha Method 解答]

左辺を変形すると，

$\sqrt{52}\cos(x–33.7°)=3$

これを解いて，

x=99°，328°

ところが，右図のようにグラフ電卓を使うと，左辺のグラフと右辺のグラフの交点を求めれば，式変形しなくても解けます．

Cantor set

[Midsegment Theorem 解答]

Cantor set は1回の操作につき，長さ1/3の相似図形が2つ残るので，そのfractal dimensionは，

log32=0.6309297536...≈0.63

Koch curve

Koch curve は1回の操作につき，長さ1/3の相似図形が4つ残るので，そのfractal dimensionは，

log34=1.261859507...≈1.26

[Compound Interest 解答]

$A(3)=2340.00\times e^{0.031\times 3}\approx2568.06$

[Magnitude 解答]

$R=\log_{10}\frac{4I}{I_0}=\log_{10}4+\log_{10}\frac{I}{I_0}\approx0.6+8.3=8.9$

[Crisscross Method 解答]

$12x^2-61x-16$のAC=-192, B=-61なので，積が-192で和が-61になる2数は3と-64．よって，$12x^2+3x-64x-16=3x(4x+1)-16(4x+1)=(3x-16)(4x+1)$

[Squeeze Theorem 解答]

$$0<\frac{n^n}{(2n)!}=\frac{n^n}{2n(2n-1)\cdot\cdot\cdot(n+1)n!}<\frac{n^n}{n^n\cdot n!}=\frac{1}{n!}$$右辺の極限値は0なので, $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(2n)!}=0$$

[Oblique Triangle 解答]

(1) 余弦定理より$$\sqrt{28}=2\sqrt{7}\approx5.29$$(2) A=53°18'=53.3°，B=48°36'=48.6°より，C=180-53.3-48.6=78.1°で正弦定理より$$\frac{\sin{C}}{c}=\frac{\sin{B}}{b}\Leftrightarrow\frac{\sin{78.1^\circ}}{652}=\frac{\sin{48.6^\circ}}{b}\Leftrightarrow b=\frac{652\cdot\sin{48.6^\circ}}{\sin{78.1^\circ}}=499.8$$$$w=b\sin{53.3^\circ}=400.7\approx401$$

[Rhomboid 解答]

短い方の対角線の長さを2xとし，長い方の対角線と底辺とのなす角をαとします．平行四辺形の面積が48で底辺が5なので，高さは48/5となります．なのでsinの定義より$$\sin\alpha=\frac{\frac{24}{5}}{2x-2} $$一方，余弦定理より，$$\cos\alpha=\frac{5^2+(2x-2)^2-x^2}{2\cdot5\cdot(2x-2)}$$これらを$$\sin^2x+\cos^2x=1$$に代入して整理すると， \[9x^4-48x^3-162x^2+336x+2745=0 \] となるので，この4次方程式を解かなければなりません．手計算では困難なのでグラフ電卓を使って，左辺の4次関数の零点（x軸との交点）を求めましょう．

よって，x=5 および x=5.6828668…ですが，”exact value”（近似値でなく根号やπなどを用いた値）で答えなければならないので， WolframAlphaに計算してもらうと，2つの実数解と2つの虚数解になり，実数解のひとつであるx=5.68…の方のexact valueは大変な値になりました．下図の上から2つ目のxです．

このように実数解が2つ，虚数解が2つありますが，最も簡単な値（x=5）のときだけ周長まで計算してみましょう．x=5のとき，長い方の対角線の長さの1/2は2x-2=8です．このとき対角線のなす角もαなので，$$\sin(\pi-\alpha)=\frac{3}{5} \space\space\space\space \cos(\pi-\alpha)=-\frac{4}{5}$$となって，余弦定理より，$$b^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot \cos(\pi-\alpha)=153$$$$b=\sqrt{153}=3\sqrt{17}$$従って，x =5のときのrhomboidの周長のexact valueは$$2a+2b=10+6\sqrt{17}$$となり，近似値は約34.7となります．

[Cevian 解答]

b=8, c=7, m=6, n=5, a=11なので，Cevian ADの長さは式(4)より
$$\sqrt{\frac{299}{11}}\approx5.21$$

Recommended Sites

Math is Fun
小中高レベルの数学を分かり易く解説しているサイトです．似たような多くの学習サイトには登録や課金を勧める画面がよく出てきますが，ここではそれはありません．

WolframAlpha
数式処理システム"Mathematica"を開発したアメリカのWolfram Research社が提供する，どんな質問にも答えてくれるサイトです．手計算では絶対無理なものでもすぐに解答を出してくれます．

Wolfram MathWorld
同じくWolfram Research社が運営している数学のオンライン百科事典です．用語の説明だけでなく，誰がいつ発見したかなど，かなり詳しい解説もあります．Wikipediaの記事が正しいかどうかを確認できます．

GeoGebra
いろいろな計算，2D&3Dグラフ，2D&3D図形，統計処理などあらゆる数学の題材の視覚化がオンラインでできるサイトです．世界中の利用者の作品を利用したり，応用したりすることができます．ソフトウェアでも提供されています．

YouTube
子どもは親から「Youtubeばっかり見てないで！」と𠮟られますが，学習したい用語で検索すると，必ずといっていいほどその解説が見つかり，勉強になります．上手に利用したいものです．もちろん，英語の動画はリスニングにも役立ちます．

Wikipedia
不特定多数の人が編集できるので記事の信頼性が問題視されることもありますが，筆者が利用している限り，数学に関してはあまり間違いを見つけたことがなく，大いに参考にしています．筆者自身も登録していて，これまでに何度か加筆・修正したことがあります．

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences（オンライン整数列大辞典）- OEIS
35万を超える整数列が紹介されています（2022年1月現在）．例えば，1, 2, 3, 4, 5, ......は，"The positive integers. Also called the natural numbers, the whole numbers or the counting numbers, but these terms are ambiguous（曖昧）." と書かれています．

Encyclopedia of Triangle Centers - ETC
4万6000を超える三角形の中心が紹介されています（2022年1月現在）．例えば，最初の4つはお馴染みの，incenter,（内心）, centroid（重心）, circumcenter（外心）, orthocenter（垂心）です．

The Largest Known Primes
いろいろなタイプの素数が大きい順に紹介されています．2022年1月現在は，2018年に発見された$2^{82589933}-1$というメルセンヌ素数が最大で，24862048桁にもなります．

Abbreviations.com
いろいろな分野の略語が集められていて，数学だけでも3700を超えています（2022年1月現在）．例えば，SASといえば日本では "Southern All Stars" が有名ですが，Mathematics の category では，"Side Angle Side"（三角形合同条件の二辺挟角相当）になります．

Column ”One More Word”

GDC
Graphic Display Calculator（グラフ電卓）のことです．関数電卓にグラフを描く機能がついています．IB（international baccalaureate 国際バカロレア）が採用されている多くのinternational school をはじめ，世界中の学校で授業にも試験にも使われています．

expression
直訳すると「表現」になりますが，数学では「式」を意味します．式には numerical expression（数式），linear expression（一次式），proportional expression（比例式）などいろいろあります．algeraic expression（代数式）は，日本語の中高生のテキストでは「文字式」と表されています．等式はequality，方程式はequation，恒等式はidentity，公式はformulaと使い分けます．

elimination method
直訳すると「消去法」ですが，日本の中学数学の教科書の simultaneous equations（連立方程式）のところでは「加減法」にあたります．式を加減して一方の変数を消去するので addition and subtraction method ともいう場合もありますが，多くの場合は elimination method と呼ばれています．

a/b (division slash)
数学記号について定義している国際規格であるISO 80000-2:2009では，割り算の記号は$\frac{b}{a}$または$a/b$と表し，「記号 ÷ は使うべきではない」と書かれてあります．この記号を使っている国が少ないことがその理由です．他にも「使うべきではない」ものが4つあり，「避けるべきである」ことが13個もあります．

congruent
図形の「合同」（同じ形で同じ大きさ）という意味で使われますが，線分も図形のひとつなので線分が同じ長さであることも "congruent" といいます．日本語では2つの線分が「同じ長さ」であるということはあっても「合同」であるとはいいませんね．記号も≡を≅と書く場合があります．

altitude
標高，海抜，高度などという意味によく使われますが，図形では高さを意味します．高さはheightという場合が多いのですが，この用語もよく使われます．このようにどんなことも積極的に知ろうとするattitude（態度）が自然に出てくるのもひとつのaptitude（素質）といえますよね．

COP
constant of proportionality（比例定数）を略してこう呼びます．COPといえば，映画 "Beverly Hills Cop" のように「警察官」という意味もあるし，気候変動枠組条約とかラムサール条約などの加盟国の会議 Conference of the Parties（締約国会議）という意味もあります．比例定数も含めてすべて「コップ」と読みますが，前後の文章から意味はすぐに分かります．

vertical line test
変数xとyの関係で，ひとつのxに対してyがひとつだけ決まる場合，「yはxの（一価）関数である」といいます．座標平面上で，「x軸に垂直な直線を水平に移動させて，あるグラフと常に1回だけ交わるなら，yはxの関数である」と判断するためのテストです．

# (number sign)
米国では "number" を略してこの記号を使うことがよくあります．例えば "number of apples" と書くところを，"# of apples" のように書きます．なお，これはハッシュタグとも呼ばれていて，その方が有名ですね．因みに音楽の♯（sharp=半音上げる記号）は異なる記号なのですが，日本では電話機にある#(number sign)をシャープと読んでしまうことが多いですね．この電話機の記号#は，米国ではpound，英国系ではhashと呼ばれています．

∅ (null sign)
これは "empty set（空集合）" を表す記号ですが，ノルウェー語のアルファベット∅（近い発音はウォ）であり，ギリシャ文字のΦ（PHI）ではないのでファイとは読まずにウォと読むべきなんですが，あまり知られていないので empty set と読む方がいいでしょう．

AB‖CD (parallel symbol)
日本では普通AB∥CDのように平行を表す記号は2本の斜線を使いますが，縦2本でも同じことを表します．他にも，≒を$\approx$と書くなど，国際的に統一されていない記号がいくつかあります．

(  )　(parenthesis or bracket)
普通の丸括弧は，米国ではparenthesis（なぜかカタカナ表記では「パーレン」）といいます．英国系では bracket（カタカナ表記では「ブラケット」）といい，例えば (x+3)×4 をそのまま表すと Open parenthesis, x plus three, close parenthesis, times four になりますが，少し長くなるので「括弧」という言葉を使わずに，the quantity x plus three, times four（x+3という量に4を掛ける）と表現する場合があります．

PI (circle ratio)

円周率πをアルファベットでこう表します．どちらも読み方はパイです．同様に黄金比の値φもPHIと表すことがあります．小説 "The Da Vinci Code（ダ･ビンチ･コード）" の中で数学専攻の学生が "PHI is one H of a lot cooler than PI!" と発言する場面があります．日本語に翻訳された本のこの部分は誤訳ではないかと話題になりました．あなたならどう訳しますか？

400 grade（グラード）

時間を10進法にしようとした話がありましたが，これは角度を10進法にしようとしたもので，100 grade = 90°，すなわち 400 grade が 360°（周角）になります．360°は他にもいろいろな言い方があります．perigon,  round angle,  full angle,  complete angle,  1 turn,  2π radian,  τ radian.