Quadratic Formula

二次方程式はquadratic equation，二次関数はquadratic function，二次式はquadratic expressionといいますが，なぜ二次はsecond degreeではないのでしょうか．Wolfram Math World には，このように書かれてありました．

The Latin prefix quadri- is used to indicate the number 4, for example, quadrilateral, quadrant, etc. However, it also very commonly used to denote objects involving the number 2. This is the case because quadratum is the Latin word for square, and since the area of a square of side length x is given by x^2, a polynomial equation having exponent two is known as a quadratic ("square-like") equation. 

ラテン語の接頭辞quadriは4という数字を示しているが，2という数字を含むものも表していた．Quadratumはラテン語の正方形という意味であり，その1辺をxとすると面積はxの2乗になることから，2乗を含む方程式はquadraticな（正方形的な）方程式として知られていた．という理由のようです．

というわけで，quadratic formulaは二次方程式の解の公式のことです．Quadratic Formula Song（解の公式の歌）が動画サイトで多数見つかります．親しみやすそうなものを2つ選んでみました．

♪Pop! Goes the Weasel 

<Math Version>
x equals negative b
plus or minus the square root
of b squared minus 4ac
all over 2a 

<Actual Song>
All around the mulberry bush,
The monkey chased the weasel.
The monkey thought 'twas all in fun.
Pop! goes the weasel.
桑の木の周りで
サルがイタチを追っかけた
サルはとても楽しんだ
イタチがぴょんと跳ねた

all over 2aはこの前がすべて分子で2aが分母という意味です．また，'twasは"it was"の省略形です．

♪Row Row Row Your Boat 

<Math Version>
x equals opposite b
plus or minus the square root
of b squared minus 4ac
divided by 2a 

<Actual Song>
Row, row, row your boat
Gently Down the stream.
Merrily, merrily, merrily, merrily,
Life is but a dream.
ボートを漕ごう
そっと流れに乗って
陽気に楽しく
人生はただの夢

なぜnegative bではなく，opposite bなのかという説明が動画の中にありました．bがnegative number（負の数のときは）符号が変わってpositive number（正の数）になるからだそうです．

因みに，Quadratic Formulaは別名，Midnight Formulaといいます．

<Reference>

Wolfram Math World : Quadratic

https://mathworld.wolfram.com/Quadratic.html

世界の民謡・童謡
http://www.worldfolksong.com/

Long Division

Quotient-remainder theorem（商と余りの関係 or 割り算の原理）より，整数や整式はA÷Bに対して商Qと余りRが必ずあり，

A=BQ+R  (0≤R<B)

となることから，この割り算で商と余りを求めることを，Euclidean division（ユークリッド除法）またはentire division（整除法）といい，そのための筆算をlong division（長除法）といいます．Longに対してshort division（短除法）は，下に計算を書かない方法です．式の割り算や平方根の開平のための筆算もlong divisionといいます．発音の似た言葉で，Long Vacationは私の好きな大瀧詠一のアルバム，Long Versionは私の好きな稲垣潤一の歌です（笑）．

expanded synthetic division

2次式以上の整式を1次式で割るのに筆算より速い方法として，synthetic division（組立除法）が知られていますが，これを拡張して，2次式や3次式で割る方法をexpanded synthetic divisionといいます．例えば3次式x^3-12x^2-42を2次式x^2+x-3で割る場合，図のように計算し，商はx-13，余りは16x-81を得ます．やり方はguessしてみてください．

Lattice Method

因みに，2数の最大公約数を求める方法として，Euclidean algorithm（ユークリッドの互除法）があります．同様に乗法の筆算をLong Multiplicationといいます．他にも手計算で乗法を行う方法にLattice Methodがあります．例えば，948×827は図のような格子状の図を描いて783996を計算します．やり方はguessしてみてください．

<Reference>
Synthetic division
https://en.wikipedia.org/wiki/Synthetic_division

Lattice Method
http://mathworld.wolfram.com/LatticeMethod.html

Null Factor Law (NFL)

「ab=0ならばa=0またはb=0である」という性質を，Null Factor Law (NFL)といいます．日本語訳は特にありません．ただnull factor（零因子）という用語はあって，nil factorまたはzero divisorともいいます．例えば行列ではNFLは成り立たず，「AB＝0を満たす0でない行列A，B」があり，これらを零因子といいます．整数，実数，複素数などではab=0になるのはa=0またはb=0のときしかなく，これを零因子と呼ぶか呼ばないかというのは，代数学の環論という分野でのお話になります．NFLはzero-product propertyといういい方もよく使われます．

日本では中3で初めてquadratic equation（二次方程式）が登場しますが，解法は大きく分けて2つあります．
(M1) Factorising and using the Null Factor Law（因数分解してNFLを利用）
(M2) Quadratic formula（二次方程式の解の公式，別名midnight formula）

(M1)の手順は次の1-3です．

1. If necessary, rearrange to get 0 on the right hand side.（必要なら右辺を0にする）

2. Factorise（次の(1)-(5)のいずれかで因数分解する）

(1) By taking out a common factor（共通因数をくくり出す）  

$x^2−4x=0$
$x(x−4)=0$

(2) By using the difference of two squares rule（平方の差の公式） 

$4x^2−9=0$
$(2x+3)(2x-3)=0$ 

(3) By using the shortcut if a=1（$x^2$の係数が1の場合に手短かに解く方法）

$x^2+3x−10=0$

$(x+5)(x–2)=0$

(4) By using the full method if a<>1（$x^2$の係数が1でない場合に手短かでなく一般的に解く方法，Crisscross Methodの2.1参照）

$3x^2−10x−8=0$

$3x^2−12x+2x−8=0$

$3x(x−4)+2(x−4)=0$

$(x−4)(3x+2)=0$

(5) By completing the square（平方完成）

$x^2+6x+4=0$

$x^2+6x+9+4−9=0$

$(x+3)^2−5=0$

$(x+3)^2−(\sqrt{5})^2=0$

$(x+3+\sqrt{5})(x+3−\sqrt{5})=0$

3. use the Null Factor Law（NFLを使う）

上の(1)の続き　（(2)～(5)は省略）

$x(x−4)=0$
$x=0$または$x-4=0$ （NFL）
$x=0$または$x=4$

一般にNFLといえばNational Football League（アメリカのプロアメリカンフットボールリーグ）の方がずっと有名ですね．

<Reference>
Quadratic Equations
https://bhs-methods10.wikispaces.com/08-quadratic-eqns

Sum and Product of Roots

直訳すれば「根の和と積」という意味ですが，高校数学で登場する「二次方程式の解と係数の関係」のことです．これをn次方程式に一般化したものはVieta's formulas（ヴィエタの公式）といいますが，二次方程式の場合だけでもVieta's formulasと呼ぶ場合があります．

二次方程式の解と係数の関係は，2解を$\alpha$，$\beta$とすれば，$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)=a(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta)$$の係数を比較して，$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta=\frac{c}{a}$$となりますが，これがn次式方程式になると，n個の解を$r_i$で表せば，$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$右辺を展開して，
$$a_nx^n - a_n(r_1+r_2+\!\cdots\!+r_n)x^{n-1} + a_n(r_1r_2 + r_1r_3+\! \cdots\!+ r_{n-1}r_n)x^{n-2}$$$$+\! \cdots\! + (-1)^na_n r_1r_2\cdots r_n$$
左辺と係数比較して，$$r_1+r_2+\cdots+r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$$$$r_1r_2+r_1r_3+\cdots+r_{n-1}r_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$$$$\vdots$$$$r_1r_2\cdots r_n= (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$$となります．

似たような名前で，Viète's formula（ヴィエトの公式）というのがあります．これはπ（PI=円周率）を無限積表示する次の公式です．$$\pi=2\prod^{\infty}_{n=1}\frac{2}{a_n}$$（ただし，$a_n$は次の漸化式を満たす数列　$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$， $a_1 =\sqrt{2}$）

実はVietaとVièteは，フランスの数学者François Viète（1540–1603）のラテン語表記と仏語表記です．非常に珍しい例ですが，同一人物の名前がついているのに異なる公式になっています．同一人物なんだから同じ名前の表現を使いたいというときは，Vieta's root formulasとVieta's formula for PI，またはViète's lawsとViète's formulaと呼ぶ場合があります．

<Reference>
Vieta's formulas - Art of Problem Solving
https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Vieta%27s_Formulas