At Most

｢a は b 以下である｣ことを不等号を使って表すとき，日本では a ≦ b，海外では a ≤ b と表すことが多いです．

日本語では「a 小なりイコール b」（日本語とカタカナ英語が混じって気持ち悪い）または「aはb以下」と読み，英語では a is less than or equal to b と読みます．ただ他にも，a is at most b（直訳すると｢aは多くともb｣）など，いくつかの表現があります．

(1) a ≤ b or a ≼ b（a 小なりイコール b）（a は b 以下）

        a is at most b                                        a is no greater than b

        a is less than or equal to b                      a is not more than b

        a is b or less                                          a is no more than b

        a is not greater than b                            a does not exceed b

        

(2) a > b（a 大なり B）（a は b より大きい）

        a is greater than b                                 a exceeds b

        a is more than b                                    a is in excess of b

(3) a ≥ b or a ≽ b（a 大なりイコール b）（a は b 以上）

        a is at least b                                         a is no less than b

        a is greater than or equal to b                 a is not fewer than b

        a is b or more                                        a is no fewer than b

        a is not less than b

(4) a < b（a 小なり B）（a は b 未満）

        a is less than b                                       a is fewer than b

        a is up to b

(5) 次のような表現もあります．

        a ≪ b    a is much less than b

        a ≫ b    a is much greater than b

[Quiz]

mostは何の最上級でしょうか？

[Answer]（下の行をドラッグしてください）

many，much 

いろいろな言い方があるものですね．自分から伝えるときはひとつの表現だけでも相手に通じますが，読んだり聞いたりするときは異なる表現も知っておかないと理解できないことがあります．書いたり話したりするのが上手でなくても相手は理解してくれますが，読んだり聞いたりする力が不十分だとコミュニケーションがとりにくくなります．最近英語4技能が重要と言われますが，話すより聞く，書くより読むことのほうが大切ではないでしょうか．

[at most 問題]

Find the polynomial $q$ of degree at most 3 satisfying $q(-1) = -1, \ q(0) = 1, \ q(1) = 3, \ q(4) = -1$.

解答はこちら

[Reference]

Chegg Study
https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/2-find-polynomial-q-degree-3-satisfying-9-1-1-9-0-1-9-1-3-q-4-1-q40397264

Scale Factor

Scaleには大きさ，目盛，音階，天秤，うろこなどいろいろな意味がありますが，数学では主に尺度，すなわち長さ，大きさ，目盛などの意味に使われます．

例えば，アメリカの地震学者Richterが考案した地震の規模を表すmagnitudeは，"Richter scale"とも呼ばれています．また，大きなデータを扱うグラフでの目盛の取り方のひとつに，logarithmic scale（対数目盛）があります．

統計学におけるscaleには，評価の基準として4つのscalesがあります．
・nominal scale（名義尺度）…同じか違うかだけを判断する．
・ordinal scale（順序尺度）…大小関係だけを判断する．
・interval scale（間隔尺度）…大小関係を差も考察して比較する．
・ratio scale（比例尺度）…絶対的な値0を基準にした値で大小関係を比較する．

Factorの方も因数，因子，係数，率など，いろいろな訳し方がありますが，scale factorとはどんな意味なのでしょう．

Transformations of functions（関数の変換）

y=f(x)のグラフをｙ軸方向に拡大縮小したy=af(x)や，x軸方向に拡大縮小したy=f(ax)の a をscale factorといい，これは倍率を意味しています．正比例の式 y=ax の比例定数 a もこれに含まれます．

Similarity（相似）

Similarity ratio（相似比＝相似な図形の辺の長さの比）もscale factorといいます．これも倍率の一種といえますが，相似ならではの用語です．数学英和･和英辞典（共立出版）ではscale factorの欄に倍率，尺度係数とありますが，加えて相似比も載せてほしいところです．

"Find the similarity ratio." と書かれていれば分かりやすいのですが，相似比を答えさせるのに "Find the scale factor." と書かれている場合が多いです．

相似比はa:bという形で答える場合と，a/bの値で答える場合とありますが，英語の場合，後者で答える方が一般的です．
（注）英語でratioは「比」も「比の値」も意味するので，ここでは便宜上どちらも「比」と呼んでいます．

因みに「scale factor 日本語」で検索してみると，「スケール係数」と出てきますし，Wikipediaには同じ英語で「スケール因子」が出てきます．定まった和訳のない英語はその場に合った訳し方が難しいですね．

Figure 1

[Quiz]

See the figure 1.

[Answer]（下の行をドラッグしてください）
5 or 1/5,  length=35

[Scale Factor 問題] 

Figure 2

See the figure 2. D, E is the midpoint of AB, AC. BF:FC=2:3. DH:HG=3:1.
  a) Find the ratio of BF:FG:GC.
  b) Find the area ratio of quadrilaterals BFHD:CGHE.

解答はこちら

[Reference]

Statistics How To
https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/scales-of-measurement/

HCF (Highest Common Factor)

Youtube: HCF or GCD

2つ以上の数や式の最大公約数は GCD (Greatest Common Divisor) または GCM (Greatest Common Measure) と言いますが，HCF (Highest Common Factor) と言う場合もあり，意外によく使われています．以下はあるサイトのQ&Aです．

Q.  What is the difference between the HCF and the GCD of two numbers? Is there any difference at all? 

A.  They are the same. Whereas Highest Common Factor (HCF) is a little bit old-fashioned, but still in use today.
I studied in the UK, and my Discrete Maths teacher (who was 70 years old) used to say that when he was a student, all profs use HCF than GCD and he pointed out that GCD is an American term (he stressed on the rrr in divider).
As I have been taking more lectures in maths, I realised that applied maths lecturers use HCF more than pure maths lecturers.
There is a tendency in which the terminologies of maths standardise, and now I barely heard the term HCF. For myself, I use GCD more than HCF but I still tell people that my old professors prefer the latter.
I simply miss the time when we had diversity of terms.

(Quora.com) 

HCF は，GCD と同じ意味だが少し古い言い方であるとか，純粋数学よりも応用数学によく使われるとかの違いが述べられています．

2つ以上の数や式の共通な因数になる数や式を common divisor または common factor と言うわけですが，実際日本語では，数の場合には公約数，式の場合には共通因数と言うことが多いようです．式の因数分解のときに｢共通因数を括り出す｣といいますが，｢公約数を括りだす｣とは言いませんね．以下はあるサイトの因数分解の説明です．

To factorise an algebraic expression, take out the highest common factor and place it in front of the brackets. Then the expression inside the brackets is obtained by dividing each term by the highest common factor.

(mathteacher.com)

例えば，$3a^4b+12a^2b^3=3a^2b(a^2+4b^2)$ と因数分解できますが，このときの HCF は $3a^2b$ ということになります．

因みに，HCF を直訳すれば｢最高共通因数｣となりますが，この訳語はあまり見られず，かろうじて｢プリンストン数学大全｣（朝倉書店 2015年）で使われているのを見つけることができました．

[HCF 問題]

Find the HCF of 240 and 924.

（正解はこちら）

[Reference]

What is the difference between the HCF and the GCD of two numbers? Is there any difference at all?

https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-the-HCF-and-the-GCD-of-two-numbers-Is-there-any-difference-at-all

Factorisation using the Common Factor

https://www.mathsteacher.com.au/year10/ch10_factorisation/02_common_factor/common.htm

Oneth

YouTube, What does twenty-oneth mean?

｢1番目という意味なら，oneth じゃなくて first でしょう｣といいたくなりますね．さすがに1番目を oneth とはいいませんが，21番目 (twenty-first) を，非標準ながら  twenty-oneth といったり，数列などで n+1番目 (n plus first) を n plus oneth といったりする場合があります．

分数の分母に使われる場合は，例えば$\frac{1}{21}$ (one twenty-first), $\frac{2}{21}$ (two twenty-firsts) を，one twenty-oneth, two twenty-oneths ということもあります．しかし，分数は one over twenty-one とか one divided by twenty-one とかいう方がずっと簡単ですよね．

また，oneth 単独では$\frac{1}{1}$という意味にも使われます．分数の割り算で，｢$\frac{1}{2}$で割ることは，$\frac{2}{1}$をかけることに等しい｣と表現するとき，整数の2をあえて$\frac{2}{1}$と表し，two oneths といういい方ができます．

一の位（桁）は units place(/digit) または ones place, 十の位は tens place, 百の位は hundreds place といいます．小数点以下は，十分の一の位が tenths place，百分の一の位は hundredths place というので，一分の一の位は oneths place といえそうですが，$\frac{1}{1}$は1と一致するので，この位はありません．つまり，ones place（一の位）の下は，decimal point（小数点）をはさんで tenths place（十分の一の位）になります．

[Oneth 問題]

You can have decimal oneths. Is this true or false?
(by ProProfs quiz maker)

（正解はこちら）

[Reference]

英辞郎 on the WEB "oneth"
https://eow.alc.co.jp/search?q=oneth

ProProfs quiz maker, Grade 7 Math Quiz
https://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=grade-7-math-quiz

Riemann Sum

例えば，$y=x^2 \ (0≤x≤1) $のグラフの下の部分をn等分して，各区間の右端を高さとする長方形をn個つくると，その面積和$S_n$は，\begin{eqnarray}
S_n &=& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}･ \left( \frac{k}{n}\right)^2\\
&=& \frac{1}{n^3}･\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
&=&\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}
\end{eqnarray}となり，n→∞にするとその極限値は$\frac{1}{3}$になります．因みに各長方形の高さを左端や中点にしても同じ極限値になります．

このように面積を求める方法を区分求積法といいますが，この英訳を調べると，"classification quadrature method", "partitioning quadrature method",
"quadrature by parts", "sectional measurement", "mensuration by parts" など，様々な言い方があります．ところがこれらの英語で検索してもあまり区分求積法を説明するサイトが現れません．

The process of using sums of areas of rectangles to approximate the area under a curve is called a Riemann sum. This method is named after the German mathematician Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), who generalized the process.
IBDP Mathematics Analysis and Approaches Standard Level (Oxford University Press)

もともと右図のような長方形の有限和を Riemann sum といいますが，上の引用文のように， Riemann sum を使ってこのグラフの下の部分の面積を求める方法も Riemann sum ということがあります．

この図では各区間の右端を長方形の高さにしているので，right Riemann sum といいます．各区間の左端を長方形の高さにする場合はもちろん left Riemann sum といいます．

Bernhard Riemann は，証明できたら100万ドルの賞金が出るという未解決問題，リーマン予想 (Riemann hypothesis) で有名です．日本の初等･中等教育の数学の教科書では，人の名前を冠した用語はあまり出てきませんが，英語の書籍を見てみると，発見者に敬意を表してその名を冠する用語を使うことが多く，ピタゴラスの定理, デカルト座標，パップスの中線定理，リーマン積分，ガウス平面など多数あります．

[Riemann sum 問題]
Approximate the definite integral $\displaystyle \int_{-1}^{1} \left(- t^{3} + 4\right) dt$ using a left Riemann sum with $5$ intervals.   (Math Insight)

（正解はこちら）

[Reference]

IBDP Mathematics Analysis and Approaches Standard Level (Oxford University Press)

Math Insight Quiz on Riemann sums and definite integrals
https://mathinsight.org/assess/math201up_spring15/pure_time_differential_equations_quiz2

PEMDAS / BODMAS

これはOrder of Operations（演算の優先順位）です．三角比のSOHCAHTOAと違い，地域によって異なる覚え方があります．

USA
PEMDAS（ペムダス）
Parentheses（括弧）, Exponents（累乗）, Multiplication（掛け算）, Division（割り算）, Addition（足し算）, Subtraction（引き算）
よく教えられる覚え方 "Please Excuse My Dear Aunt Sally"

UK系
BODMAS（ボドゥマス）または　BIDMAS（ビドゥマス）
Bracket（括弧），Order/Indices（累乗），Division，Multiplication，Addition, Subtraction

CANADA / NZ
BEDMAS（ベドゥマス）
Bracket, Exponents, Division, Multiplication, Addition, Subtraction

このようにいくつかの単語の頭文字を並べて新しい単語になったものをacronym（頭字語）といいます．ただこのままの順番だと，$×$と$÷$に，または$+$と$-$に優先順位があるような誤解を生む可能性があるので，正確には以下のように解釈しなければいけません．
　　1. まず（　）の中を先に計算
　　2. 次に累乗を計算
　　3. $+-$より$×÷$を優先し，$×÷$だけの部分は左から右へ計算
　　　（割り算は｢逆数の掛け算｣にしてもOK）
　　4. $+-$だけになったら左から右へ計算
　　　（足す数と引く数をまとめてから計算してもOK）

WolframAlpha

また，連続する累乗$a^{b^c}$を，このように右肩に小さい数字を書いていく場合は最も右上から順に計算しますが，a^b^cのように表す場合は，2通りの計算順序があって国際的な同意は得られていません．例えばMathematicaによる計算サイトWolframAlphaでは2^3^2=2^(3^2)=2^9=512と計算し，世界シェアトップクラスのTI 84 PlusというGDC（グラフ電卓）では2^3^2=(2^3)^2=8^2=64と計算します．

TI 84 Plus

[PEMDAS / BODMAS 問題]

Find the value of  $12/3x-3+4$  when $x=2$.

正解はこちら

[Reference]

Order of Operations PEMDAS
https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html

Exponentiation Associativity and Standard Math Notation
https://codeplea.com/exponentiation-associativity-options

Net

Netと聞くと｢網｣，または｢インターネット｣という意味しか思いつかないので，こんな数学用語があるのかなと思います．｢数学英和･和英辞典｣（小松勇作編･共立出版）には次のように掲載されています．

net　a. 正味の．n. 正価；網．
net present worth 正味原価．net price 正価．

しかし，これは数学用語とは言い難いですね．実はnetには他にもこの辞典には載っていない2つの意味があります．

初等幾何学
初等幾何学においては，立体の｢展開図｣という意味で使われています．特に，nets of cube（立方体の展開図）のパターンは11種類あることが知られています．上図のnetは，truncated icosahedron（切頂二十面体）のものです．文字通りicosahedron（正二十面体）の各頂点を切り落としてできる立体で，32面（正五角形12+正六角形20）あります．よくあるサッカーボールはこれを膨らませたものです．

位相幾何学
位相幾何学においては，点列を一般化した概念でnetという用語があります．これはMoore-Smith sequenceとも呼ばれています．

Definition
A directed set is a nonempty set $I$ with a relation such that
(1) $\alpha\preceq\alpha$ whenever $\alpha \in I$;
(2) if $\alpha\preceq\beta$ and $\beta\preceq\gamma$, then $\alpha\preceq\gamma$;
(3) for each pair $\alpha$, $\beta$ of elements of $I$ there is a $\gamma_{\alpha\beta}$, in $I$ such that $\alpha\preceq\gamma_{\alpha\beta}$ and $\beta\preceq\gamma_{\alpha\beta}$.
That is, a directed set is a nonempty preordered set that satisfies (3). A net or Moore-Smith sequence in a set $X$ is a function from a directed set $I$ into $X$. The set $I$ is the index set for the net.
(An Introduction to Banach Space Theory by Robert E. Megginson)

日本語でいえば，有向集合（任意の2元が上界をもつ前順序集合）$I$からある集合$X$への関数をnetと言います．簡単な例としては，高校数学に登場する普通の数列は，有向集合である正の整数から数全体の集合への関数といえるのでnetになります．

NetはMooreとSmithが1922年に紹介した概念ですが，netという用語は1950年のKelleyによる論文で初めて使われました．Kelleyは当初wayという用語を使おうとしたのですが，netにはsubnetという概念もあり，wayを使うとそれがsubwayとなって｢地下鉄｣と混同してしまうので，Norman Steenrodという人がwayの代わりにnetを使うよう提案したそうです．

[Reference]
An Introduction to Banach Space Theory
Robert E. Megginson (2012)

Radicals and Surds

一般に，無理数はirrational number，有理数はrational numberといいますが，英語の書籍では、日本の中3で学ぶ｢平方根｣が，"Radicals and Surds"または"Radicals (or Surds)"と表されています．

Radicalsというと，政治用語の｢過激派｣とか｢急進主義者｣という意味をまず思いつきます．もともとradicalはラテン語のradix（根）という言葉を語源として｢根本的｣という意味なのですが，根本的に政治を変えようとする集団のことをradicalsと呼んだことからこのような意味にも使われるようになったそうです．

数学用語としての radical は根号のついた数，累乗根（n乗根）$\sqrt[n]{x}$という意味があり，$\sqrt[n]{x}$は普通"the $n$th root of x"と読みますが，"x radical $n$"と読むこともあります．例えば$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt[3]{5}$などが radicals です．根号はradical symbol, radical sign, root simbolとも呼ばれています．

Surd の対訳は「根数」または｢不尽根数｣で，radicals の中で無理数であるもの，すなわち循環しない無限小数になるものをいいます．例えば$\sqrt{4}$はradicalですが無理数ではないので surd ではありません．一方，$\sqrt{3}$はradicalで無理数なので surd になります．円周率πやネイピア数eは根号表示されない無理数なので，radical でも surd でもありません．

A radical is a number that is written using the radical sign $\sqrt{\quad}$.  Radicals such as $\sqrt{4}$ and $\sqrt{9}$ are rational since $\sqrt{4}$= 2 and $\sqrt{9}$= 3. Radicals such as $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ and $\sqrt{5}$ are irrational. They have decimal expansions which neither terminate nor recur. Irrational radicals are also known as surds.
(Haese Mathematics, MYP Gr.9-10, Radicals and Surds)

Surdという言葉は元々ラテン語のsurdus（deaf, silent）から派生したもので，無声音→聞こえない→感覚がない→不合理→irrationalというわけで，radicals のうち irrational であるものを surd と呼ぶようになったようです．

[Radicals and Surds 問題]

(1)  Which of the following is a surd?
  (a)  $\sqrt {64}$  　  (b)  $\sqrt {18}$ 　   (c)  $\sqrt {100}$

(2)  Rationalise the denominator of $\frac{5}{4-\sqrt{6}}$

正解はこちら

[Reference]

Mathematics for the international student Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus)
Haese Mathematics

Surds - Math is Fun
https://www.mathsisfun.com/surds.html

Merriam-Webster dictionary/surd
https://www.merriam-webster.com/dictionary/surd

Continued Square Roots

Continued Square Roots は直訳すると連続平方根となりますが，連続根号数とも訳されています．Wolfram MathWorldで探すと，Nested Radical（多重根号） にLinkされ，次の式が書かれていますが，これは正確にいうとInfinite Nested Radical（無限多重根号）ですね．$$\displaystyle \lim_{ k \to \infty }x_0+\sqrt{x_1+\sqrt{x_2+\sqrt{...+x_k}}}$$もちろん根号の数が有限な例としては$\sqrt{2+\sqrt{3}}$などがあります．上の式で$x_0=0$とし，それ以降の$x_k=n$とすると次式になります．$$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}$$これが無限に続くとどんな値に近づくのでしょう．$$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}=x$$とおくと，いちばん外側の$\sqrt{\quad}$の中の$n+$以降は$x$と等しいので，$$\sqrt{n+x}=x$$と考えられ，両辺を平方して移項すると，$$x^2-x-n=0$$この解は正の数なので，$$x=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$$例えば$n=1$なら，$$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}=x$$とおくと，$$\sqrt{1+x}=x$$となり，両辺を平方して移項すると，$$x^2-x-1=0$$これの正の解は$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，すなわち黄金比の値になります．

Mathematics for the international student  Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses (HAESE Mathematics)

またこの図のように$n=2$なら，$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=x$$とおくと，$$\sqrt{2+x}=x$$となり，両辺を平方して移項すると，$$x^2-x-2=0$$これの正の解は$x=2$となります．上図の INVESTIGATION 2 はこの値に近づくことを調べさせています．

[Continued Square Roots 問題]
Find the value of x.$$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}=x$$解答はこちら

[Reference]

Mathematics for the international student
Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses
(HAESE Mathematics)

Continued Square Root
http://mathworld.wolfram.com/ContinuedSquareRoot.html

Ferris Wheel

Ferris Wheel

Ferris wheelは数学用語ではありませんが，三角関数の応用問題で頻出するので，ぜひ知っておきたい用語です．

Ferrisには特に意味はなく，人名のひとつなので，Ferris wheelというと｢フェリスさんの車輪｣という意味になりそうですが，これはFerrisという人が世界初の観覧車(Chicago Wheel)を設計したので，それに敬意を表して観覧車のことを一般的にこう呼んでいます．

英国系では観覧車をbig wheel，または巨大なものをgiant wheelと呼ぶこともありますが，英国の出版社であるCambridge University Press，Oxford University Press，Pearson EducationのIB（国際バカロレア）数学の教科書など，多くの場合はFerris wheelという用語が使われています．

Cambridge University Press
The original Ferris Wheel was constructed in 1893 in Chicago. It was just over 80 m tall and could complete one full revolution in 9 minutes. During each revolution, how much time did the passengers spend more than 50 m above the ground? (IB Math SL)

Oxford University Press
A Ferris wheel at an amusement park reaches a maximum height of 46 metres and a minimum height of 1 metre. It takes 20 minutes for the wheel to make one full rotation. Write a sine function to model the height of the child t minutes after boarding the Ferris wheel. (IB Math SL)

Pearson Education
We are surrounded by periodic functions. A few examples include: the average daily temperature variation during the year; sunrise and the day of the year; animal populations over many years; the height of tides and the position of the Moon; and your height above ground when riding a Ferris wheel and the rotation of the wheel. (IB Math SL)

[Ferris Wheel 問題]
The Ferris wheel at the Royal Show turns one full circle every minute. The lowest point is 1 metre from the ground, and the highest point is 25 metres above the ground.
(a) When riding on the Ferris wheel, your height above ground level after t seconds is given by the model h(t)=a+bsin(c(t-d)). Find the values of a, b, c, and d given that you start your ride at the lowest point.
(b) If the motor driving the Ferris wheel breaks down after 91 seconds, how high up would you be while waiting to be rescued?
(IB Math SL : Haese Mathematics)

解答はこちら

[Reference]
IB Math text books by Oxford, Cambridge, Pearson and Haese