Asymmetry の日本語訳は非対称．読み方は æsímətri or eisímətri の2通りあります．カタカナでなるべく実際の発音に似せるとアシマトウリまたはエイシマトウリとなります．
Antisymmetry の方の日本語訳は反対称，これも読み方が ænti-símətri or æntɑɪ-símətri と2通りあり，前者は英国でアンチシマトウリ，米国でアニシマトウリ，後者はアンタイシマトウリになります（同僚の米国人に教わりました）．
では asymmetry と antisymmetry の意味の違いは何でしょうか．どっちも対称でないのですから，同じやん（大阪弁）といいたくなりますね（笑）．しかし，数学では明確な違いがあります．
[Binary relation（二項関係）における symmetric relation（対称関係）, asymmetric relation（非対称関係）and antisymmetric relation（反対称関係）]
Binary relation の最も簡単な例は2つの数の関係です．aからbへRという関係があるとき，aRbと表します．例えば3>2などの関係です．
■｢aからbへの関係が成り立つならば，bからaへの関係も成り立つ｣という場合，symmetric relation といいます．すなわち，$$\ aRb\;\Rightarrow bRa$$例えばRが=という関係のとき，a=bならばb=aも成立するので symmetric relation になります．
■｢aからbへの関係が成り立つならば，bからaへの関係が成り立たない｣という場合，asymmetric relation といいます．すなわち，$$\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$$例えばRが>という関係のとき，a>bならばb>aは成立しないので asymmetric relation になります．
■｢aからbへの関係が成り立ち，かつbからaへの関係も成り立つならば，a=bが成り立つ｣という場合，antisymmetric relation といいます．すなわち，$$\ aRb\land bRa\ \Rightarrow a=b$$例えばRが≧という関係のとき，a≧bかつb≧aならばa=bが成立するので antisymmetric relation になります．また，集合の包含関係でも次式が成り立つので，antisymmetric relation といえます．
$A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B$
[関数/整式/行列などの asymmetry（非対称性）と antisymmetry（反対称性）]
■Antisymmetry は，｢ある変換をした結果が逆の符号になるもの｣をいいます．
例えば関数y=f(x)で，f(-x)=f(x)となる偶関数は symmetry，f(-x)=-f(x) になる奇関数は antisymmetry になります．しかし奇関数は rotational symmetry with respect to the origin（原点対称）なので広義では symmetry ともいえます．
また整式 f(x,y) で，xとyを入れ替えても変わらない対称式，例えば x+y は symmetry であり，xとyを入れ替えると符号が変わる交代式，例えば x-y は antisymmetry になります．
さらに行列でも，行列$A$に対してその transpose（転置行列）$A^T$が等しいときは symmetry，符号が逆になるものは antisymmetry になります．因みに行列式も，行か列を入れ替えると次のように符号が変わるので antisymmetry になります．
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$, $\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix} = bc - ad$
[Reference]
Binary relation
https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation
反対称性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7
Symmetry in mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_in_mathematics
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