Slant Height

この用語は日本の教科書で使われているのを見たことがありませんが，英語の教科書ではよく使われています．日本語に直訳すると「斜高」すなわち「斜めの高さ」となりますが，いったいどういう意味なのでしょう．

Regular pyramid（正角錐 / 正多角錐）の slant height は，頂点から底面の一辺に下ろした垂線の長さを意味します．またright cone (直円錐) の slant height は，母線の長さを意味します．従って，slant height は正角錐と直円錐に共通の用語であり，下図の赤線部分の長さになります．普通の錐の高さは，altitude, height, perpendicular height, vertical heightなどという言い方があり，slant height はまったく違ったものになります．

ところで，面白いことに pyramid と cone で，right と regular に次のような意味の違いがあります．

        right pyramid（直角錐）        regular pyramid（正角錐）

        right cone（直円錐）             regular cone（普通の円錐形）

"right (直)" は，頂点から降ろした垂線が底面の重心を通るもので，底面が長方形や楕円のときもあり得ます．"regular (正)" は，角錐の場合，底面が正多角形かつ"right"なもの（例えば正四角錐）ですが，円錐の場合は「普通の」という意味になり，"regular cone"で検索するとアイスクリームの普通のコーンが多数現れます（笑）．

母線は generatrix, generating lineとも呼ばれます．Generate は生成するという意味なので直訳すると「生成線」となります．生成線は回転体を生む，母は子を生む，なので生成する線を母線と呼ぶことにしたのでしょう．そうすると，回転して円柱ができる回転軸に平行な線分も母線になります．また，回転して一葉双曲面ができる回転軸に対してねじれの位置にある線分も母線ということになります．従って，generatrix は線分の回転体たちに共通の用語ということになります．

因みに，神戸のポートタワーは，遠くから見ると一葉双曲面に見えますが，地面に対して垂直な軸に対して少しねじれの位置になる柱を多数使っていて，まるで向きの違う2本の柱が回転してできているように見えます．その様子をGeoGebraで作ってGIFにしてみました．

[Quiz]

京都タワー，大阪通天閣，神戸ポートタワーを高い順に並べると？

[Answer] (drag below)

①京都タワー(131m)　②神戸ポートタワー(108m)　③大阪通天閣(103m)

なお，電気工事用語で電気を分岐させるための「母線」は busbar（ブスバーまたはバスバー）というそうです．

[Reference]

Wikipedia : Pyramid (geometry)

https://en.wikipedia.org/wiki/Pyramid_(geometry)

電気工事用語集　母線

https://koujishi.com/glossary/busbar/

Exclusive Form

日本の中高数学の教科書では，frequency distribution table（度数分布表）を作成するときに，class（階級）の interval（区間）を　”at least / less than（以上/未満）" で表すのが普通ですが，英語のテキストを見ると，離散的な（連続でない）値はほぼ "at least / at most（以上/以下）" で表されています．例えば，100点満点の試験で60点台を表すのに，日本では「60以上70未満」で表すことが多いですが，英語のテキストでは「60以上69以下」という表し方が多く見られます．

そのため，アメリカの Microsoft社の表計算ソフト "Excel" の FREQUENCY（階級ごとに度数を返す）関数は、度数を「以上/以下」で数えますから，「以上/未満」でデータを数えたい場合は、FREQUENCY関数ではなくCOUNTIFS関数を使って度数を数えることになります．

英語ではこれらの表し方には名前がついていて，「以上/未満」の場合は "Exclusive Form (or Continuous Form)"，「以上/以下」の場合は "Inclusive Form (or Discontinuous Form)" と呼ばれています．直訳すると，「除外型」と「包含型」になりそうですが，日本語のテキストではこれらの用語が使われているのを見たことがありません．次の英文はその解説のひとつです．

There are two methods of classifying data according to the class intervals.
1) Exclusive Form (or Continuous Form):
When the class intervals are so formed that the upper limit of one class is the lower limit of the next class it is known as exclusive form. In this form, the upper limit of a class is not included in the class. Thus, in class 0-10, the value 10 is not included. It is counted in the next class 10-20.
2) Inclusive Form (or Discontinuous Form):
The classes are so formed that the upper limit of a class is included in that class. In class 1-10, the values lie between 1 and 10, including both 1 and 10. 

(CK-12.org)

いくつかの英語の本やサイトで，inclusive form をexclusive formに変換するのに，ひとつの階級の上限と次の階級の下限との差を2で割ったものを，全階級の下限から引き，全階級の上限に加えるという方法…①が紹介されています．例えば下図左の59と60との差 1 を2で割ると0.5なので，全階級の下限から0.5を引き，全階級の上限に0.5を加えます．すると下図右のような「以上/未満」型のexclusive formになります．

しかし，次のようにひとつの階級の上限と次の階級の下限との差を，全階級の上限に加える方法…②もあります．例えば下図左の59と60との差は 1 なので，全階級の上限に 1 を加えます．このほうが整数の「以上/未満」型 exclusive formに慣れている人には分かり易いかもしれません．

①は小数第 1 位で四捨五入して整数にしてから階級分けをすることと同じで，②は四捨五入せず小数のままで階級分けすることと同じです．例えば59.8は，①では上から2つ目，②では一番上の階級に入ることになります．

[Reference]

CK-12 : Classification of Data and Frequency Distribution - Definition, Methods, Steps and Examples
https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-cbse-maths-class-8/section/14.1/primary/lesson/classification-and-tabulation-of-data/

Class Interval
https://byjus.com/question-answer/convert-the-given-class-intervals-in-exclusive-form/

Office Hack : ExcelのFREQUENCY関数の使い方｜データの度数分布を垂直配列で返す
https://office-hack.com/excel/frequency/

Solid Angle

Plane angle（平面角）は，日本では高校の必履修「数学Ⅰ」の三角比まで 45° や 90° などの degrees（度数法）を使いますが，「数学Ⅱ」の三角関数からは微分積分で威力を発揮する radians（弧度法）を使います．弧度法は半径1の円の一部分（すなわち弧）の長さで表すので，一周なら 360°=2π，半周なら 180°=π，直角なら 90°=π/2 と表します（単位：radian）．

Solid angle（立体角）はその3次元への拡張なので，この訳が特に「意外」というわけではありませんが， 高校では扱われないので多くの人が「そんな角もあったのか」と思うことでしょう．

平面角は1点に集まる2辺の間の広がり具合を表すのに対し，立体角は1点に集まる面がつくる空間の広がり具合を表します．その定義はというと，平面角は半径1の円の扇形の中心角を弧の長さで表すのに対して，錐体の頂点に集まる面がつくる立体角は，その頂点を中心とする半径1の球面がその錐体と交わる部分の面積で表します．角錐なら spherical polygon（球面多角形），円錐なら spherical circle（球面円）（または spherical cap（球冠）ともいう）の面積になります．

例えば，右図のように，半径1の球の中心を頂点とする三角錐の，その頂点に集まる3平面がつくる立体角は，この球面上の黒い部分（球面三角形）の面積になります．平面上の三角形は3つの直線で囲まれた図形ですが，それと同じように球面三角形は3つの球面直線で囲まれた図形です．（注）球面幾何学において球面直線は大円（球と同じ半径の球面上の円）のことをいいます．なのでどの2本の球面直線も平行にはならず，必ず2点で交わります．

球面多角形や球面円は球面上の図形なので，平面上よりも膨らんでいる分だけその面積は大きくなります．また，それらを求める公式もよく知られています．

（球面の半径を1とします）

　①球面n角形　$S=\sum_{i=1}^n\theta_i-(n-2)\pi$　　($\theta_i$は内角，Harriot's theorem)

　　例えば球面三角形は$S=\theta_1+\theta_2+\theta_3-\pi$になります．

　②球面円　$\omega=2\pi\left(1-\cos\theta \right)=2\pi h$　　($\theta$は下図の角，$h$は球面円の高さ)

一般にこのような球面上の一部分の面積は次のように積分を使って求めることができます．

z軸となす角がθでx軸となす角がφである位置ベクトルを持つ球面上の点(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ)（上図の赤い点）を含む微小長方形dωは，経線方向の長さがdθ，緯線方向の長さがsinθdφなので，面積はそれらの積になります．$$d\omega=d\theta \cdot \sin\theta d\phi$$よって立体角ωはこの両辺を積分して，次の式で求められます．$$\omega = \displaystyle \int \int \sin\theta d\theta  d\phi $$

円錐の頂点の立体角は，先に述べたように球面円の面積になります．下図はsphere（球面）とspherical cone（球面円錐＝円錐と球面円のつながった立体）（またはspherical sector（球面扇形）ともいう）です．球の中心を頂点とし，z軸を中心軸とし，母線とz軸のなす角がθである球面円錐を考えると，底面である球面円は 0≦φ<2πとなるので，上の式から次のように立体角 ω（上の公式）が求まります．

$$\begin{eqnarray}\omega&=&\displaystyle \int_0^{2\pi} d\phi \displaystyle \int_0^\theta \sin\theta d\theta \\ &=& 2\pi \left[ -\cos\theta \right]_0^\theta \\ &=& 2\pi(1-\cos\theta)\end{eqnarray}$$例えばθ=π/6 (30°)のとき，立体角は次の値になります（単位：steradian）．$$\begin{eqnarray}\omega&=&2\pi\left(1-\cos\frac{\pi}{6} \right)\\ &=& 2\pi \left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=&(2-\sqrt{3})\pi\\&\approx&0.268\pi \end{eqnarray}$$これで球面円のない円錐の部分だけだったら，底面の面積は$\pi \sin^2\displaystyle\frac{\pi}{6}=\pi \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^2=0.25\pi$なので，それより膨らんでいる分だけ大きくなっていますね．同じ計算で，θ=π/3 のときは ω=π，θ=π/2（半球）のときは ω=2π，特に θ=π（全球）のときは ω=4π になって球の表面積に一致します．

因みに，上の2θを円錐の apex angle（頂角）といいますから，円錐の頂角がπ/3のときの立体角は$0.268\pi$，円錐の頂角がπ（半球）のときの立体角は$2\pi$，円錐の頂角が2π（全球）のときの立体角は$4\pi$ということになります．

[Reference]

Solid angles in perspective

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2108/2108.05226.pdf

Acid Solution

数学で mixture problem（混合問題）と呼ばれるものに，次のようなものがあります．
　(1) 四則演算の混じった計算問題
　(2) 濃度の異なる溶液を混ぜる問題
　(3) 微分方程式の初期値境界値問題

数学用語ではなく化学用語の acid solution（酸溶液）は上の(2)の問題によく登場します．数学で solution といえば｢解｣という意味に使われますが，化学では｢溶液｣という意味があります．日本では濃度の異なる溶液を混ぜるのは salt water（食塩水）の問題が定番ですが，海外では acid solution がよく使われます．その種類はシュウ酸溶液，クエン酸溶液，グルコン酸溶液などいろいろありますが，酸の種類は特定されずに出題されることが多いです．例えば次の問題

An acid solution was made by mixing 5 gallons of an 80% acid solution and 7 gallons of a 50% acid solution. Find the concentration of acid in the new mixture.  (GreeneMath.com)

を 一次方程式で解くと次のようになります．

Let $x$ = the concentration of acid in the new mixture.

\begin{eqnarray}(5+7)\times\frac{x}{100}&=&5\times\frac{80}{100} + 7\times\frac{50}{100}\\ (5+7)x&=& 5\times80 + 7\times50\\ 12x&=&750\\x&=&62.5\end{eqnarray}

So, the concentration of acid in the new mixture is 62.5%.

解き方は食塩水の問題と同じなのですが，食塩の溶解度は100gの水に対し36g（水温20℃）なので，飽和濃度は 36÷136≒26(%) ですから，食塩水の濃度はそれ以下の設定にしなければいけません．それに対して acid solution の場合は濃度が 100% まであり得ますから，このようにどんなに高い濃度でも問題にすることができます．因みに 100%（純性）の acid は pure acid といいます．混合問題には，他にも alcohol（アルコール） や copper（銅）も使われます．それぞれ 100% のものはpure alcohol,  pure copper と呼ばれます．

余談ですが，砂糖の溶解度は 100g の水に対して 200g なので，これならどんな濃度でもOKかと一瞬思ってしまいますが，よく考えると，濃度は 200÷300≒67(%) が最大ですね．

[Question] (The answer follows after reference)

A local chemist made a solution that was 14% acid. He started out with 12 gallons of a 12% acid solution. He then added an unknown number of gallons of a 20% acid solution. How many gallons of the 20% acid solution did the chemist add to the initial acid solution?   (GreeneMath.com)

[Reference]

Mixture Word Problems Lesson
https://www.greenemath.com/College_Algebra/49/Mixture-ProblemsLesson.html

[Answer] (Drag below)

Let $x$ = the # of gallons of a 20% acid solution.

\begin{eqnarray}0.14(x+12)&=&0.2x+0.12\times12\\14(x+12)&=& 20x +144 \\ 14x+168&=&20x+144\\-6x&=&-24\\x&=&4\end{eqnarray}

So, the # of gallons of a 20% acid solution is 4.