DMS

海外の数学のテキストは，real world（現実の世界）の事柄を扱ったword problem（文章題）が多いので，例えば2時間46分かかったとか，角度が53.7°だったなど，手計算では困難な値が頻繁に登場します．そのため，IB（国際バカロレア）をはじめ，米国のSATや英国のGCSEなど，多くの国で数学の授業にも試験にもGDC（グラフ電卓）が使われています．

さて，時間の単位は，hour（時）の下はMinute（分），Second（秒）となっています．これをまとめて時間の単位系をHMS (Hour, Minute, Second）といいます．

[Quiz]
角度の単位は，degree（度）の下は何でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
時間と同じで，Minute（分），Second（秒）

角度はDMS (Degree, Minute, Second)という単位系になります．時間の方は日常的に使われていますが，角度の方はminuteやsecondまで使われることはあまりありませんね．

これに対して，hourやdegree未満を小数で表すdecimal hours (dh)（10進時間），decimal degrees (dd)（十進角）の方が計算は簡単ですが，時間の方はこの形で出題されることはあまりなく，この形に直して計算しても，最後に答をHMSで求められることが多いです．これを手計算でするとかなり面倒なことになります．

GDC "TI-84 Plus" の画面

世界で最もシェアの高いTexas Instruments社のGDCには，▶DMSというコマンドがあって，ddをDMSに変換してくれます．これを使えば，時間の方も全く同様にdhからHMSに変換できます．右図では，角23.76度を23度45分36秒に変換していますが，23.76時間を23時間45分36秒に変換したと思っても良いわけです．

因みに，decimal time（10進化時間）とは，18世紀末のフランス革命で導入されようとして定着しなかった「1日を10時間として，その100分の1を1分，その100分の1を1秒とする時刻の体系」です．Decimal timeの1時間は今の2時間24分になり，正午は5時ということになります．もしこれが定着していたら，時間の計算はもっと楽になっていたことでしょう．

[DMS Question]
(1) Convert 28°15’23” to decimal degrees

(2) Convert 36.39° to DMS

Answer

[Reference]

Abbreviations.com
https://www.abbreviations.com/

デシマルタイムの嘆き
http://www.ksplz.info/+museum/matsumoto/inst16.pdf

University of Idaho Student Learning Center
MATH Lesson 3: Trigonometry
https://www.webpages.uidaho.edu/learn/math/lessons/lesson03/3_01.htm

Inverse Method

直訳すると「逆の方法」という意味ですが，複数の分野でこの用語が使われています．

Linear Equation（一次方程式）

まず両辺に同じことをして同値関係を保つ「等式の性質」を使って一次方程式を解きます．

①　$A=B$ ならば $A+C=B+C$
②　$A=B$ ならば $A-C=B-C$
③　$A=B$ ならば $AC=BC$
④　$A=B$ ならば $A/C=B/C$

例えば，次のように一次方程式を解いた場合，\begin{eqnarray} 2x+5 &=& 13 \\ 2x+5-5 &=& 13-5 \\ 2x &=& 8 \\ \frac{2x}{2} &=& \frac{8}{2} \\ x &=& 4  \end{eqnarray}(a) 1行目の$+5$に対して2行目で両辺にその逆をする，すなわち$5$を引く
(b) 3行目の$2$×$x$に対して4行目で両辺にその逆をする，すなわち$2$で割る
以上の方法を inverse method といいます．

この意味を理解した後で次のように解くことができます．\begin{eqnarray}  2x+5 &=& 13 \\ 2x &=& 13-5 \\ 2x &=& 8 \\ x &=& \frac{8}{2} \\ x &=& 4 \end{eqnarray}(a) $+5$を右辺に移して$-5$にする transposing the term（移項）
(b) $2x$の$2$を右辺の分母に移す
以上の方法を transpose method といいます．

Simultaneous Equation（連立方程式）

簡単な例として，次の2元1次連立方程式\begin{eqnarray}    \left\{      \begin{array}{l}        x + y = 10 \\        2x + 4y = 32      \end{array}    \right.  \end{eqnarray}を行列で表して解くと．\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}  1 & 1 \\  2 & 4  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}  10 \\  32  \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}  1 & 1 \\  2 & 4  \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}  10 \\  32  \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix}  2 & -\frac{1}{2} \\  -1 &  \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  10 \\  32  \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}  x \\  y  \end{pmatrix} &=&  \begin{pmatrix}  4 \\ 6  \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}

このように，n元1次方程式が行列で$AX=B$と表されている場合，解$X$を求めるのに，左から$A^{-1}$を掛けて，$X=A^{-1}B$と求める方法も inverse method といいます．

[Quiz]
演算の逆はinverse，では命題の「逆」は英語で何というでしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
Converse

[Reference]

How to Use the Transpose Method to Solve a Linear Equation? | Don't Memorise
https://www.youtube.com/watch?v=JQpKKXOSwlc

DST triangle

 

略語を集めたAbbreviations.comというサイトでDSTを調べると76個もの用語が掲載されていて，中には daylight saving time（夏時間）というなじみのあるものも見つけることができます．

DSTというと，Distanceの省略で「距離」という意味を思い浮かべる人も多いのではないでしょうか．自動車や自転車の積算計などに表示されているのをよく目にします．それにtriangleがつくと「距離の三角形」となって何のことだか分からなくなってしまいますね．

確かにこの用語だけをいきなり聞くと分かりにくいですが，数学用語として図を見ればすぐにピンと来るのではないでしょうか．Distance, Speed and Timeの頭文字でDST，その3つの関係を表したのが DST triangle です．すなわち，次の Distance, speed and time formulae（公式）を表しています．

$$\mathrm{Distance}=\mathrm{Speed}×\mathrm{Time}$$$$\mathrm{Speed}=\frac{\mathrm{Distance}}{\mathrm{Time}}$$$$\mathrm{Time}=\frac{\mathrm{Distance}}{\mathrm{Speed}}$$

以前ここで紹介したSOHCAHTOAと同じように，DSTの関係を分かり易く覚えようという工夫から生まれたもので，"Magic Triangle for Speed, Distance and Time"と呼ばれることもあります．

さらにこの関係の他の覚え方として，"Dad’s silly triangle"というのがあります．訳すと「お父ちゃんのしょーもない三角形」みたいになって変な文章になりますが，これは「しょーもない」校則を生徒が「それってしょーもない決まりやなあ」 "That's a silly rule" という言い方のパロディ（おやじギャグみたいなもの）で覚えようというhumorが感じられます（笑）．

他にもMagic Triangleを使って表す関係で，MDV triangleというのがあります．Density（濃度），Mass（質量），Volume（体積）として次の関係を表しています．

$$\mathrm{Mass}=\mathrm{Density}×\mathrm{Volume}$$

$$\mathrm{Density}=\frac{\mathrm{Mass}}{\mathrm{Volume}}$$

$$\mathrm{Volume}=\frac{\mathrm{Mass}}{\mathrm{Density}}$$

日本の小中学校でよく登場する食塩水の濃度は，「質量パーセント濃度」といい，溶液全体の質量に対する溶質の質量の割合を表したものですが，MDVは「質量/体積パーセント濃度」といって，溶液全体の体積に対する溶質の質量の割合を表したものなので，混同しないようにしなければいけません．

日本にもDSTと同じような覚え方があって，みちのり（またはきょり），はやさ，じかんの1文字目をとって，「みはじ」（または「はじき」）を〇の中に書くというのが有名ですが，これをただ覚えるだけでそれぞれの関係の意味を分かっていなければ良くないという意見もよく耳にするところです．

因みに，他にも「くもわ」というのがあって，「く」は比べられる量、「も」はもとにする量，「わ」は割合を意味していて，「比べられる量」は「もとにする量×割合」で求めることを基本として，「みはじ」と同様に覚えようというわけです．

[Quiz]
Triangleの"tri"は "3" の意味，では"quad"の意味は？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）

4

[DST triangle Question]

(1) How long will it take Simon to jog a distance of 15 miles if Simon jogs at a steady speed of 6mph.

(2) Make a round trip on the same road．Going 60 km/h, returning 20 km/h. Find the average speed.

Answer

[Reference]

Abbreviations.com

https://www.abbreviations.com/

Maths Bitesize - The DST Triangle

https://www.youtube.com/watch?v=8glfUANjBbY

パーセント濃度について

https://www.jikkyo.co.jp/material/pdf/web_ni_link/pel_chemistry/12/12_web_ni_link.pdf

Using the Magic Triangle for Speed, Distance and Time

https://owlcation.com/stem/Using-the-magic-triangle-for-speed-distance-and-time-compound-measures

Line Graph

直線は無限の長さを持つ真っ直ぐな線のことをいい，straight line または単に line ともいいますが，一般に line だけなら直線とは限りません．曲線は curved line または curve といい，線分も line segment または segment というので，これらも広い意味で line です．

[Quiz]

Rayは光線，放射線などの意味がありますが，数学ではどういう意味でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）

半直線

Graph はだいたい line で描かれているので，line graphというと，結局すべての graph を表すのではないか，それならわざわざ line graph といわずに graph だけでいいのではないかと思いますが，実は line graph は折れ線グラフを意味しています．この英語を初めて聞くとまさか折れ線グラフだとは思いませんよね．

折れ線グラフは他にも言い方があって，line chart, polygonal line graph などとも言います．折れ線だけなら polygonal line, broken line とも言いますが，broken line は破線という意味もあります．

日本の小中高で登場する line graph といえば，上のグラフのように値の推移を区切りごとに表すグラフ，統計分野での frequency line graph（度数折れ線）= frequency polygon（度数多角形），右の y=|x| のような absolute value function（絶対値関数）があります．

因みに，make a line と言えば「列を作る」，全部大文字で LINE といえば多くの人が利用しているコミュニケーションアプリですよね．

[Line Graph 問題]
Draw the graph.
(1)  $y=||x|-2|$
(2)  $y=||||x-2|-1|-2|-3|$

解答はこちら

[Reference]
絶対値について
http://shochandas.xsrv.jp/graph/absolutevalue.htm

Complete Pair & Half Pair

二次関数の頂点を求めるときや，円の中心を求めるときの式の変形を completing the square（平方完成）といいます．形容詞の complete は「完成された」「完全な」「完備な」などと訳されます．一方，2つで一組のものを pair（対）といいますから，complete pair は「完成対」「完全対」「完備対」などと訳せそうですが，さてどんなときに使われるのでしょうか．

We need one complete pair to use the sine rule. The angle or side that we can find is the one that completes another pair.
(35:The Sine Rule © Christine Crisp)

To use the sine rule to answer a question, you must have values for a complete pair i.e the length of a side and corresponding angle, and have the either the side that corresponds to the angle you are trying to find or the angle that corresponds to the side you are trying to find.
(Further Trigonometry - Mr Barton Maths)

Sine Or Cosine Rule?  FuseSchool

以上の文章からすると，sine rule / law of sine（正弦定理）を使って三角形の未知の角または辺を求めるときは，相対する角と辺が分かっている complete pair と，一方だけが分かっている half pair が必要ということになります．

[Quiz]
Find the angle B of the triangle in the right figure (click to enlarge). 

[Answer]

$\displaystyle \frac{5.1}{\sin{100°}}=\frac{3.6}{\sin{B}}$

$\sin{B}=\frac{\sin{100°}}{5.1}×3.6=0.6951...$

$B=\sin^{-1}0.6951...=44.0°$

このように，両方が分かっている pair を complete pair というわけですから，上のどの訳語でも良さそうです．しかし，線型代数学の双線型形式という話の中にperfect pairing（完全対）という用語があり，また，数学のいくつかの分野で complete（完備）という概念もあります．なので，もしどうしても日本語にするとしたら，ここでの complete pair は「完成対」，half pair は「半対」とするのが適切ではないかと思います．

[Complete Pair  & Half Pair 問題]
Find the angle B of △ABC where A=59°, a=8.4cm, b=9.5cm.
(Mathematical Studies Standard level for the IB Diploma - Cambridge University Press 2013)
解答はこちら

[Reference]

Sine Or Cosine Rule? | Trigonometry | Maths | FuseSchoolhttps://www.youtube.com/watch?v=j3VLbjsWdHo