Donkey Theorem

このdonkeyという言葉は，ロバという意味の他に「バカ」という意味もあり，ロバの別名であるassは俗語で「尻」という意味もあります．三角形の合同条件のひとつとして，「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい（SAS=Side-Angle-Side）」が知られていますが，「2組の辺とその間にない角がそれぞれ等しい（ASSまたはSSA）」という条件は，図のようにambiguous case（一意に定まらない場合）になります．これが合同条件として成り立たないということと，donkeyとassの意味とを掛けて，donkey theoremと呼んでいます．これはバカにして呼んでいるので，正しく成り立つ定理の名称ではありません．

    

  

  

三角形の辺と角の関係を細かく分類してみましょう．すべて最後に「がそれぞれ等しい」を省略しています．

①SSS=SSS 「3組の辺」 congruent（合同）
「直角三角形の斜辺と他の1辺」は三平方の定理を既知とすればもう１辺はすぐに求められるのでここに含まれます．

②SAS=SAS 「2組の辺とその間の角」 congruent
ドイツの数学者ヒルベルトDavid Hilbert (1862–1943) は著書「幾何学基礎論」の中で，これを三角形の合同公理としています．

③ASS=ASS 「2組の辺とその間にない対応する角」 ambiguous case
上図左の場合です．角辺辺の順で等しい三角形が2つできます．

④ASS=SSA 「2組の辺とその間にない対応しない角」 ambiguous case
上図右の場合です．角辺辺と辺辺角が等しい三角形が2つできます．

⑤ASA=ASA 「2組の角とその間の辺」または「1組の辺とその両端の角」 congruent
内角の和は180ºなので自動的に3組の角が等しくなり，2つの角の間の辺は対応する辺なので，三角形は１つに決まります．

⑥AAS=AAS 「2組の角とその間にない対応する辺」 congruent
自動的に3組の角が等しくなり，対応する辺が等しいので，三角形は１つに決まります．「直角三角形の斜辺とひとつの鋭角」といいう条件はここに含まれます．「直角三角形の斜辺と他の1辺」も三平方の定理を既知としない場合は，一方を裏返して「他の１辺」を重ねて二等辺三角形を作り，その底角が等しくなることから，「直角三角形の斜辺とひとつの鋭角」という条件になるので，ここに含まれます．

⑦AAS=SAA 2組の角（自動的に3組）とその間にない対応しない辺 similar（相似）

⑧AAA=AAA 3組の角（2組の角で十分） similar

因みに米国では，ロバはDemocrats（民主党）のシンボルになっていて「家庭」を象徴しているのに対し，Republican（共和党）のシンボルはelephant（ゾウ）で「知識と力」の象徴だそうです．

Sig Figs

これはsignificant figuresの省略形で，s.f.とも表します．Significant（重要な，意味のある，著しい）とfigure（図，形，姿，人物，数字）を合わせて訳すなら，「意味のある図」または「意味のある数字」かなと思いますが，これは後者の意味を持つ「有効数字」のことをいいます．

例えば123456という値を，3 significant figures（有効数字3桁）で近似するという場合，上から3桁を有意な数として，4桁目を四捨五入し，decimal notation（10進表記）では123000，またはscientific notation（科学表記）なら$1.23\times 10^5$と表します．

Sig figs rules
①0でない数字はすべて有効数字である
例　123.45の有効数字は1, 2, 3, 4, 5の5桁
②0でない数字の間の0は有効数字である　
例　101.1203の有効数字は1, 0, 1, 1, 2, 0, 3の7桁
③0でない数字の前が全ての0の場合，前にある0は有効数字ではない
例　0.00052の有効数字は5, 2の2桁
④小数点以下の0は有効数字である
例　12.2300の有効数字は1, 2, 2, 3, 0, 0の6桁
⑤小数点なしの数の0でない数字の後の0は有効数字である場合とない場合がある
例　2000の有効数字は次の4つの場合が有り得る
　　a) 2100を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2だけの1桁
　　b) 2020を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2, 0の2桁
　　c) 2003を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2, 0, 0の3桁
　　d) 2000.4を四捨五入して2000を得た場合の有効数字は2, 0, 0, 0の4桁

このfigureという用語を「図」という意味で用いる場合，"The statistics are shown in figure 3"なら，「その統計は図3に示されている」という意味になります．またsignificantという用語はなしで，単にdouble figuresなら2桁（の数）という意味になります．またfigureは計算という意味もあり，"do figures"は「計算する」という意味にもなります．

因みに，人形のこともfigureといいますが，これは人物の形をしたものという意味から来ています．また，figure skatingのfigureは図形という意味で，元々氷上に図形を描くという競技でしたが，その語源となった種目のcompulsory figures（規定）は1990年に廃止され，今はshort programとfree skatingだけになっています．

【Sig Figs 問題】
Find, correct to 3 significant figures, the volume of the solid of revolution formed when these functions are rotated through 360º about the x-axis:
a) y=x^3/(x^2+1) for 1≤x≤3
b) y=e^(sinx) for 0≤x≤2

（正解はこちら）

Bearing

Vectors（ベクトル）の応用問題の中には，直進する物体の進行方向を求めるものがあり，その解答は，bearing ≈ 300ºとか，bearing  ≈ 60º west of north などとなっています．前者はtrue bearing（真方位）といい，真北線からclockwise direction（時計回り）に何度というように表します．また後者はconventional bearing（よく使われる方位）で，南北線から東または西へ何度というように表します．

Cardinal Points（基本方位）は，north, south, east, and westの4方位で，NSEW（北南東西）の順でいいます．日本では普通，東西南北の順でいいますが．麻雀では東南西北という順ですね．さらにそれら4つの方位の間に，half-cardinal pointsまたはquadrantal pointsまたはintercardinal pointsまたはintermediate (or ordinal) directionsと呼ばれるnorth east（北東）, south east（南東）, south west（南西） and north west（北西）があります．

例えば右図でPの方位は，true bearingでは140º，conventional bearingでは40º east of southとなり，これはS40ºEとも表します．日本語で「南東40ºの方向」ということになります．飛行機や船などの航路の問題でdirectionを問われたらbearingで答えるのが一般的です．

【Bearing 問題】

Boat A is at (x₁, y₁)=(2, 4) at exactly 2:17 pm. It sails with velocity vector (1, –3). Boat B is at  (x₂, y₂)=(11, 3). It begins to sail with velocity vector (–1, a) at 2:19 pm to meet the boat A. Distance units are metres and t is in minutes from 2:17 pm.

a) Find x₁(t) and y₁(t) for boat A.

b) Find x₂(t) and y₂(t) for boat B.

c) At what time do they meet?

d) What was the direction and speed of boat B?

（正解はこちら）

<Reference>
Bearings
http://www.mathsteacher.com.au/year7/ch08_angles/07_bear/bearing.htm

Stars and Bars Method

直訳すると「星と棒の方法」となりますが，combination with repetition（重複組合せ）の問題，別名multichoose problemまたはstars and bars problemと呼ばれる問題を解く方法です．

例えばりんご，みかん，バナナの3種類が多数ある中から4個を選ぶとします．すると（りんご、みかん、バナナ）の数の組合せは、
①全種類から少なくとも一つは選ぶ場合
(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)
の3通りあります．
②選ばない種類があってもいい場合
(0,0,4),(0,1,3),(0,2,2),(0,3,1),(0,4,0),
(1,0,3),(1,1,2),(1,2,1),(1,3,0),
(2,0,2),(2,1,1),(2,2,0),
(3,0,1),(3,1,0),
(4,0,0)
の15通りと急に多くなります．

種類や選ぶ個数が多くなったらどうするか．ここでstars and bars methodを使います．n種類のものが多数ある中からr個を選ぶとしましょう．

②の場合から先に考えます．これは，r個の★とn-1個の仕切り｜（たて棒）を一列に並べる場合の数，すなわち「2種類の同じものを含む順列」n+r-1Cr=n+r-1Cn-1と同じになります．例えば上の②の場合のいくつかをstars and barsで表すと次のようになります。
(0,0,4)=||★★★★
(1,0,3)=★||★★★
(1,1,2)=★|★|★★
(4,0,0)=★★★★||
2本の仕切りの左側がりんご，間がみかん，右側がバナナと決めておけば，すべて同じ★で表してもいいわけです．n+r-1Crは簡単にnHrと表します．この場合はn=3,r=4なので，3H4=3+4-1C4=6C4=6C2=15と計算できます．

日本の参考書等では★の代わりに○がよく使われていますから，circles and barsといってもいいかも知れません．

①の場合は，まず各種類から1個ずつ選んでおいて，残りのr-n個を②の場合と同様に考えます．すなわち，nHr-n=3H4-3=3H1=3C1=3で求められます．

以上をまとめると，
①全種類から少なくとも一つは選ぶ場合
nHr-n
②選ばない種類があってもいい場合
nHr=n+r-1Cr=n+r-1Cn-1

さて上の果物の問題は，方程式x+y+z=4の整数解の組の個数を求める問題といえます．
①は正の整数解の組の個数を求める場合で，(x,y,z)の組合せは3H4-3=3通りです．
②は負でない整数解の組の個数を求める場合で，(x,y,z)の組合せは3H4=15通りです．
これらの数の組をmultiset（多重集合）といいます．

②の場合，nHrと表しますが，binomial coefficient（二項係数）nCrを$\binom{n}{r}$と書くときは，nHrを$\left(\!\binom{n}{r}\!\right)$と書きます．以上をまとめて式で表すと次のようになります．$$ _n H_r =\left(\!\binom{n}{r}\!\right)= _{n+r-1} C_r=\binom{n+r-1}{r}=\left( n-1, r \right)!=\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!r!}$$途中の式$\left( n-1, r \right)!$は，multinomial coefficient（多項係数）の2項の場合の表し方で，多項係数の場合は次の式になります．$$\left(n_{1},n_{2},\cdot\cdot\cdot,n_{k}\right)!=\frac{(n_{1}+n_{2}+\cdot\cdot\cdot+n_{k})!}{n_{1}!n_{2}!\cdot\cdot\cdot n_{k}!}$$
因みに，次数が等しい項だけでできている多項式をhomogeneous polynomial（同次多項式または斉次多項式）といい、このlike term（同類項）の種類の数が重複組合せになります．nHrのHはこのhomogeneousの頭文字から来ています．
（例）x,y,zでできる4次の項
(0,0,4)=||★★★★→z⁴
(1,0,3)=★||★★★→xz³
(1,1,2)=★|★|★★→xyz²
(4,0,0)=★★★★||→x⁴

<Reference>
Multichoose
http://mathworld.wolfram.com/Multichoose.html