Argand Diagram

Cartesian plane（デカルト平面）の x軸を real axis（実軸）とし，y軸を imaginary axis（虚軸）として複素数$z=x+yi$を表す平面は，complex plane（複素平面），または Gauss（1777-1855）が導入したのでGaussian plane（ガウス平面），または複素数はよくzで表されるのでz-plane（z平面）ともいいます．さらにこの別名で英書によく登場するのが，ガウスより先に用いたとされるJean-Robert Argand (1768–1822)の名をとった Argand plane（アルガン平面）と Argand diagram（アルガン図）という呼び方です．

Wolfram Math Worldというサイトでは，
the Argand diagram (also known as the Argand plane)
WikipediAというサイトでは，
The complex plane is sometimes called the Argand plane because it is used in Argand diagrams
Maths is Funというサイトでは，
plane for complex numbers (It is also called an "Argand Diagram")
Haese MathematicsというIBの教科書では，
We can illustrate complex numbers using vectors on the Argand plane. We call this an Argand diagram.

このように，Argand planeとArgand diagramは同じ意味に使われることが多いですが，時にはArgand plane上にcomplex numbersを図示したものをArgand diagramと呼ぶ場合があります．この用語は日本ではあまり使われませんが，英語での出題で時々用いられるので知っておきたいところです．

複素関数（複素数から複素数への関数）$w=f(z):z=x+yi\rightarrow w=u+vi$は高校では扱われませんが，少し見てみましょう．

複素関数の一次関数は一次分数関数ともいって，$w=\frac{az+b}{cz+d}$で表され，具体的には$w=az, \space \space w=z+b, \space \space w=\frac{1}{z}$の3つの場合があります．はじめの2つは，直線は直線，円は円に写るのですが，最後の式は，直線が円，円が直線に写る場合があります．

複素関数の指数，対数，三角関数はEuler's formula（オイラーの公式）$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$を元に定義されます．$z=x+yi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$としましょう．

まず指数関数は次式になります．$$e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y)\tag{1}$$この式にはsinとcosが含まれるので，$e^{z+2n\pi i}$がすべて同じ値になるような周期関数になります．

次に対数関数は次式になります（以降，$\log_e$は$\ln$と書きます）．$$\ln z=\ln(re^{i\theta})=\ln r+\ln e^{i\theta}=\ln r+i\theta\tag{2}$$Euler's formulaに$\theta=\pi$を代入するとEuler's identity（オイラーの等式）$$e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$$が得られますが，これを対数の定義で変形すると次式になり，「対数の真数は正」という高校数学の常識が覆ります．$$\ln(-1)=i\pi$$しかし，$z=-1$となるのは$r=1$，$\theta=\pi+2n\pi$のときなので式(2)は無限多価関数になり，$\ln(-1)$は$\pi i$以外にも$3\pi i$，$5\pi i$など，無限個の値をとることになります．

次に三角関数です．z=x+yiのxとyが複素数であってもzはやはりa+biの形になるので，Euler's formulaより$$e^{iz}=\cos z+i\sin z\tag{3}$$$$e^{-iz}=\cos z-i\sin z\tag{4}$$(3)と(4)の和と差をそれぞれ2，2iで割ると$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$となり，これが複素関数の三角関数の定義になっています．もう少し学習が進むと分かるのですが，複素関数を使うと，実数のままでは難しい積分計算も簡単にできる場合があります．その例をひとつあげておきます．$$\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$$
<Reference>
"Argand Diagram" Wolfram Math World
"Complex plane" WikipediA
"Complex Plane" Maths is Fun
"Mathematics for the international student Mathematics HL (Core) third edition" Haese Mathematics
｢解析概論｣　高木貞二著

Compound Interest

やはりinterestといえば，「興味，関心」という言葉が真っ先に思い浮かぶので，compoundが「複合，混合，複数」というような意味だと知っていても，数学ではどんな意味なのかなと思ってしまうのですが，interest にはもうひとつ「利息」という意味もあるので，compound interestは複利計算の「複利」という意味になります．関連して，1年ごとの利息のいい方を"5% p.a."などという場合があります．これはラテン語"per annum"の略で，"by the year"の意味です．

まずinitial amount or principal（元金）を$P$，annual interest rate（年利率）を$r$とします．annual（1年ごと）の複利では，$t$年後の元利合計$A(t)$は次式になります．$$A(t)=P(1+r)^t$$次にsemi-annual（半年ごと）の複利では，$r$の半分の利息で年に2回，上の計算をしますから，$t$年後の元利合計$A(t)$は次式になります．$$A(t)=P\left(1+\frac{r}{2}\right)^{2t}$$同様に，quarterly（3か月ごと）, monthly（毎月）, daily（毎日）となると，$$A(t)=P\left(1+\frac{r}{4}\right)^{4t},\space \space \space A(t)=P\left(1+\frac{r}{12}\right)^{12t},\space \space \space A(t)=P\left(1+\frac{r}{365}\right)^{365t}$$となり，実際に数字を代入して計算すると，少しずつ増えていきますが，増え方は減っていきます．これをさらに毎分，毎秒と細かく計算していって極限を考えると一定の値に近づきます．$$A(t)=\lim_{n\rightarrow \infty} P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$ここで$\frac{r}{n}=x$とおくと，$n=\frac{r}{x}$となり，$x\rightarrow 0$となるので次の式が得られます．$$A(t)=\lim_{x\rightarrow 0} P\left(1+x\right)^{\frac{rt}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0} P\lbrace(1+x)^\frac{1}{x}\rbrace^{rt}=Pe^{rt}$$この最後の式の中の$e$はNapier's number（ネイピア数＝base of the natural logarithm自然対数の底＝2.71828....）で，この式をcontinuous compound interest formula（連続複利の公式）といいます．

因みに三角関数の加法定理は，Trigonometric Addition FormulaとかAngle Addition Formulaと呼ばれていますが，加法定理は他の分野にもあり，それと区別するためかCompound Angle Formulaとも呼ばれています．

経済用語に，CAGR（Compound Annual Growth Rate＝年平均成長率）というのがあります．例えばある商品の5年間の売り上げデータがあり，前年より何％増えたかというgrowth rate（成長率）が1.7%, 1.6%, 22.6%, 31.6%だったとします．arithmetic mean（相加平均）なら$$\frac{1.7+1.6+22.6+31.6}{4}=14.4\text{%}$$になりますが，CAGRは各前年比のgeometric mean（相乗平均）から1を引きます．すなわち，次の計算になります．$$\sqrt[4]{1.017\times1.016\times1.226\times1.316}-1\approx1.136-1=0.136=13.6\text{%}$$【Compound Interest 問題】
An amount of $2,340.00 is deposited in a bank paying an annual interest rate of 3.1%, compounded continuously. Find the balance after 3 years.
（解答はこちら）

<Reference>
Continuous Compound Interest Formula
http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/continuous/
CAGRとは
http://www.nsspirit-cashf.com/yougo/yougo_cagr.html
Grammatical Sentence Types 重文（compound sentence)と 複文（complex sentence）の違い
http://english-writing-theaters.com/5_basic.html
Compound Fracture 複合骨折; 開放骨折; 複雑骨折
http://medical-dictionary.thefreedictionary.com/compound+fracture

Complement and Supplement

英語の文型にSVCやSVOCがあり，このCをcomplement（補語）といいますが，数学ではいくつか異なる意味があります．

代数では，n桁の正の整数$a$に対して，$10^n-a$をcomplement（補数）といいます．例えば，3の補数は10-3=7，34の補数は100-34=66，345の補数は1000-345=655です．補数はもともとコンピューターの演算でnegative number（負の数）を表すのに考えられたもので，補数を使うと引き算を足し算ですることができ，計算回路を簡素にすることができます．その方法は，a-bを計算するのにa+(aの補数)を計算してから一番上の桁を無視するというものです．簡単な例を見てみましょう．

まず補数を求めるのに，例えば上の1000-345は，このままだと繰り下がり（一般には「隣から1を借りる」）という操作をしなければならないので，999-345を求めてから1を足します．式で表すと，$10^n-1-b+1$で補数を計算させます．従って，引き算全体を式で表すと次のようになります．$$a-b=a+(10^n-1-b+1)-10^n$$最後の$-10^n$は，「一番上の桁を無視する」ことになります．例えばa=623, b=154のときは，\begin{align}
623-154&=623+(10^3-1-154+1)-10^3\\
&=623+(999-154+1)-10^3\\
&=623+(845+1)-10^3\\
&=623+846-10^3\\
&=1469-10^3\\
&=469\\
\end{align}と計算させます．こうすると繰り下がりがなくなります．

補数の中でも特にtwo's complement（2の補数＝2進数の補数）がコンピューターで利用されていますが，この場合は1を0に，0を1に変えて1を足したものが補数になります．例えば2進数0101の2の補数は，1010に1を加えて1011となります．その計算は，\begin{align}10000-1-0101+1&=1111-0101+1\\
&=1010+1\\
&=1011\end{align}となります．確かに2進数では0101+1011=10000になりますね．

集合論では，全体集合Uとその部分集合Aに対して，UからAを除いたものをAのcomplement（補集合）といい，$A^C$とか$\bar{A}$で表します．例えば，整数全体の集合で，偶数全体の集合のcomplementは奇数全体の集合になります．

幾何の用語ではcomplement (of an angle)またはcomplementary angle（余角＝和が90°になる2つの角），complementary arc（余弧＝和が円になる2つの弧）があります．

似たような意味の用語にsupplementがあります．幾何の用語ではsupplement (of an angle)またはsupplementary angle（補角＝和が180°になる2つの角），supplementary arc（補弧＝和が半円になる2つの弧），supplemental chord / supplementary chord（補弦＝半円の直径の両端と弧上の点を結ぶ2つの弦）があります．

Complementもsupplementも「補う」という意味ですが，前者は「もっと良くなるように補う」，後者は「足りないので補う」というように微妙な意味の違いがあります．complementと似た単語でcomplimentがあり，こちらは賛辞とか祝辞という意味があります．発音はほとんど変わりませんが，カタカナではコンプルメントとコンプリメントと区別したほうが良さそうです．栄養補助食品はsupplementなのに，カタカナでサプリメントとよく書かれてあるので，サプルメントの方がいいと思います．

<Reference>
基本情報技術者講座
http://www.it-license.com/cardinal_number/complement.html
complementary arc
http://praveena91pm.blogspot.jp/2015/10/innovative-lessontemplate-nam-e-of_31.html
supplementary arc
http://www.mathresources.com/products/mathresource/maa/supplementary_arc.html

Alternate Segment Theorem

この定理の説明の英文は次のようになります．

The angle between the tangent and chord at the point of contact is equal to the angle in the alternate segment.

この"tangent and chord"が「接線と弦」という意味なので，この定理は「円の接線と弦の作る角の定理（接弦定理＝円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧の円周角に等しい）」を意味しています．ところが英語では"tangent chord theorem"とはあまり呼ばれず，一般にalternate segment theoremと呼ばれています．

もともとalternateは「交互の」とか「反対側の」という意味で，例えば錯角も，2本の平行線の内側に交互に存在するのでalternate interior angleといいます．またsegmentは「部分」とか「区分」という意味で，数学では直線の部分なら線分を意味しますが，ここでは円の部分，すなわち弦によって分割される弓形（弦と弧で囲まれた図形）を意味しています．弦が直径の場合は2つのsemicircle（半円）になりますが，そうでない場合は大きい弓形major segment（優弓形）と小さい弓形minor segment（劣弓形）に分かれます．これはmajor arc（優弧）とminor arc（劣弧）と同様の呼び方ですね．

接線と弦の間の角から見て，その弦に関して反対側の弓形をalternate segmentといい，その中の角がthe angle in the alternate segmentになります．従って，「弦に関して同じ側の弓形の弧の円周角」は「弦に関して反対側の弓形の中の角」と同じ意味になります．なのでalternate segment theoremを直訳すると「反対側弓形の定理」と言えそうです．

「ユークリッドの原論」第3巻命題32の表現を見てみましょう．
Euclid's Elements Book III Proposition 32
If a straight line touches a circle, and from the point of contact there is drawn across, in the circle, a straight line cutting the circle, then the angles which it makes with the tangent equal the angles in the alternate segments of the circle.
直線が円に接していて，接点から円を分割する直線が引かれているとき，その直線と接線とでできる角は，反対側にある弓形の中の角に等しい．

2000年も前からalternate segmentsという言葉が使われていたのですが，どうやらこの定理を日本語訳するときに，alternate segmentsよりもtangent and chordの方が訳し易かったのではないかと思います．

<Reference>
Teach GCSE Math, Alternate Segment Theorem
http://slideplayer.com/slide/677852/

Magnitude

地震のエネルギーの大きさを表すのによく使われる"magnitude"という用語は，もともとは「大きさ」という意味で，英語では星の明るさ（等級）や音量（dBデシベル）などにも使われています．日本では地震用語以外に使われることはほとんどないですが，数学ではreal number（実数），complex number（複素数），vector（ベクトル）などに使われます．

Real number aのmagnitudeは
\begin{align}
&|a|=a&\text{if $a\geq0$}\\
&|a|=-a &\text{if $a<0$} \\
\end{align}で，real number line（実数直線）上での原点からの距離を表します．これはabsolute value（絶対値）またはmodulusと言われることが多く，関数$f(x)=|x|$はabsolute value function またはmodulus functionと呼ばれています．Complex number（複素数）c=a+biのmagnitudeは$$|c|=\sqrt{a^2+b^2}$$で，complex plane（複素平面）上での原点からの距離を表します．これもabsolute valueまたはmodulusと言われることが多いです．

2-vector（2次元のベクトル）$\pmb{v}=(a_1, a_2)$のmagnitudeも複素数と同じく$$|\pmb{v}|=\sqrt{ a_1^2+a_2^2}$$となり，ベクトルの大きさを表しますが，複素数は2次元のベクトルとみなせるので同じ式になります．同様に実数も1次元のベクトルとみなすことができます．

一般にn-vector（n次元のベクトル）$\pmb{v}=(a_1, a_2, \cdot\cdot\cdot, a_n)$のmagnitudeは$$|\pmb{v}|=\sqrt{ a_1^2+a_2^2\cdot \cdot \cdot+a_n^2}$$となります．Vectorの場合はmagnitudeと呼ばれることが多く，日本語で「ベクトルの大きさ」と言いますが，「ベクトルの絶対値」とは言わないので，それぞれ同じ意味なのに用語の使い方は微妙に異なっています．そしてこれらのすべて（magnitude，absolute value，modulus）をまとめて一般化したもので，次の3つの条件を満たすfunction（関数）$f(\pmb{v})=\parallel{\pmb{v}}\parallel$をnorm（ノルム）といいます．

\begin{align}
&\parallel{\pmb{v}}\parallel=0⇔\pmb{v}=\pmb{0}\\
&\parallel{a\pmb{v}}\parallel=\mid{a}\mid\parallel{\pmb{v}}\parallel\\
&\parallel{\pmb{u}+\pmb{v}}\parallel≤\parallel{\pmb{u}}\parallel+\parallel{\pmb{v}}\parallel\\
\end{align}

Normにもいろいろあり，次式はabsolute-value normといいます．$$\parallel{a}\parallel=|a|$$ベクトルの各成分の「平方の和の平方根」はEuclidean norm（2-norm）といって，これはベクトルの大きさにあたります．$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|a_i|^2}=\sqrt{ |a_1|^2+|a_2|^2+\cdot \cdot \cdot+|a_n|^2}$$各$a_i$に|  |がついていますが，これは$a_i$が複素数の場合も考えるからです．「p乗の和のp乗根」として一般化したp-normは$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_p=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p}}=\sqrt[p]{|a_1|^p+|a_2|^p+\cdot \cdot \cdot+|a_n|^p}$$となり，特にp=1のときはTaxicab norm (Manhattan norm)といって，格子上の2点間の最短経路にあたります．$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_1=\sum_{i=1}^{n}|a_i|=|a_1|+|a_2|+\cdot \cdot \cdot+|a_n|$$さらにpが$\infty$のときはmaximum normといって，n個の$|a_i|$のうちの最大値になります．$$\parallel{\pmb{v}}\parallel_\infty=Max(|a_1|,|a_2|,\cdot \cdot \cdot,|a_n|)\tag{1}$$この式(1)を証明しておきましょう．$M=Max(|a_1|,|a_2|,\cdot \cdot \cdot,|a_n|)$とおくと，$M$は$|a_i|$のうちのひとつなので，$M\leq \parallel{\pmb{v}}\parallel_p$であり，さらに$\frac{|a_i|}{M}\leq1$なので，$$M\leq \parallel{\pmb{v}}\parallel_p=\left({\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p}}\right)^\frac{1}{p}=M\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{|a_i|}{M}\right)^p\right)^\frac{1}{p}\leq M\cdot n^\frac{1}{p}$$最右辺は$p\rightarrow\infty$のとき$M$になるので，Squeeze Theorem（はさみうちの原理）より，$\parallel{\pmb{v}}\parallel_\infty=M$となり，式(1)が証明できました．

アメリカの地震学者Charles Francis Richter（1900-1985）が考案した地震のmagnitude "Richter scale"は，震央から100km離れた標準地震計が記録した最大振幅$I$（単位はmicro metre=µm=$10^{-6}$m）と標準地震の振幅$I_0$（1 µm）の比の常用対数をとったもので，次式で計算します．

$$R=\log_{10}\frac{I}{I_0}$$

因みに，星の明るさや音量にも対数が使われています．

【Magnitude 問題】

Early in the century the earthquake in San Francisco registered 8.3 on the Richter scale. In the same year, another earthquake was recorded in South America that was four time stronger. What was the magnitude of the earthquake in South American?

（解答はこちら）

<Reference>
Foundations of Signal Processing (Cambridge University Press)
Understanding the proof that L∞ norm is equal to max{f(xi)}
http://math.stackexchange.com/questions/109615/understanding-the-proof-that-l-infty-norm-is-equal-to-max-fx-i

Earthquake Word Problems

http://www.sosmath.com/algebra/logs/log5/log56/log56.html