Duck’s Egg

Duckはカモやアヒルのことです．ドナルドダックというキャラクターがありますが，その絵から判断すると，ダックはアヒルだとばかり思っていました．ただ，アヒルではなくてカモであることを強調したいときはwild duckといいます．また，よく騙される人のことをカモといいますが，これはeasy markというそうです．

Eggは卵ですから，duck's eggはアヒルの卵という意味になります．ニワトリより少し大きいそうですが，味はどうなんでしょうか？ 一度食べてみたいものです．

さて，duck's eggの直訳はアヒルの卵となりますが，数学ではどんな意味があるのでしょう．これはその形から来ています．卵に似た数字は何でしょう？ そう，0ですね．なので数字の0を表すのかと思ったら，zero point，すなわち全く得点できない0点のことなんです．ずばり，スポーツや試験の点数が0点のときにduck’s eggといいます．別にduckのではなくても単にeggでいいと思いますけどね．

[Quiz]
ドラえもん（1969年～）の野比のび太よりずっと前からテストで0点を取ることで有名だった漫画のキャラクターは誰でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
丸出ダメ夫（1964年 - 1967年 週刊少年マガジン）

Zeroが数字の0という意味なのは当然ですが，もうひとつ，zero of a function（関数の零点）という概念があります．関数$y=f(x)$があるとき，$f(x)=0$となる$x$をzeroといいます．例えば，$f(x)=(x-1)(x-2)$のzeroは，$x=1, x=2$になります．つまり，関数＝0という方程式の解のことです．英語ではzeroですが，日本語では零点といいます．

証明できたら100万ドル授与されるミレニアム問題のひとつであるリーマン予想は，ゼータ関数の自明でないzero（零点）の実数部分はすべて$\frac{1}{2}$であるというもので，2021年4月現在，未解決です．

因みに，oval（卵形線）と聞けば卵の形に近い曲線を思い浮かべますが，定義としては「内側の任意の2点を結ぶ線分がその曲線の中にある閉じた曲線」というもので，円や楕円はもちろん，陸上競技のトラックや三角形・四角形などの凸多角形も含まれます． 

Ellipse（楕円）の定義は，2つの焦点$S$, $T$からの距離の和$PS+PT$が一定である点$P$の軌跡で，2点からその距離より長い糸をピーンと張って描くことができます．

実際の卵の形に近い曲線としては，Ellipseに定義が似ている以下の2つが知られています．

■Cartesian oval（デカルトの卵形線）
2つの焦点$S(0,0)$, $T(c,0)$からの距離を$PS$, $PT$とするとき，$PS+mPT$が一定の値$d$である点$P$の軌跡で，方程式は次式になります．$$\left \{(1-m^2) (x^2+y^2)+2 m^{2}c x+d^{2}-m^{2} c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)\tag{1}$$これは2つの図形が現れ，定数の値によって，円や楕円や双曲線になったりします．GEOGEBRAで描いてみたので，定数をいろいろ変えてみてください．

なお，m=1の時は式$(1)$より楕円$$\left \{2c x+d^{2}- c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)$$となり，長軸を$2a$，短軸を$2b$として高校の教科書風に整理すると次式になります．$$\frac{\left(x-\frac{c}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Cartesian ovalは，アナログではEllipseと似た方法で描けますが，一方の糸だけ2重にするという方法をJames Clerk Maxwell (1831 - 1879)が見つけました．

＜描き方＞

            Ellipse      　　  　　　　           Cartesian Oval

■Cassini oval（カッシーニの卵形線）
2つの焦点$S(-c,0)$, $T(c,0)$からの距離の積$PS \times PT$が一定の値$d^2$である点$P$の軌跡で，方程式は次式になります．$$ (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})+c^{4}=d^{4}\tag{2}$$

Cassini Oval (c=5, d=4.9 のとき)

[Duck’s Egg 問題]

Prove (1) and (2).

正解はこちら

[Reference]
MacTutor Cartesian Oval
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Cartesian/
MacTutor Oval Curves
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Projects/Johnson/chapter-4/

Vanishing

この単語が邦題になっている映画が3つもあります．

●The Vanishing / Keepers（バニシング）2018年イギリス

無人島に灯台守としてやって来た3人の男の前に，金塊を大量に持った男とそれを追う男2人が現れ，金塊の争奪戦が起こります．

●The Vanishing（ザ・バニシング -消失-）1988年ドイツ

夫婦でオランダからフランスへ旅行に来たが，妻が突然いなくなり，夫が捜索するが見つからず，3年後に犯人から連絡が来ます．

●Live Like a Cop, Die Like a Man（バニシング）1976年イタリア

容疑者を次々に撃ち殺すので上司も手を焼いているという若い2人の刑事が，麻薬シンジケートの大ボスを追いかけます．

[Quiz]
新車を陸送する仕事の途中，スピード違反で警察に追いかけられても、ただひたすら車を走らせて逃げ続ける男を描いた1971年のアメリカ映画は何でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
Vanishing Point

いずれも誰か，または何かがvanish（消失）する映画です．

さて前置きが長くなりましたが，数学で「消え失せる」なんていう意味の用語はあるのでしょうか．実は，値が0になることを vanish といいます．例えば関数$f(x)=(x-1)^2$は，$x=1$で$f(x)$の値が$0$ ($f(1)=0$) になりますから，このことを

the function $f(x)=(x-1)^2$ vanishes at $x=1$

と表します．単純に「$x=1$のとき$f(x)=0$」でいいんじゃないの？と思いますが，これも「少し気取った言い回し」（『数学版これを英語で言えますか？』保江邦夫著：講談社ブルーバックス）のひとつらしいので，こんな言い方も知っておいた方がよさそうです．

また，$x$が実数の時，関数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$は，$x$が大きくなるにつれて$f(x)$の値が0に近づきますが，このことを次のように言います．

the function $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ vanishes at infinity

さらに，vanish identically という場合がありますが，これはある時の値が$0$になるのではなく、恒等的に$0$に等しいということを意味しています．例えば，

$\sin ^2 \theta +\cos ^2 \theta -1$ vanishes identically

ということになります．

逆にどこも$0$にならない場合は、nonvanishingといい，例えば次のように表すことができます．

the values of $x^2+1$ are nonvanishing for real $x$

もちろん$x^2+1$は$x$が虚数の時にvanishすることがありますから，real $x$（実数の$x$）でないといけませんね．

因みに，3次式の因数分解をするには，factor theorem（因数定理）で因数をひとつ見つけた後，次の名前のついた2つの方法のいずれかですることができます．

① vanishing method$$\begin{align} x^3-19x-30 &= x^3+2x^2-2x^2-4x-15x-30\\ &= x^2(x+2)-2x(x+2)-15(x+2) \\&= (x+2)(x^2-2x-15)\\&= (x+2)(x^2+3x-5x-15)\\&= (x+2)\{x(x+3)-5(x+3)\}\\&= (x+2)(x+3)(x-5)\end{align}$$

② division method$$\begin{align} x^3-19x-30 &=  (x+2)(x^2-2x-15)\\&= (x+2)(x+3)(x-5))\end{align}$$①は無理やり因数を作っていく感じがしますが，「因数」→「値が0になる」→「消失する」ということでこんな名前がついたのでしょう．②は日本の高校の教科書に載っているやり方で，はじめに見つけた因数で割り算をする方法です．

[Reference]

Vanishing
https://mathworld.wolfram.com/Vanishing.html

Pizza Theorem

食べ物の名前のついた定理がいくつかあります．

Pancake Theorem（パンケーキの定理）は，「2つのパンケーキ（形は円でなくてもよいし，重なっていても離れていてもよい）は1つの直線でそれぞれを2等分できる」という定理で，それを3次元に拡張したものをHam Sandwich Theorem（ハムサンドイッチの定理）といいます．

Chicken McNugget Theorem（チキン・マックナゲットの定理）は，「互いに素な$m$個入り，$n$個入りパックの組み合わせで買えない最大の個数は$mn-m-n$個である」という定理で，もともとチキン・マックナゲットが9個入り，20個入りで販売されていたのが発祥の定理です．

Pizza Theorem（ピザ の定理）1968年
ピザ（この形は円でなければいけません）を，円内の任意の点Pを通る$2n$本の直線で中心角が$\frac{\pi}{2n}$ (radian) になる扇形みたいな図形$4n$個に分割したとき， 分割された各部分を2人で同じ方向に交互に取っていくと，その和がそれぞれ同じ面積になる．ただし，$n≥2$．

[Quiz]
n=1のときの分割は何本の直線でいくつに分割し，できたおうぎ形みたいな図形の中心角は何度でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
2本の直線で4分割，中心角はπ/2(radian)＝90°

n=2のとき4本で8分割，n=3のとき6本で12分割

上図でいうと，n=2のときは紫色と黄色の部分，n=3のときは緑色と橙色の部分の面積が等しいという定理です（1999年には「$n$人で交互に取っていっても，その和がそれぞれ同じ面積になる」ことが示されました）．

n=1のとき，すなわち2本で4分割したときはなぜダメなのでしょう．

右図の円の半径をR，中心をOとします．点Pで直交する2本で4分割されたとして，中心Oを通る2本の直径とでできる9個の領域をa～iとすると，

　　右上+左下＝a+e+h+i+c＝a+(i+g)+(i+f)+i+c

                      ＞a+g+f+i+c＝$\frac{\pi R^2}{2}$

となり，右上+左下＞半分＞左上+右下になるからです．つまり，4分割では交互に取っても2人の取り分は同じ面積になりません．

n=2のとき，すなわち4本で8分割したときに定理が成り立つことを確認してみましょう．

右図で$PA=r(\theta)$，$PE=r(\theta+\frac{\pi}{4})$とすると，扇形みたいな形APEは，$\theta$を細かくすると，ほとんど扇形になるので，扇形の面積の公式$S=\frac{1}{2} r^2  \theta$より，$\varDelta S=\frac{1}{2} r(\theta)^2 \varDelta \theta$となりますから，この部分の面積$S_1$は$$S_1=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2}r(\theta)^2 d\theta$$となります．これから交互に4つ取ると，$$S_1+S_3+S_5+S_7=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2} \left \{ r(\theta)^2+r \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)^2+r(\theta+\pi)^2+r \left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)^2 \right \}d\theta$$となりますが，これは$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta\tag{1}$$となることが分かっていて（理由はこの後すぐ），するとこの続きは$$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta=2R^2\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} d\theta=2R^2 \left[ \theta \right] _0^\frac{\pi}{4}=2R^2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi R^2}{2} $$となって，交互に取った1人分の面積はちょうど円の半分になることが分かります．

さて$(1)$の理由です．

$r(\theta)=PA=a$，$r(\theta+\frac{\pi}{2})=PB=b$，$r(\theta+\pi)=PC=c$，$r(\theta+\frac{3\pi}{2})=PD=d$とすると，$$R^2=OA^2=ON^2+NA^2=MP^2+NA^2=\left( \frac{b-d}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c}{2}\right)^2$$$$R^2=OB^2=OM^2+MB^2=NP^2+MB^2=\left( \frac{a-c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+d}{2}\right)^2$$辺々加えると，$$2R^2= \frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$$となり，$(1)$が示されました．

因みに，Wolfram MathWorld には the second pizza theorem というのが紹介されていて，こう書かれてありました（笑）．

This one gives the volume of a pizza of thickness a and radius z:

pi z z a. 

 [Reference]

57. THE PIZZA THEOREM
https://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper57.pdf

Pizza Theorem
https://mathworld.wolfram.com/PizzaTheorem.html