同一円周上にある（共円である）ということをconcyclicといい，4頂点がconcyclicな四角形を cyclic quadrilateral といいます．日本語では円に内接する四角形 (inscribed quadrilateral) といいますが，英語ではinscribedよりcyclicの方がよく使われています．
Test for cyclic quadrilateral（共円条件）
A quadrilateral is a cyclic quadrilateral if any of the following is true:
2) an exterior angle is equal to the interior opposite angle.（外角が対角に等しい）
3) one side subtends equal angles at the other two vertices.（1辺に対する2角が等しい）
(Further Mathematics HL Geometry: Haese mathematics)
以上の3つは，4点がconcyclic（四角形がcyclic）であるための条件で，3)は｢円周角の定理の逆｣です．この3つ以外に，｢方べきの定理の逆｣も共円条件になります．
因みに，4辺をa, b, c, dとするcyclic quadrilateralの面積$S$を求める Brahmagupta's formula（ブラーマグプタの公式）があります．
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし$s=\frac{a+b+c+d}{2}$
ここで$d=0$とすると三角形の面積を求める Heron's formula（ヘロンの公式）と一致します．
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし $s=\frac{a+b+c}{2}$
またcyclicではない一般のquadrilateralの面積$S$を求めるにはBretschneider's formula（ブレートシュナイダーの公式）があります．
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$
ただし $p$, $q$はdiagonal length（対角線の長さ）
この公式は，cyclic quadrilateralの場合，Ptolemy's theorem（トレミーの定理）より $ac+bd=pq$ となるので，Brahmagupta's formulaと一致します．
Heron's formula
一般化↓ ↑特殊化
Brahmagupta's formula
一般化↓ ↑特殊化
Bretschneider's formula
[Reference]
Cyclic Quadrilateral -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html
