Inside and Outside Function

Inside out は裏返しという意味で，inside and outside は裏表とか内外という意味ですが，数学では inside function（内部関数）と outside function（外部関数）はcomposite function（合成関数）を構成する内側と外側の関数のことをいいます．

すなわち，composite function $$f(g(x)) = (f◦g)(x)$$の，g(x)を inside function，f(x)を outside function といいます．これらの用語は日本の数学書ではあまり見られませんね.

英語の数学書ででこれらの用語がよく使われるのは，合成関数の微分の公式，すなわち次の chain rule（連鎖律）の説明のところです．$$\{f(g(x))\}'= (f◦g)'(x)=f'(u)\cdot u'=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

IB Mathematics Standard Level (Oxford IB Diploma Programme 2012)

これらの用語はプログラミング用語としても使われていて，英語で検索すると数学用語とプログラミング用語の両方で登場しますが，日本語で検索するとほとんどがプログラミング用語として出てきます．つまり数学用語としてはあまり使われていません．

プログラミングではいくつかの処理をまとめたものを関数といいます．例えば，比較的分かりやすいプログラミング言語の Python では，次のように使われます．

def outside():
    msg = "Outside!"
    def inside():
        msg = "Inside!"
        print(msg)
    inside()
    print(msg)
outside()

すなわち，nested structure（入れ子構造）の内側，外側の関数を意味します．このプログラムを execute（実行）してみると，次の結果を得ます．

Inside!
Outside!

これらの用語を見たとき，すぐに思い浮かんだのが1980年のこの曲でした．

"Upside Down" (Diana Ross)
  Upside down
  Boy, you turn me
  Inside out
  And round and round
  上下さかさまよ
  あなたがそうさせるの
  もう裏の裏までよ
  ぐるぐると
（訳：洋楽和訳（lyrics）めったPOPS）

あなたのせいで，私の心はさかさまになって裏返しになってぐるぐる回って大変なのよ！ てな感じですかね（笑）．

[Inside and Outside Function 問題]

Given that $g(h(x))=2x^2+3x$ and $h(g(x))=x^2+2x-2$ for all real x, which of the following could be the value of g(-2)?
(a) 1     (b) -1     (c) 2     (d) -2
(by CAT MATHEMATICS)

解答はこちら

[Reference]

IB Mathematics Standard Level
by Paul La Rondie,‎ Ed Kem,‎ Laurie Buchanan,‎ Jim Fensom,‎ Jill Stevens (Oxford IB Diploma Programme 2012)

THE CHAIN RULE
https://www.shmoop.com/computing-derivatives/chain-rule.html

数学チュートリアルやさしく語る微分積分
西岡康夫著

A Quick Guide To Nonlocal In Python 3
https://www.smallsurething.com/a-quick-guide-to-nonlocal-in-python-3/

洋楽和訳（lyrics）めったPOPS　Upside Down (Diana Ross) 1980
http://mettapops.blog.fc2.com/blog-entry-977.html?sp

CAT MATHEMATICS
by ABHIJIT GUHA (PHI Learning 2014)