First Principles

直訳すると「第一原理」となるfirst principlesは形而上学や自然科学における用語としては「他のものから推論することができない命題」という意味があります．数学では定義や公理がこれに当たり，「定理を導くための前提となる命題」ともいえます．

微分の問題で，differentiate from first principlesといわれたら，直訳すれば「第一原理から微分せよ」となりますが，これは「定義に従って微分せよ」という意味で，find the derivative by (using the) limit definitionという表現をする場合もあります．

具体的には，次のlimit definition（微分の定義）の式を使って，derivative（導関数）を求めよという意味になります．$$\begin{align} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{Δx\to 0}\frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx}\end{align}$$よく$h$が使われますが，$Δx$，$δ$，dもよく使われるので，delta methodとも呼ばれています（deltaの大文字は$Δ$，小文字は$δ$，alphabetのdに当たります）．

数学で導関数という意味のderivativeは，言語学では派生語，経済学では金融派生商品，化学では誘導体などいろいろな意味があります．「派生する」という動詞deriveのderivative（派生語）になっています．つまり，"derivative"はderivativeです（笑）．

例えばtanxの微分は，sinx，cosxを微分してからquotient rule（商の微分）を用いて次のようにすることが多いのですが，$$\begin{align}(\tan x)'  &= \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' \\ &= \dfrac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2x} \\ &= \sec^2 x \end{align}$$これを微分の定義に従って計算すると次のようになります．$$\begin{align}(\tan x)' &= \lim_{h\to 0}\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x\right) \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{\tan h+\tan^2 x\tan h}{1-\tan x\tan h}\right) \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan h}{h}\cdot\dfrac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{1}{\cos h}\cdot\dfrac{1}{1-\tan x\tan h}\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x} \\ &= 1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{1-0}\cdot \sec^2 x
 \\ &= \sec^2 x \end{align}$$【First Principles 問題】
Differentiate lnx(=logex) from first principles.
定義に従ってlnx(=logex)を微分せよ．
（正解はこちらです）

<Reference>
The Derivative from First Principles - Interactive Mathematics
http://www.intmath.com/differentiation/3-derivative-first-principles.php