さて，優れた翻訳で有名なDeepL翻訳では"half-life"を「半減期」と答えます．この訳は辞書にも載っていますが，減衰する放射性同位体の量が半分になるのにかかる時間のことをいいます．数学用語というよりは科学用語ですが，指数関数の応用問題には日英ともに頻出しています．
ある時の量$N$から時間$t$の経過につれて一定の割合$\lambda$（decay constant＝崩壊定数）で減衰していることを微分方程式で表すと次式になります．$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$これを変数分離して解くと次のようになります．$\ln$はnatural logarithm（自然対数）です．$$\begin{align}\int \frac{1}{N}dN &= -\int \lambda dt\\ \ln |N|&=-\lambda t+C \\N&=e^C \cdot e^{-\lambda t}\end{align}$$
初期値（t=0のとき）$N_0$とすると，次の式で表せます．$$N=N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$これが$N_0$の半分になるので，半減期を$t_{1/2}$とすれば，$$N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}=N_0 \cdot \frac {1}{2}$$これを解くと，$$\begin{align} e^{-\lambda t_{1/2}} &= \frac {1}{2}\\ -\lambda t_{1/2} &= \ln{\frac{1}{2}} \\t_{1/2} &= \frac{\ln{2}}{\lambda} \end{align}$$例えば，化石の年代測定に使われるCarbon-14 （炭素14）$^{14}C$ の半減期は5730±40年なので，$t_{1/2} =5730$で計算すると，崩壊定数$\lambda \approx 1.21\times 10^{-4}$になります．
因みに，以上はPhysical half-life $T_p$（物理学的半減期）の話でしたが，生物が生きている間の代謝による放射性物質の半減期はBiological half-life $T_b$（生物学的半減期）といい，それらを合算したものをEffective half-life $T_e$（実効半減期）といい，次の関係があります．$$ \frac{1}{T_e} = \frac{1}{T_p} + \frac{1}{T_b} $$
[Half-life 問題]
Carbon-14 has a half-life of 5730 years. You are presented with a document which purports to contain the recollections of a Mycenaean soldier during the Trojan War. The city of Troy was finally destroyed in about 1250 BC, or about 3270 years ago. Carbon-dating evaluates the ratio of radioactive carbon-14 to stable carbon-12. Given the amount of carbon-12 contained a measured sample cut from the document, there would have been about 1.3 × 10^–12 grams of carbon-14 in the sample when the parchment was new, assuming the proposed age is correct. According to your equipment, there remains 1.0 × 10^–12 grams. Is there a possibility that this is a genuine document? Or is this instead a recent forgery? Justify your conclusions. (Purplemath)
正解はこちら
[Reference]
https://en.wikipedia.org/wiki/Half-life
Purplemath "More Exponential Word Problems"
https://www.purplemath.com/modules/expoprob3.htm
