正の数xのinteger part / whole part（整数部分）はガウス記号を使って$[x]$（xを超えない最大の整数），fractional partは$x-[x]$と定義されています．xのfractional partは{x}と表すこともありますから，その表記を使うと$x=[x]+\{ x \}$，すなわちx=(integer part)+(fractional part)になります．
例えば，2.236のinteger partは2，fractional partは0.236となり，$\sqrt{5}$のinteger partは2，fractional partは$\sqrt{5}-2$になります．記号で表すと，$[2.236]=2$，$\{ 2.236 \}=0.236$，$[\sqrt{5}]=2$，$\{ \sqrt{5} \}=\sqrt{5}-2$となります．
さて，xが負の数の場合，integer partとfractional partの定義は3つもあります．いずれもx=(integer part)+(fractional part)になります．
Definition A. 正の数と同じ定義で，日本ではほとんどこの定義が採用されています．ガウス記号$[x]$と同じ意味のfloor function（床関数）$\lfloor x \rfloor$を使うと，integer partが$\lfloor x \rfloor$，fractional partが$x-\lfloor x \rfloor$と表されます．
例えば，$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor -1.8 \rfloor=-2$，fractional partは$-1.8-\lfloor -1.8 \rfloor=-1.8-(-2)=0.2$になります．
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| Fractional Part Function by Def. A |
Definition B. Integer partを$\lfloor |x| \rfloor$，fractional partを$|x|-\lfloor |x| \rfloor$，すなわち絶対値で正の数にしてから定義Aと同様にします．正の数はその絶対値が等しいので，正の数もまとめてこの式で表すことができます．
例えば，$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor |-1.8| \rfloor=1$，fractional partは$|-1.8|-\lfloor |-1.8| \rfloor=1.8-1=0.8$になります．
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| Fractional Part Function by Def. B |
Definition C. 負の数のinteger partをceiling function（天井関数）$\lceil x \rceil$（x以上の最小の整数）で定義し，fractional partは$x-\lceil x \rceil$と定義します．正の数もまとめて1つの式にすれば，$\mbox{sgn}(x)･\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$（ただし$\mbox{sgn}(x)$は$x$の符号）となります．
例えば，$x=-1.8$のinteger partは$\lceil -1.8 \rceil=-1$，fractional partは$-1.8-\lceil -1.8 \rceil=-1.8-(-1)=-0.8$になります．
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| Fractional Part Function by Def. C |
以上まとめると，fractional partの3種類の定義は次のようになります（$\lfloor \ \ \rfloor$を$[ \ \ ]$と表しても同じです）．
Definition A $x-\lfloor x \rfloor$Definition B $|x|-\lfloor |x| \rfloor$Definition C $\mbox{sgn}(x)･\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$
複数の定義があることについて，数式処理システムMathematicaを使用しているWolframMathWorldのFractional Partについてのページでは，"there is no universal agreement"と書かれていて，私がよく利用するWolframAlphaやGeogeblaでは定義Cを採用しています．
[Fractional Part 問題]
Let $x$ be a positive number such that
$x^2+\{ x \}^2=27$ ({$x$} : the fractional part of $x$)
Find $x$.
(by BRILLIANT.org)
解答はこちら
[Reference]
Fractional Part
http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html
Fractional Part Function
https://wiki.geogebra.org/en/FractionalPart_Function
Fractional part
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_part
Fractional Part Function
https://brilliant.org/wiki/factional-part-function/
