Rise Over Run

英語で分数$$\frac{a}{b}$$は"a over b"とか，"a divided by b"と読みます．このrise over runは，分数$$\frac{rise}{run}$$のことで，直訳すれば「登り／走り」となりますが，意味はグラフでいうと，"vertical change / horizontal change"（垂直方向の変化／水平方向の変化），または「y軸方向の変化量／x軸方向の変化量」，または「yの増加量／xの増加量」．さらに言い換えると，正比例のconstant of proportionality（比例定数），一次関数のslope or gradient（傾き），関数のrate of change（変化の割合）またはaverage rate of change（平均変化率），グラフのsecant line（割線）の傾き，運動ではaverage velocity（平均の速度）を意味します．

動画サイトで関連のものを探したら，Slope = Rise over Run. "You have to RISE before you RUN"というのがありました．やはり，英語で分数は上から読むからでしょう．

因みに，接線はtangent line，微分係数（瞬間変化率）はinstantaneous rate of changeといいます．

Explicit Formula

数列のgeneral term（一般項）はn-th term（第n項）ともいいますが，nに数値を代入したら直接n番目の項が求められる，つまり求め方がはっきりと示されているので，explicit formula（明示的公式）と呼ばれる場合があります．これに対し，recurrence relation（漸化式）のことをrecursive formula（再帰的公式）という場合があります．

明示公式と呼ばれるものはいくつかあるのですが，明示公式といえば数学では「リーマンの明示公式」＝「Riemann's prime number formula（素数公式）」が有名です．これは$x$以下の素数の個数を表す関数$\pi(x)$のことなのですが，全く別の難しい式になります．

日本の高校数学の教科書で，数列の項はa1, a2, a3,…でを表す場合が多いのですが，英書ではu1, u2, u3,…がよく使われ，GDC（グラフ電卓）でもSEQモード（数列モード）にするとuが使われています．これはある用語の頭文字ではないかなと思って調べてみたら，こんな文章が見つかりました．

If a sequence is composed of elements or terms it belonging to some set S, then it is conventional to indicate their order by adding a numerical suffix to each term. Consecutive terms in the sequence are usually numbered sequentially, starting from unity, so that the first few terms of a sequence involving u would be denoted by u1, u2, u3,... . Rather than write out a number of terms in this manner this sequence is often represented by {un}, where un is the nth term, or general term, of the sequence.

Mathematics for Engineers and Scientists, Sixth Edition (Alan Jeffrey) 

というわけで，1を意味するunityから来ているようです．調べる前はunitではないかと思ったのですが，当たらずとも遠からずでした．

等差数列は直訳のsequence of numbers with common differenceよりもarithmetic progressions（略してAPs）またはarithmetic sequence（直訳は算術数列）という言い方が多いです．これは等差数列a, b, cの等差中項$b=\frac{a+c}{2}$はarithmetic means（算術平均または相加平均）でもあるからです．同様に等比数列もgeometric progressions（略してGPs）またはgeometric sequence（直訳は幾何数列）といいます．これは等比数列a, b, cの等比中項$b=\sqrt{ac}$はgeometric means（幾何平均または相乗平均）でもあるからです．

[Explicit Formula 問題]

Moser

n points are placed around a circle so that when line segments are drawn between every pair of the points, no three line segments intersect at the same point inside the circle. We consider the number of regions formed within the circle.
a) Draw the cases n = 4 and n = 5.
b) Use the cases n = 1, 2, 3, 4, 5 to form a conjecture about the number of regions formed in the general case.
c) Draw the case n = 6. Do you still believe your conjecture?
（正解はこちら）

<Reference>
Mathematics for Engineers and Scientists, Sixth Edition (Alan Jeffrey)

Mathematics HL (Core) for use with IB Diploma Programme third edition (Haese Mathematics)