正定値と訳される
positive definite（負定値は negative definite）は，一般には symmetric matrix （対称行列＝行と列を交換しても等しい行列）に対して使われる用語ですが，IBDP（国際バカロレア Diploma Program）Math の教科書には，｢こんな2次関数を positive definite という｣と書かれてあります．
Positive definite quadratics are quadratics which are positive for all values of x. So, ax2+bx+c>0 for all x∈R .
Test: A quadratic is positive definite if and only if a>0 and Δ<0. (Haese SL P37)
Δはdiscriminant（判別式）です．つまり，常に正の値をとる2次関数を positive definite というわけですが，行列における positive definite の定義との関連を見てみましょう．
[行列の positive definite (正定値) の定義]
n×n対称行列
Aが、n個の成分を持つ零ベクトルでない任意の列ベクトル
\boldsymbol{ x }に対して、
\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }（
\boldsymbol{ x }^{T}は
\boldsymbol{ x }の転置行列）が常に正となるとき，行列
Aは positive definite であるといいます．
[2×2行列で言い換えると]
対称行列
A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}が，零ベクトルでない任意の列ベクトル
\boldsymbol{ x }=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}に対して、quadratic form（二次形式＝2次の項だけの式）
\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }=(x \quad y)\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2が常に正となるとき，この行列A，またはこの二次形式を positive definite であるといいます．
[2次関数に当てはめると]
一般に2変数の2次関数（2次の項＋1次の項＋定数項）は2×2行列を用いて次の式で表せます．
\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }+\boldsymbol{ b }^{T}x+c
=(x \quad y)\begin{pmatrix} a_{1} & a_{12} \\ a_{12} & a_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+(b_{1} \quad b_{2})\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+c\\
=a_{1}x^2+2a_{12}xy+a_{2}y^2+b_{1}x+b_{2}y+c1変数の2次関数を1×1行列で表せば
(x)(a)(x)+(b)(x)+c=ax^2+bx+cとなり，
a>0で
Δ<0のとき，positive definite になります．
1変数の2次関数を2×2行列の式で表すこともできます．対称行列
A=\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix}と，
xの値が任意の列ベクトル
\boldsymbol{ x }=\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}で、
\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }=(x \quad 1)\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}=ax^2+bx+cこれが常に正となるとき，positive definite になります．
以上のことから，2次関数の positive definite は，対称行列の positive definite の特別な場合であることが分かります．
ここで，
Aの行列式
|A|=ac-\frac{b^2}{4}=-\frac{1}{4}(b^2-4ac)=-\frac{1}{4}Δ>0なら
Δ<0となり，その逆も成り立ちますから，
|A|>0という条件は
ax^2+bx+cがpositive definiteであるための必要十分条件になります．
因みに positive definite に似た意味で positive quadratic という用語もあります．
For a quadratic function f(x)=ax^2+bx+c:
If a>0, f(x) is a positive quadratic. The graph has a minimum point and goes up on both sides.
(Cambridge SL P2)
If the leading coefficient, a, of the quadratic function f(x)=ax^2+bx+c is positive, the parabola opens upward (concave up)
(Pearson SL P66)
つまり，
ax^2+bx+c の
a>0（下に凸）の場合，この2次関数を positive といいます．
[Reference]
Mathematics for the International Student-IB Diploma: SL
Haese Mathematics
Mathematics for the IB Diploma Standard Level
Cambridge University Press
Pearson Baccalaureate: Standard Level Mathematics for the IB Diploma International Edition
Pearson Education Limited
