Oct 12, 2019

Scale Factor

Scaleには大きさ,目盛,音階,天秤,うろこなどいろいろな意味がありますが,数学では主に尺度,すなわち長さ,大きさ,目盛などの意味に使われます.

例えば,アメリカの地震学者Richterが考案した地震の規模を表すmagnitudeは,"Richter scale"とも呼ばれています.また,大きなデータを扱うグラフでの目盛の取り方のひとつに,logarithmic scale(対数目盛)があります.

統計学におけるscaleには,評価の基準として4つのscalesがあります.
・nominal scale(名義尺度)…同じか違うかだけを判断する.
・ordinal scale(順序尺度)…大小関係だけを判断する.
・interval scale(間隔尺度)…大小関係を差も考察して比較する.
・ratio scale(比例尺度)…絶対的な値0を基準にした値で大小関係を比較する.

Factorの方も因数,因子,係数,率など,いろいろな訳し方がありますが,scale factorとはどんな意味なのでしょう.

Transformations of functions(関数の変換)

y=f(x)のグラフをy軸方向に拡大縮小したy=af(x)や,x軸方向に拡大縮小したy=f(ax)の a をscale factorといい,これは倍率を意味しています.正比例の式 y=ax の比例定数 a もこれに含まれます.

Similarity(相似)

Similarity ratio(相似比=相似な図形の辺の長さの比)もscale factorといいます.これも倍率の一種といえますが,相似ならではの用語です.数学英和・和英辞典(共立出版)ではscale factorの欄に倍率,尺度係数とありますが,加えて相似比も載せてほしいところです.

"Find the similarity ratio." と書かれていれば分かりやすいのですが,相似比を答えさせるのに "Find the scale factor." と書かれている場合が多いです.

相似比はa:bという形で答える場合と,a/bの値で答える場合とありますが,英語の場合,後者で答える方が一般的です.
(注)英語でratioは「比」も「比の値」も意味するので,ここでは便宜上どちらも「比」と呼んでいます.

Figure 1
因みに「scale factor 日本語」で検索してみると,「スケール係数」と出てきますし,Wikipediaには同じ英語で「スケール因子」が出てきます.定まった和訳のない英語はその場に合った訳し方が難しいですね.

[Scale Factor 問題] 

1) See the figure 1.
Figure 2

2) See the figure 2. D, E is the midpoint of AB, AC. BF:FC=2:3. DH:HG=3:1.
  a) Find the ratio of BF:FG:GC.
  b) Find the area ratio of quadrilaterals BFHD:CGHE.

解答はこちら

[Reference]

Statistics How To
https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/scales-of-measurement/

Aug 1, 2019

HCF (Highest Common Factor)

Youtube: HCF or GCD
2つ以上の数や式の最大公約数は GCD (Greatest Common Divisor) または GCM (Greatest Common Measure) と言いますが,HCF (Highest Common Factor) と言う場合もあり,意外によく使われています.以下はあるサイトのQ&Aです.
Q.  What is the difference between the HCF and the GCD of two numbers? Is there any difference at all? 
A.  They are the same. Whereas Highest Common Factor (HCF) is a little bit old-fashioned, but still in use today.
I studied in the UK, and my Discrete Maths teacher (who was 70 years old) used to say that when he was a student, all profs use HCF than GCD and he pointed out that GCD is an American term (he stressed on the rrr in divider).
As I have been taking more lectures in maths, I realised that applied maths lecturers use HCF more than pure maths lecturers.
There is a tendency in which the terminologies of maths standardise, and now I barely heard the term HCF. For myself, I use GCD more than HCF but I still tell people that my old professors prefer the latter.
I simply miss the time when we had diversity of terms.
(Quora.com) 
HCF は,GCD と同じ意味だが少し古い言い方であるとか,純粋数学よりも応用数学によく使われるとかの違いが述べられています.

2つ以上の数や式の共通な因数になる数や式を common divisor または common factor と言うわけですが,実際日本語では,数の場合には公約数,式の場合には共通因数と言うことが多いようです.式の因数分解のときに「共通因数を括り出す」といいますが,「公約数を括りだす」とは言いませんね.以下はあるサイトの因数分解の説明です.
To factorise an algebraic expression, take out the highest common factor and place it in front of the brackets. Then the expression inside the brackets is obtained by dividing each term by the highest common factor.
(mathteacher.com)
例えば,$3a^4b+12a^2b^3=3a^2b(a^2+4b^2)$ と因数分解できますが,このときの HCF は $3a^2b$ ということになります.

因みに,HCF を直訳すれば「最高共通因数」となりますが,この訳語はあまり見られず,かろうじて「プリンストン数学大全」(朝倉書店 2015年)で使われているのを見つけることができました.

[HCF 問題]

Find the HCF of 240 and 924.

(正解はこちら

[Reference]

What is the difference between the HCF and the GCD of two numbers? Is there any difference at all?

Factorisation using the Common Factor

Jul 19, 2019

Oneth

YouTube, What does twenty-oneth mean?
「1番目という意味なら,oneth じゃなくて first でしょう」といいたくなりますね.さすがに1番目を oneth とはいいませんが,21番目 (twenty-first) を,非標準ながら  twenty-oneth といったり,数列などで n+1番目 (n plus first) を n plus oneth といったりする場合があります.

分数の分母に使われる場合は,例えば$\frac{1}{21}$ (one twenty-first), $\frac{2}{21}$ (two twenty-firsts) を,one twenty-oneth, two twenty-oneths ということもあります.しかし,分数は one over twenty-one とか one divided by twenty-one とかいう方がずっと簡単ですよね.

また,oneth 単独では$\frac{1}{1}$という意味にも使われます.分数の割り算で,「$\frac{1}{2}$で割ることは,$\frac{2}{1}$をかけることに等しい」と表現するとき,整数の2をあえて$\frac{2}{1}$と表し,two oneths といういい方ができます.

一の位(桁)は units place(/digit) または ones place, 十の位は tens place, 百の位は hundreds place といいます.小数点以下は,十分の一の位が tenths place,百分の一の位は hundredths place というので,一分の一の位は oneths place といえそうですが,$\frac{1}{1}$は1と一致するので,この位はありません.つまり,ones place(一の位)の下は,decimal point(小数点)をはさんで tenths place(十分の一の位)になります.

[Oneth 問題]

You can have decimal oneths. Is this true or false?
(by ProProfs quiz maker)

(正解はこちら

[Reference]

英辞郎 on the WEB "oneth"
https://eow.alc.co.jp/search?q=oneth

ProProfs quiz maker, Grade 7 Math Quiz
https://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=grade-7-math-quiz

Jun 2, 2019

Riemann Sum

例えば,$y=x^2 \ (0≤x≤1) $のグラフの下の部分をn等分して,各区間の右端を高さとする長方形をn個つくると,その面積和$S_n$は,\begin{eqnarray}
S_n &=& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}・ \left( \frac{k}{n}\right)^2\\
&=& \frac{1}{n^3}・\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
&=&\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}
\end{eqnarray}となり,n→∞にするとその極限値は$\frac{1}{3}$になります.因みに各長方形の高さを左端や中点にしても同じ極限値になります.

このように面積を求める方法を区分求積法といいますが,この英訳を調べると,"classification quadrature method", "partitioning quadrature method",
"quadrature by parts", "sectional measurement", "mensuration by parts" など,様々な言い方があります.ところがこれらの英語で検索してもあまり区分求積法を説明するサイトが現れません.
The process of using sums of areas of rectangles to approximate the area under a curve is called a Riemann sum. This method is named after the German mathematician Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), who generalized the process.
IBDP Mathematics Analysis and Approaches Standard Level (Oxford University Press)
もともと右図のような長方形の有限和を Riemann sum といいますが,上の引用文のように, Riemann sum を使ってこのグラフの下の部分の面積を求める方法も Riemann sum ということがあります.

この図では各区間の右端を長方形の高さにしているので,right Riemann sum といいます.各区間の左端を長方形の高さにする場合はもちろん left Riemann sum といいます.

Bernhard Riemann は,証明できたら100万ドルの賞金が出るという未解決問題,リーマン予想 (Riemann hypothesis) で有名です.日本の初等・中等教育の数学の教科書では,人の名前を冠した用語はあまり出てきませんが,英語の書籍を見てみると,発見者に敬意を表してその名を冠する用語を使うことが多く,ピタゴラスの定理, デカルト座標,パップスの中線定理,ラグランジュの平均値の定理,リーマン積分,ガウス平面など多数あります.

[Riemann sum 問題]
Approximate the definite integral $\displaystyle \int_{-1}^{1} \left(- t^{3} + 4\right) dt$ using a left Riemann sum with $5$ intervals.   (Math Insight)

(正解はこちら

[Reference]

IBDP Mathematics Analysis and Approaches Standard Level (Oxford University Press)

Math Insight Quiz on Riemann sums and definite integrals
https://mathinsight.org/assess/math201up_spring15/pure_time_differential_equations_quiz2

May 12, 2019

PEMDAS / BODMAS

これはOrder of Operations(演算の優先順位)です.三角比のSOHCAHTOAと違い,地域によって異なる覚え方があります.

USA
PEMDAS (ペダス)
Parentheses(括弧), Exponents(累乗), Multiplication(掛け算), Division(割り算), Addition(足し算), Subtraction(引き算)
よく教えられる覚え方 "Please Excuse My Dear Aunt Sally"

UK系
BODMAS(ボドゥマス)または BIDMAS(ビドゥマス)
Bracket(括弧),Order/Indices(累乗),Division,Multiplication,Addition, Subtraction

CANADA / NZ
BEDMAS(ベドゥマス)
Bracket, Exponents, Division, Multiplication, Addition, Subtraction

このようにいくつかの単語の頭文字を並べて新しい単語になったものをacronym(頭字語)といいます.ただこのままの順番だと,$×$と$÷$に,または$+$と$-$に優先順位があるような誤解を生む可能性があるので,正確には以下のように解釈しなければいけません.
  1. まず( )の中を先に計算
  2. 次に累乗を計算
  3. $+-$より$×÷$を優先し,$×÷$だけの部分は左から右へ計算
   (割り算は「逆数の掛け算」にしてもOK)
  4. $+-$だけになったら左から右へ計算
   (足す数と引く数をまとめてから計算してもOK)

WolphramAlpha
また,連続する累乗$a^{b^c}$を,このように右肩に小さい数字を書いていく場合は最も右上から順に計算しますが,a^b^cのように表す場合は,2通りの計算順序があって国際的な同意は得られていません.例えばMathematicaによる計算サイトWolphramArphaでは2^3^2=2^(3^2)=2^9=512と計算し,世界シェアトップクラスのTI 84 PlusというGDC(グラフ電卓)では2^3^2=(2^3)^2=8^2=64と計算します.
TI 84 Plus

[PEMDAS / BODMAS 問題]

Find the value of  $12/3x-3+4$  when $x=2$.

正解はこちら

[Reference]

Order of Operations PEMDAS
https://www.mathsisfun.com/operation-order-pemdas.html

Exponentiation Associativity and Standard Math Notation
https://codeplea.com/exponentiation-associativity-options

Feb 11, 2019

Net

Netと聞くと「網」,または最近なら「インターネット」という意味しか思いつかないので,こんな数学用語があるのかなと思います.「数学英和・和英辞典」(小松勇作編・共立出版)には次のように掲載されています.
net a. 正味の.n. 正価;網.
net present worth 正味原価.net price 正価.
しかし,これは数学用語とは言い難いですね.実はnetには他にもこの辞典には載っていない2つの意味があります.

初等幾何学
初等幾何学においては,立体の「展開図」という意味で使われています.特に,nets of cube(立方体の展開図)のパターンは11種類あることが知られています.上図のnetは,truncated icosahedron(切頂二十面体)のものです.文字通りicosahedron(正二十面体)の各頂点を切り落としてできる立体で,32面(正五角形12+正六角形20)あります.よくあるサッカーボールはこれを膨らませたものです.

位相幾何学
位相幾何学においては,点列を一般化した概念でnetという用語があります.これはMoore-Smith sequenceとも呼ばれています.
Definition
A directed set is a nonempty set $I$ with a relation such that
(1) $\alpha\preceq\alpha$ whenever $\alpha \in I$;
(2) if $\alpha\preceq\beta$ and $\beta\preceq\gamma$, then $\alpha\preceq\gamma$;
(3) for each pair $\alpha$, $\beta$ of elements of $I$ there is a $\gamma_{\alpha\beta}$, in $I$ such that $\alpha\preceq\gamma_{\alpha\beta}$ and $\beta\preceq\gamma_{\alpha\beta}$.
That is, a directed set is a nonempty preordered set that satisfies (3). A net or Moore-Smith sequence in a set $X$ is a function from a directed set $I$ into $X$. The set $I$ is the index set for the net.
(An Introduction to Banach Space Theory by Robert E. Megginson)
日本語でいえば,有向集合(任意の2元が上界をもつ前順序集合)$I$からある集合$X$への関数をnetと言います.簡単な例としては,高校数学に登場する普通の数列は,有向集合である正の整数から数全体の集合への関数といえるのでnetになります.

NetはMooreとSmithが1922年に紹介した概念ですが,netという用語は1950年のKelleyによる論文で初めて使われました.Kelleyは当初wayという用語を使おうとしたのですが,netにはsubnetという概念もあり,wayを使うとそれがsubwayとなって「地下鉄」と混同してしまうので,Norman Steenrodという人がwayの代わりにnetを使うよう提案したそうです.

[Reference]
An Introduction to Banach Space Theory
Robert E. Megginson (2012)

Feb 8, 2019

Radicals and Surds

一般に,無理数はirrational number,有理数はrational numberといいますが,英語の書籍では、日本の中3で学ぶ「平方根」が,"Radicals and Surds"または"Radicals (or Surds)"と表されています.

Radicalsというと,政治用語の「過激派」とか「急進主義者」という意味をまず思いつきます.もともとradicalはラテン語のradix(根)という言葉を語源として「根本的」という意味なのですが,根本的に政治を変えようとする集団のことをradicalsと呼んだことからこのような意味にも使われるようになったそうです.

数学用語としてのradicalsは,根,根号,根号のついた数,累乗根(n乗根)$\sqrt[n]{x}$という意味があり,$\sqrt[n]{x}$は普通"the nth root of x"と読みますが,"x radical n"と読むこともあります.例えば$\sqrt{3}$,$\sqrt{4}$,$\sqrt[3]{5}$などがradicalsです.根号はradical simbol,radical sign,root simbolとも呼ばれています.

Surdsの対訳は単に「無理数」で,radicalsと同じ意味に使われる場合もありますが,正確にはradicalsの中で無理数であるものをいいます.例えば$\sqrt{4}$はradicalですが無理数ではないのでsurdではありません.一方,$\sqrt{3}$はradicalで無理数なのでsurdになります.円周率πやネイピア数eは根号表示されない無理数なので,radicalでもsurdでもありません.
A radical is a number that is written using the radical sign $\sqrt{\quad}$.  Radicals such as $\sqrt{4}$ and $\sqrt{9}$ are rational since $\sqrt{4}$= 2 and $\sqrt{9}$= 3. Radicals such as $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ and $\sqrt{5}$ are irrational. They have decimal expansions which neither terminate nor recur. Irrational radicals are also known as surds.
(Haese Mathematics, MYP Gr.9-10, Radicals and Surds)
Surdという言葉はラテン語のsurdus(deaf, silent)から派生したもので,deaf→聞こえない→感覚がない→不合理→irrationalというわけで,irrational numberをsurdと呼ぶようになったようです.

[Radicals and Surds 問題]

(1)  Which of the following is a surd?
  (a)  $\sqrt {64}$     (b)  $\sqrt {18}$     (c)  $\sqrt {100}$

(2)  Rationalise the denominator of $\frac{5}{4-\sqrt{6}}$

正解はこちら

[Reference]

Mathematics for the international student Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus)
Haese Mathematics

Surds - Math is Fun
https://www.mathsisfun.com/surds.html

Merriam-Webster dictionary/surd
https://www.merriam-webster.com/dictionary/surd

Jan 30, 2019

Continued Square Roots

Continued Square Roots は直訳すると連続平方根となりますが,連続根号数とも訳されています.Wolfram MathWorldで探すと,Nested Radical(多重根号) にLinkされ,次の式が書かれていますが,これは正確にいうとInfinite Nested Radical(無限多重根号)ですね.$$\displaystyle \lim_{ k \to \infty }x_0+\sqrt{x_1+\sqrt{x_2+\sqrt{...+x_k}}}$$もちろん根号の数が有限な例としては$\sqrt{2+\sqrt{3}}$などがあります.上の式で$x_0=0$とし,それ以降の$x_k=n$とすると次式になります.$$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}$$これが無限に続くとどんな値に近づくのでしょう.$$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}=x$$とおくと,いちばん外側の$\sqrt{\quad}$の中の$n+$以降は$x$と等しいので,$$\sqrt{n+x}=x$$と考えられ,両辺を平方して移項すると,$$x^2-x-n=0$$この解は正の数なので,$$x=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$$例えば$n=1$なら,$$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}=x$$とおくと,$$\sqrt{1+x}=x$$となり,両辺を平方して移項すると,$$x^2-x-1=0$$これの正の解は$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,すなわち黄金比の値になります.

Mathematics for the international student  Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses (HAESE Mathematics)
またこの図のように$n=2$なら,$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=x$$とおくと,$$\sqrt{2+x}=x$$となり,両辺を平方して移項すると,$$x^2-x-2=0$$これの正の解は$x=2$となります.上図の INVESTIGATION 2 はこの値に近づくことを調べさせています.

[Continued Square Roots 問題]
Find the value of x.$$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}=x$$解答はこちら

[Reference]

Mathematics for the international student
Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses
(HAESE Mathematics)

Continued Square Root
http://mathworld.wolfram.com/ContinuedSquareRoot.html

Jan 4, 2019

Ferris Wheel

Ferris Wheel
Ferris wheelは数学用語ではありませんが,三角関数の応用問題で頻出するので,ぜひ知っておきたい用語です.

Ferrisには特に意味はなく,人名のひとつなので,Ferris wheelというと「フェリスさんの車輪」という意味になりそうですが,これはFerrisという人が世界初の観覧車(Chicago Wheel)を設計したので,それに敬意を表して観覧車のことを一般的にこう呼んでいます.

英国系では観覧車をbig wheel,または巨大なものをgiant wheelと呼ぶこともありますが,英国の出版社であるCambridge University Press,Oxford University Press,Pearson EducationのIB(国際バカロレア)数学の教科書など,多くの場合はFerris wheelという用語が使われています.

Cambridge University Press
The original Ferris Wheel was constructed in 1893 in Chicago. It was just over 80 m tall and could complete one full revolution in 9 minutes. During each revolution, how much time did the passengers spend more than 50 m above the ground? (IB Math SL)

Oxford University Press
A Ferris wheel at an amusement park reaches a maximum height of 46 metres and a minimum height of 1 metre. It takes 20 minutes for the wheel to make one full rotation. Write a sine function to model the height of the child t minutes after boarding the Ferris wheel. (IB Math SL)

Pearson Education
We are surrounded by periodic functions. A few examples include: the average daily temperature variation during the year; sunrise and the day of the year; animal populations over many years; the height of tides and the position of the Moon; and your height above ground when riding a Ferris wheel and the rotation of the wheel. (IB Math SL)

因みに,ドイツでは1610年頃に円周率を35桁まで正しく計算したLudolphという人の功績を称えて,円周率をLudolf Numberと呼んでいますが,このように,初めて発見,発明した人の功績を称えてその名を冠した例は他にも多数あります.日本では1722年に建部賢弘(たけべかたひろ)が小数42位まで求めたのが大きな功績なので,円周率を建部数と呼んでもいいのかも知れません.

[Ferris Wheel 問題]
The Ferris wheel at the Royal Show turns one full circle every minute. The lowest point is 1 metre from the ground, and the highest point is 25 metres above the ground.
(a) When riding on the Ferris wheel, your height above ground level after t seconds is given by the model h(t)=a+bsin(c(t-d)). Find the values of a, b, c, and d given that you start your ride at the lowest point.
(b) If the motor driving the Ferris wheel breaks down after 91 seconds, how high up would you be while waiting to be rescued?
(IB Math SL : Haese Mathematics)

解答はこちら

[Reference]
IB Math text books by Oxford, Cambridge, Pearson and Haese

Dec 15, 2018

Cyclic Quadrilateral

Cyclicは,循環する,巡回する,周期的というような意味があります.では,循環するquadrilateral(四角形)とはどういう意味でしょうか.

同一円周上にある(共円である)ということをconcyclicといい,4頂点がconcyclicな四角形を cyclic quadrilateral といいます.日本語では円に内接する四角形 (inscribed quadrilateral) といいますが,英語ではinscribedよりcyclicの方がよく使われています.

Test for cyclic quadrilateral(共円条件)
A quadrilateral is a cyclic quadrilateral if any of the following is true:
1) one pair of opposite angles are supplementary.(対角の和が180°)
2) an exterior angle is equal to the interior opposite angle.(外角が対角に等しい)
3) one side subtends equal angles at the other two vertices.(1辺に対する2角が等しい)
(Further Mathematics HL Geometry: Haese mathematics)

以上の3つは,4点がconcyclic(四角形がcyclic)であるための条件で,3)は「円周角の定理の逆」です.この3つ以外に,「方べきの定理の逆」も共円条件になります.

因みに,4辺をa, b, c, dとするcyclic quadrilateralの面積$S$を求める Brahmagupta's formula(ブラーマグプタの公式)があります.
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

ここで$d=0$とすると三角形の面積を求める Heron's formula(ヘロンの公式)と一致します.
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし $s=\frac{a+b+c}{2}$

またcyclicではない一般のquadrilateralの面積$S$を求めるにはBretschneider's formula(ブレートシュナイダーの公式)があります.
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$
ただし $p$, $q$はdiagonal length(対角線の長さ)
この公式は,cyclic quadrilateralの場合,Ptolemy's theorem(トレミーの定理)より $ac+bd=pq$ となるので,Brahmagupta's formulaと一致します.

Heron's formula
一般化↓ ↑特殊化
Brahmagupta's formula
一般化↓ ↑特殊化
Bretschneider's formula

[Reference]
Cyclic Quadrilateral -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html

Nov 4, 2018

Straightedge and Compass Construction

これらの単語を調べたら,次のような意味があることが分かります.
    straightedge=幻覚剤・酒・たばこなどに手を出さない生き方
    compass=羅針盤,方位磁針
    construction=建設,建築,構文,構造

https://genuineideas.com/
しかし,straightedge は直定規(直定木),compass はコンパス(円を描く道具,あえて日本語にするなら円規,両脚器,ぶん回しともいいます),construction は作図という意味もあり,straightedge and compass construction は,直定規とコンパスだけを使う作図という意味になります.

他にruler-and-compass construction,classical construction,geometric construction,Euclidean constructions という言い方があります.「作図」を直訳して figure construction という場合もありますが,こちらは人物画を描くという意味の方によく使われているようです.

普通に図を描くことも広い意味で作図といえますが,一般に数学における作図といえば,straightedge and compass construction のことを指していて,"Euclid's Elements(ユークリッドの原論)" に初めて登場したので,Euclidean constructions ともいうわけです.定規といえば ruler を思い浮かべますが,straightedge(直定規)という用語がよく使われています.

この straightedge and compass construction は,日本ではまず中1で直線外の点を通る垂線,線分の垂直2等分線,角の2等分線,中3では平方根で表される長さ,高校数学Aで等分点などを作図する方法として登場しています.

正n角形の作図可能性

Equilateral triangle(正3角形),square(正4角形)とそれから派生する regular hexagon(正6角形),regular octagon(正8角形)が constructible(作図可能)であることはギリシャ時代から知られています(以下 regular を省略します).Pentagon(正5角形)もギリシャ時代に constructible であることがわかっていましたが,残念ながら,あのアルキメデスでさえも正7角形,正9角形の作図には成功しなかったようです.

1796年3月30日の朝,19才のガウスが目覚めたとき,heptadecagon(正17角形)の作図法がひらめいたそうです.そしてその後ガウスは次のことを証明しています.

定理
四則演算とべき乗根を用いて表される数は作図可能である.

定理
代数方程式 zn−1=0 が四則演算とべき乗根だけで解けたら、正n角形が作図可能である.

ということから,

定理
nの値が2のべき乗(2αで表される数)であるか,フェルマー素数すなわち「22m+1で表される素数」であるか,またはこれらの2種類の数の積であるとき,すなわち,
n=2α・p1 ・p2 ・・・・・・pk (ただしpmはフェルマー素数)
のときに、正n角形は作図可能である.

α=0かつm=0のときn=3となり正3角形,α=2で2のべき乗だけのときn=4となり正4角形、α=0かつm=1のときn=5となり正5角形,α=1かつm=1のときn=6となって正6角形が作図可能ですが,7や9はこの形で表せないので作図不可能です.そして,α=0かつm=2のときが正17角形になります.さらに,257-gon(正257角形,m=3)の作図法が1832年に,65537-gon(正65537角形,m=4)の作図法が1900年ごろに発見されました.正n角形は代数方程式 zn−1=0 を解けばいいのですが,nの値が大きくなるにつれてどんどん複雑になっていきます.

[Straightedge and Compass Construction 問題]
1) Construct a equilateral triangle.
2) Construct a regular pentagon.

解答はこちら

[Reference]
「数学入門(上)」遠山啓著 岩波新書

Sep 24, 2018

Direct Variation

正比例のことをdirect proportionalityといい,yがxに正比例することを
    y is directly proportional to x
といいます.正比例することを「比例する」ともいいますが,英語でもdirectなしで,proportionalityとか,proportionalとかいいます.すなわち,yがxに比例するというのに,
    y is proportional to x
でもいいわけです.そして,どちらもy=kx(kは比例定数)という関係式になり,時にはy∝xとも表されます.

https://www.openalgebra.com/2012/11/variation.html
Variationは変動,変分,振幅などの意味があり,direct variationを直訳すると「直接変動」となりそうですが,実はdirect proportionality,つまり正比例という意味で使われています.なので,yがxに正比例するということを,
    y varies directly with x
または
    y varies directly as x
とも表現されます.

https://www.onlinemathlearning.com/joint-variation.html
同様に,反比例はinverse proportionalityまたはinverse variationといいます.yがxに反比例することは,
    y is inversely proportional to x
    y varies inversely with x
    y varies inversely as x
などと表され,関係式はy=k/xとなります.

因みに,joint variation, combined variationという用語もあり,joint variationは2変数以上の積に比例し,その関係式は2変数の場合y=kxzになります.また,combined variationは2変数以上の積や商に比例し,その式は例えばy=kz/xなどとなります.

[Direct Variation 問題]
The area of an ellipse varies jointly as a and b, that is, half the major and minor axes.  If the area of an ellipse is 300 pi square units when a = 10 and b = 30 units then what is the constant of proportionality? Give a formula for the area of an ellipse.

解答はこちら

[Reference]
Variation
https://www.openalgebra.com/2012/11/variation.html
Joint and Combined Variation Word Problems
https://www.onlinemathlearning.com/joint-variation.html

Jul 17, 2018

Positive Definite


正定値と訳される positive definite(負定値は negative definite)は,一般には symmetric matrix (対称行列=行と列を交換しても等しい行列)に対して使われる用語ですが,IBDP(国際バカロレア Diploma Program)Math の教科書には,「こんな2次関数を positive definite という」と書かれてあります.
Positive definite quadratics are quadratics which are positive for all values of $x$. So, $ax^2+bx+c>0$ for all $x$∈$\mathbb{ R }$ .
Test: A quadratic is positive definite if and only if $a$>0 and Δ<0.   (Haese SL P37)
Δはdiscriminant(判別式)です.つまり,常に正の値をとる2次関数を positive definite というわけですが,行列における positive definite の定義との関連を見てみましょう.

[行列の positive definite (正定値) の定義]
n×n対称行列$A$が、n個の成分を持つ零ベクトルでない任意の列ベクトル$\boldsymbol{ x }$に対して、$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }$($\boldsymbol{ x }^{T}$は$\boldsymbol{ x }$の転置行列)が常に正となるとき,行列$A$は positive definite であるといいます.

[2×2行列で言い換えると]
対称行列$A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$が,零ベクトルでない任意の列ベクトル$\boldsymbol{ x }=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して、quadratic form(二次形式=2次の項だけの式)$$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }=(x \quad y)\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2$$が常に正となるとき,この行列A,またはこの二次形式を positive definite であるといいます.

[2次関数に当てはめると]
一般に2変数の2次関数(2次の項+1次の項+定数項)は2×2行列を用いて次の式で表せます.$$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }+\boldsymbol{ b }^{T}x+c
=(x \quad y)\begin{pmatrix} a_{1} & a_{12} \\ a_{12} & a_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+(b_{1} \quad b_{2})\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+c\\
=a_{1}x^2+2a_{12}xy+a_{2}y^2+b_{1}x+b_{2}y+c$$1変数の2次関数を1×1行列で表せば$$(x)(a)(x)+(b)(x)+c=ax^2+bx+c$$となり,$a>0$で$Δ<0$のとき,positive definite になります.

1変数の2次関数を2×2行列の式で表すこともできます.対称行列$A=\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix}$と,$x$の値が任意の列ベクトル$\boldsymbol{ x }=\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$で、$$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }=(x \quad 1)\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}=ax^2+bx+c$$これが常に正となるとき,positive definite になります.

以上のことから,2次関数の positive definite は,対称行列の positive definite の特別な場合であることが分かります.

ここで,$A$の行列式$|A|=ac-\frac{b^2}{4}=-\frac{1}{4}(b^2-4ac)=-\frac{1}{4}Δ>0$なら$Δ<0$となり,その逆も成り立ちますから,$|A|>0$という条件は$ax^2+bx+c$がpositive definiteであるための必要十分条件になります.

因みに positive definite に似た意味で positive quadratic という用語もあります.
For a quadratic function $f(x)=ax^2+bx+c$:
If a>0, f(x) is a positive quadratic. The graph has a minimum point and goes up on both sides.
(Cambridge SL P2) 
If the leading coefficient, a, of the quadratic function $f(x)=ax^2+bx+c$ is positive, the parabola opens upward (concave up)
(Pearson SL P66)
つまり,$ax^2+bx+c$ の $a>0$(下に凸)の場合,この2次関数を positive といいます.

[Reference]

Mathematics for the International Student-IB Diploma: SL
Haese Mathematics

Mathematics for the IB Diploma Standard Level
Cambridge University Press

Pearson Baccalaureate: Standard Level Mathematics for the IB Diploma International Edition
Pearson Education Limited

Jun 10, 2018

Pronumeral

A MATHS DICTIONARY FOR KIDS
Pronoun は pro(代わり)と noun(名詞) の合成で代名詞という意味になります.同様に pronumeral は,pro(代わり)と numeral(数) の合成なので,直訳すると代数になりますが,実際は 「variable(変数)やconstant(定数)を表すのに使われる文字」という意味で使われています.

Wiktionary英語版で,数学用語としての variable の意味は次のようになっています.
(mathematics) A quantity that may assume any one of a set of values.
(mathematics) A symbol representing a variable.
このように文字で表わされた定数も variable というなら,variable と pronumeral は同じ意味になります.例えば$y=ax^2+bx+c$なら,$a, b, c$ も $x, y$ も pronumeral ということになります.

この用語 pronumeral がなぜ意外なのかというと,Australia以外でほとんど使われていないからです.Wiktionary英語版では pronumeral が以下のように紹介されています.
Usage notes
Standard in Australian compulsory education, but rarely used outside Australia.
同僚の理系の米国人はこの用語を知りませんでした.確かにAustraliaから出版されている複数のInternational Baccalaureate(IB=国際バカロレア)の教科書にはこの pronumeral が使われていました.

MATHEMATICS for year 8 (Haese Mathematics : Australia)

IB Diploma Program(IB資格を取得するための高2~高3対象プログラム)Mathの教科書は,Australiaの3社(Haese, IBID, Pearson)と英国の2社(Oxford, Cambridge)から出版されていますが,Australiaの教科書も世界中でかなり使われていますので,この用語 pronumeral も知っておいた方がいいでしょう.

[Pronumeral問題]

Find the following pronumeral in the diagrams below. (SOCRATIC)

Not to Scale

解答はこちら

[Reference]

A MATHS DICTIONARY FOR KIDS
http://www.amathsdictionaryforkids.com/qr/p/pronumeral.html

Wiktionary英語版 "variable" "pronumeral"

May 5, 2018

Directed Numbers

日本では,中学1年生の数学で初めて負の数(negative numbers)が登場します.教科書には「ーのついた数」とも書かれています.もちろん小学校まで使っていた0より大きい数も,あらためて正の数(positive numbers)と呼び,正の数と負の数をまとめて「正負の数」と呼んでいます.

英書ではこれらをdirected numbers(向きのある数)またはsigned numbers(符号のついた数)という場合があります.つまり,directed numbersもsigned numbersも意訳すれば「正負の数」ということになります.

Directed numbersを中国語では有向數といいますが,日本語で有向数という用語はあまり使われません.また,signed numbersを符号数と呼ばないのは,signature(符号数)という別の意味の数があるからです.

ところで,英書で負の数に( )をつけていないのを目にすることがあります.例えばよく
$-3+-4=-7$
negative 3 plus negative 4 equals negative 7
と書かれています.負の数に( )をつけるのが当たり前の日本では,少し違和感を感じますが,( )がないからといって間違いではありません.

さて,なぜa negative times a negative equals a positive(負の数×負の数=正の数)となるのでしょうか.私の好きなのは次のような説明です.東向きに時速4kmで歩いている人は,2時間後には8km東に居ます.西向きに時速4km(東向きに時速-4km)で歩いている人は,2時間前(-2時間後)には8km東に居ました.同じところに居るので,$$4\times 2=-4\times -2$$ということになります.

借金と借金を掛けて財産になるというのはおかしな話です.この歴史的な議論を,数学者遠山啓(1909-1979)が著書「数学入門」(1959)で詳しく紹介しています.彼はこの中で「がんらい金高と金高をかけても無意味なのである」と述べています.速度と時間の積は意味がありますが,借金と借金の積は意味がありません.私たちは意味があるから,必要だから計算するのであって,意味のない計算はしないのです.

[Reference]
「数学入門」 遠山啓著 (岩波新書)

Apr 20, 2018

Radix Point

実数のinteger part(整数部分)とfractional part(小数部分)を分ける点,すなわち小数点という意味の英語はdecimal pointだとばかり思っていましたが,この言い方はdecimal system(10進記数法)の場合だけの呼び方でした.確かにもともとdeciは,deciliterとかdecimeterのように10分の1という意味ですね.

例えば数字を0と1しか使わないbinary system(2進記数法)の場合のそれはbinary point(2進小数点)といいます.従って,正確にいうとdecimal pointは10進小数点ということになります.そして,これらn進小数点をまとめてradix point(基数点)といいます.


Hexadecimal system(16進記数法)の例も見てみましょう.Decimal systemでは10個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9を使いますが,hexadecimal systemでは16個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F を使います.AからFはdecimal systemでの10から15に当たります.なので,例えばhexadecimal systemではAB.Cもひとつの数を表しています.これをdecimal systemで表すと次のようになります.

$AB.C_{16}=10×16^1+11×16^0+12×16^{-1}=160+11+\frac{12}{16}=171.75$

ABとCの間の点はhexadecimal point(16進小数点),171と75の間の点はdecimal point,そしてこれらは両方ともradix pointということになります.

もともとラテン語であるradixは,根とか根源という意味があり,英語ではrootに相当します.数学でradixは(記数法・対数などの)基数(または底)という意味で使われています.例えば,10進記数法のradixは10で,2進記数法のradixは2,常用対数$\log_{10}x$のradixは10となります.

因みに,平方根を表すradical symbol(根号√)は,radixの頭文字の r を変形したものであるといわれています.上に横棒を引くのはデカルトが始めたそうです. 

[Radix Point 問題]
Fill the blanks.

解答はこちら

Mar 16, 2018

Fractional Part

Fractionは分数という意味なので,fractional partは分数部分ということになるはずですが,これはdecimal partとまったく同じ意味に使われていて,分数部分と訳されることは少なく,小数部分または端数部分と訳されています.もともとfractionは端数や破片という意味もあるので,端数部分というならまだ頷けますが,小数部分と訳されることが多く,少し違和感があります.でもこれはひとつの意訳と理解すればいいかも知れません.英語のサイトで検索すると,"decimal part"よりも"fractional part"のほうがより多く現れます.ただし後者は別の意味(図形の一部など)でも登場します.

正の数xのinteger part / whole part(整数部分)はガウス記号を使って$[x]$(xを超えない最大の整数),fractional partは$x-[x]$と定義されています.xのfractional partは{x}と表すこともありますから,その表記を使うと$x=[x]+\{ x \}$,すなわちx=(integer part)+(fractional part)になります.

例えば,2.236のinteger partは2,fractional partは0.236となり,$\sqrt{5}$のinteger partは2,fractional partは$\sqrt{5}-2$になります.記号で表すと,$[2.236]=2$,$\{ 2.236 \}=0.236$,$[\sqrt{5}]=2$,$\{ \sqrt{5} \}=\sqrt{5}-2$となります.

さて,xが負の数の場合,integer partとfractional partの定義は3つもあります.いずれもx=(integer part)+(fractional part)になります.

Definition A. 正の数と同じ定義で,日本ではほとんどこの定義が採用されています.ガウス記号$[x]$と同じ意味のfloor function(床関数)$\lfloor x \rfloor$を使うと,integer partが$\lfloor x \rfloor$,fractional partが$x-\lfloor x \rfloor$と表されます.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor -1.8 \rfloor=-2$,fractional partは$-1.8-\lfloor -1.8 \rfloor=-1.8-(-2)=0.2$になります.
Fractional Part Function by Def. A 


Definition B. Integer partを$\lfloor |x| \rfloor$,fractional partを$|x|-\lfloor |x| \rfloor$,すなわち絶対値で正の数にしてから定義Aと同様にします.正の数はその絶対値が等しいので,正の数もまとめてこの式で表すことができます.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor |-1.8| \rfloor=1$,fractional partは$|-1.8|-\lfloor |-1.8| \rfloor=1.8-1=0.8$になります.
Fractional Part Function by Def. B

Definition C. 負の数のinteger partをceiling function(天井関数)$\lceil x \rceil$(x以上の最小の整数)で定義し,fractional partは$x-\lceil x \rceil$と定義します.正の数もまとめて1つの式にすれば,$\mbox{sgn}(x)・\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$(ただし$\mbox{sgn}(x)$はxの符号)となります.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lceil -1.8 \rceil=-1$,fractional partは$-1.8-\lceil -1.8 \rceil=-1.8-(-1)=-0.8$になります.

Fractional Part Function by Def. C

以上まとめると,fractional partの3種類の定義は次のようになります($\lfloor \ \ \rfloor$を$[ \ \ ]$と表しても同じです).
  Definition A $x-\lfloor x \rfloor$
  Definition B $|x|-\lfloor |x| \rfloor$
  Definition C $\mbox{sgn}(x)・\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$

複数の定義があることについて,数式処理システムMathematicaを使用しているWolframMathWorldのFractional Partについてのページでは,"there is no universal agreement"と書かれていて,私がよく利用するWolframAlphaGeogeblaでは定義Cを採用しています.

[Fractional Part 問題]
Let x be a positive number such that
$x^2+\{ x \}^2=27$        ({x} : the fractional part of x)
Find x.
(by BRILLIANT.org)

解答はこちら

[Reference]
Fractional Part
http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html
Fractional Part Function
https://wiki.geogebra.org/en/FractionalPart_Function
Fractional part
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_part
Fractional Part Function
https://brilliant.org/wiki/factional-part-function/

Feb 7, 2018

Inside Function and Outside Function

Inside out は裏返しという意味で,inside and outside は裏表とか内外という意味ですが,数学では inside function(内部関数)と outside function(外部関数)はcomposite function(合成関数)を構成する内側と外側の関数のことをいいます.

すなわち,composite function $$f(g(x)) = (f◦g)(x)$$の,g(x)を inside function,f(x)を outside function といいます.これらの用語は日本の数学書ではあまり見られませんね.

英語の数学書ででこれらの用語がよく使われるのは,合成関数の微分の公式,すなわち次の chain rule(連鎖律)の説明のところです.$$\{f(g(x))\}'= (f◦g)'(x)=f'(u)\cdot u'=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
IB Mathematics Standard Level (Oxford IB Diploma Programme 2012)

これらの用語はプログラミング用語としても使われていて,英語で検索すると数学用語とプログラミング用語の両方で登場しますが,日本語で検索するとほとんどがプログラミング用語として出てきます.つまり数学用語としてはあまり使われていません.

プログラミングではいくつかの処理をまとめたものを関数といいます.例えば,比較的分かりやすいプログラミング言語の Python では,次のように使われます.
def outside():
    msg = "Outside!"
    def inside():
        msg = "Inside!"
        print(msg)
    inside()
    print(msg)
outside()
すなわち,nested structure(入れ子構造)の内側,外側の関数を意味します.このプログラムを execute(実行)してみると,次の結果を得ます.
Inside!
Outside!
これらの用語を見たとき,すぐに思い浮かんだのが1980年のこの曲でした.
"Upside Down" (Diana Ross)
  Upside down
  Boy, you turn me
  Inside out
  And round and round
  上下さかさまよ
  あなたがそうさせるの
  もう裏の裏までよ
  ぐるぐると
(訳:洋楽和訳(lyrics)めったPOPS)
あなたのせいで,私の心はさかさまになって裏返しになってぐるぐる回って大変なのよ! てな感じですかね(笑).

[Inside Function and Outside Function 問題]

Given that $g(h(x))=2x^2+3x$ and $h(g(x))=x^2+2x-2$ for all real x, which of the following could be the value of g(-2)?
(a) 1     (b) -1     (c) 2     (d) -2
(by CAT MATHEMATICS)

解答はこちら

[Reference]

IB Mathematics Standard Level
by Paul La Rondie,‎ Ed Kem,‎ Laurie Buchanan,‎ Jim Fensom,‎ Jill Stevens (Oxford IB Diploma Programme 2012)

THE CHAIN RULE
https://www.shmoop.com/computing-derivatives/chain-rule.html

数学チュートリアルやさしく語る微分積分
西岡康夫著

A Quick Guide To Nonlocal In Python 3
https://www.smallsurething.com/a-quick-guide-to-nonlocal-in-python-3/

洋楽和訳(lyrics)めったPOPS Upside Down (Diana Ross) 1980
http://mettapops.blog.fc2.com/blog-entry-977.html?sp

CAT MATHEMATICS
by ABHIJIT GUHA (PHI Learning 2014)
 

Jan 24, 2018

Plan and Elevation

https://study.com/
この2つの用語 Plan and Elevation が出てくる話はなんでしょうかと聞かれたら,まず「計画」と「標高/高度」が思い浮かぶので,登山か飛行の話かなと思ってしまいますが,これは日本の中1数学の教科書でいう投影図の中の平面図と立面図に当たります.

a) Plan
真上または真下から見た図.建築物のfloor plan といえば間取図という意味になります.

b) Elevation
立面図と側面図を合わせて縦面の図.見る方向によって front elevation, side elevation などと呼ばれ,建築物の外観を表すのによく使われています.

Graphical projection(投影図)は立体を平面上に描いた図の総称なので,他にもいろいろあります.

oblique projection (WikipediA)
Haese Mathematics 社の "MATHEMATICS FOR YEAR 8 (Fifth Edition)"では,次の2つが紹介されています.

c) oblique projection(斜投影図)の代表的なものでcabinet projection(キャビネット投影法)
=正面は長さの比を変えず、奥行きだけ2分の1にして,座標軸を45°の傾きで描く.

d) isometric projection(等角投影図/等軸測投影図/等測投影法)
isometric projection (WikipediA)
=すべて長さの比を変えず,座標軸を30°の傾きで描く.

以上4つは座標軸に平行に描くので,parallel projection(平行投影図)の一種になります.

さらに,座標軸にparallelにならないものがあります.

e) perspective projection(透視投影図)
この中には遠近法による 1 point perspective(一点透視),2 point perspective(二点透視),3 point perspective(三点透視)などがあります.Sketch(見取図)を実物と見た目をできるだけ同じように書くなら,3 point perspective が最も適しているといえます.

http://art-design-glossary.musabi.ac.jp

[Plan and Elevation 問題]

SPM Mathematics
The diagram shows a solid consisting of a right prism and a half-cylinder which are joined at the plane HICB. The base ABCDEF is on a horizontal plane. The rectangle LKJG is aninclined plane. The vertical plane JDEK is the uniform cross-section of the prism. AB = CD = 2cm. BC = 4cm. CM = 12cm.
Draw to full scale
(a) The plan of the solid
(b) The elevation of the solid on a vertical plane parallel to ABCD as viewed from X.
(c) The elevation of the solid on a vertical plane parallel to DE as viewed from Y.
(by SPM Mathematics)

解答はこちら

[Reference]

Net, Plan & Elevation of 3D Shapes
https://study.com/academy/lesson/net-plan-elevation-of-3d-shapes-lesson-for-kids.html

Graphical projection
https://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection

Perspective Projection
http://art-design-glossary.musabi.ac.jp/perspective-projection/

Plan and Elevation, Long Question
http://spmmathematics.blog.onlinetuition.com.my/2015/11/plan-and-elevation-long-question_9.html

Jan 18, 2018

Lagrange's Notation, Leibniz's Notation

日本の高校数学の教科書では,Notation for Differentiation(微分の記法)について「関数$y=f(x)$の導関数を$f'(x)$で表し,$y'$や$\frac{dy}{dx}$などで表すこともある」と紹介されていますが,それぞれの記法を使い始めた人の名前まではあまり紹介されていません.

Lagrange's Notation (prime notation)$$y'=f'(x),\ y''=f''(x),\ y^{(4)}=f^{(4)}(x),\ y^{(n)}=f^{(n)}(x)$$$$f_x(x,y), \ f_{xx}(x,y), \ f_{xy}(x,y)$$日本では$y'$をワイダッシュ,$f'(x)$をエフダッシュエクスと読むことが多いですが,英語では"y prime","f prime of x"と読むのでprime notationともいいます.2行目は偏微分の記法で,こちらはsubscript(添え字)を使うのでsubscript notationのひとつになります.

Leibniz's Notation (differential notation)$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x), \quad \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}$$$$\frac{\partial f}{\partial x}, \ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$$$\frac{dy}{dx}$は"the derivative of y with respect to x"と読みますが,短く言う場合は,分数のように"dy over dx"とは読まず,"dy by dx"とか,単に"dy dx"と読みます.分数ではないのですが,置換積分のときに,$\frac{dx}{dt}=g'(t)$を形式的に$dx=g'(t)dt$として分数のように扱うことで式変形が容易になっています.偏微分の$\frac{\partial f}{\partial x}$は,"the partial derivative of f with respect to x"とか"the partial derivative of f in the x direction"と言いますが,こちらも"del f del x"とか"day f day x"などと短く言うことがあります.

IB Mathematics Standard Level (Oxford University Press)
 
以上はよく使われる記法ですが,他にも次のような記法があります.

Euler's Notation (D notation or operator notation)$$Dy=Df, \ D^2y=D^2f$$$$\ D_xf, \ D_{xx}f, \ D_{xy}f$$この表記は多変数の関数でよく使われます.例えば$D_xf$は"D sub x of f"と読みます.

Newton's Notation (Dot Notation)$$\dot{y}, \ \ddot{y}$$この表記はkinematics(運動学)でよく使われ,時刻tにおける位置をyとするとき,velocity(速度)を$\dot{y}$,acceleration(加速度)を$\ddot{y}$で表します.

[Lagrange's Notation, Leibniz's Notation 問題]

Let x be the number of thousands of units of an item produced. The revenue for
selling x units is $r(x) = 4 \sqrt x$ and the cost of producing x units is $c(x) = 2x^2$
a) The profit $p(x)=r(x)-c(x)$. Write an expression for $p(x)$.
b) Find $\frac{dp}{dx}$ and $\frac{d^2p}{dx^2}$.
c) Hence find the number of units that should be produced in order to maximize
the profit.
(IB Mathematics Standard Level (Oxford University Press) exercise 7Y 5)

解答はこちら

[Reference]

IB Mathematics Standard Level (Oxford IB Diploma Programme 2012)
by Paul La Rondie,‎ Ed Kem,‎ Laurie Buchanan,‎ Jim Fensom,‎ Jill Stevens

Notation for differentiation
https://en.wikipedia.org/wiki/Notation_for_differentiation

The Notation of Differentiation
http://web.mit.edu/wwmath/calculus/differentiation/notation.html


https://en.wikipedia.org/wiki/%E2%88%82

How do you pronounce (partial) derivatives?
https://math.stackexchange.com/questions/120504/how-do-you-pronounce-partial-derivatives

Jan 1, 2018

Wrapping Function

歌い方のひとつを意味する"rap"という単語と同じ発音ですが,wのついた方の"wrap"は「包む」という意味です.ではwrapping functionとは何を包む関数なのでしょうか.

Wrapping functionは,直線x=1上のすべての実数$t\in\mathbb{R}$が,
①Unit Square(単位正方形=原点(0, 0)を左下の頂点とする1辺の長さ1の正方形)
②Unit circle(単位円=原点(0, 0)を中心とする半径1の円)
を包みます.

① Wrapping Function of unit square

$W : \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : t\mapsto (c, s) : W(t)=(c, s)$
ここで,W(t)=(c, s)は,点(1, 0)と(1, t)を結ぶ線分が(1, 0)を基点にして反時計回りにunit square(単位正方形)を包んだ先端の座標になります(t<0の場合は時計回り).

例えば,t=3のときは,(1, 0)と(1, 3)を結ぶ線分が(1, 0)を基点にして反時計回りに単位正方形を包むと,先端は(0, 0)に達するのでW(3)=(0, 0)になります.他の具体例をいくつかあげましょう.
W(1)=(1, 1)
W(1.5)=(0.5, 1)
W(2)=(0, 1)
W(4.2)=(1, 0.2)
W(-4.2)=(0.8, 0)
この場合,0≦t<4または-4<t≦0で1周を包むことができ,4≦|t|なら重なって2重,3重…と包むことになります.

② Wrapping Function of unit circle

$W : \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 : t\mapsto (\cos{t}, \sin{t}) : W(t)=(\cos{t}, \sin{t})$
つまり,W(t)=(cost, sint)は,点(1, 0)と(1, t)を結ぶ線分が(1, 0)を基点にして反時計回りにunit circle(単位円)を包んだ先端の座標になります(t<0の場合は時計回り).


例えば,t=3のときは,(1, 0)と(1, 3)を結ぶ線分が(1, 0)を基点にして反時計回りに単位円を包むと,先端は(cos3, sin3)に達するのでW(3)=(cos3, sin3)=(-0.98999, 0.14412)になります.他の具体例をいくつかあげましょう.
W(π/6)=(cos(π/6), sin(π/6))=(√3/2, 1/2)
W(π/4)=(cos(π/4), sin(π/4))=(√2/2, √2/2)
W(π/2)=(0, 1)
W(π)=(-1, 0)
W(-π/2)=(0, -1)
この場合,0≦t<2πまたは-2π<t≦0で1周を包むことができ,2π≦|t|なら重なって2重,3重…と包むことになります.包んでいる様子がわかるものをGeogebraのサイトで見つけたので確認してみてください.

[Wrapping Function 問題]

Q 43. Consider a special type of function called a wrapping function. This function, denoted by W, wraps a vertical number line whose origin is at R(1, 0) around a unit square, as shown at the right. With each real number t on the vertical number line, W associates a point P(x, y) on the square. For example, W(1)=(1,1) and W(-1) = (0,0). From W we can define two simpler functions:
      c(t)=x-coordinate of P,
and s(t)=y-coordinate of P.
a. Find W(2), W(3), W(4), and W(5).
b. Explain why W is a periodic function and give its fundamental period.
c. Explain how the periodicity of W guarantees the periodicity of c and s.
d. Sketch the graphs of u=c(t) and u=s(t) in separate tu-planes.

Q 44. (Writing) Suppose the unit square in Exercise 43 is replaced with the unit circle. Write a paragraph in which you describe how the wrapping function can
now be used to define the circular functions sine and cosine.

解答はこちら

[Reference]

Pearson Baccalaureate: Standard Level Mathematics for the IB Diploma
Ibrahim Wazir (Author),‎ Tim Garry (Author) : Pearson Education (22 Sept. 2008)

Essential Mathematics for Games and Interactive Applications, Third Edition
James M. Van Verth, Lars M. Bishop : A K Peters/CRC Press (2015/9/15)

The Wrapping Function
http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch05/others/bpc5_ch05-01.pdf

Transformations in two dimensions
http://orca.st.usm.edu/~jchen/courses/graphics/resources/book/chapter10transform2.pdf

The Sine and Cosine Function
http://bn002.weebly.com/uploads/5/8/3/3/58339589/trig_7.3.pdf

Nov 30, 2017

Sign Chart or Sign Diagram

いろいろな意味のある sign ですが,数学では+または-の符号を意味します.すると sign chart は±を示す符号図ということになります.

例えば象限によって異なる三角比の符号を表す図も sign chart といいますが,微分して増減を調べるときも右のような sign chart (or sign diagram) が使われます.

関数 y=f(x) のグラフを書くには,まず first derivative(一次導関数)f'(x)を求め,f'(x)=0 となる点,すなわち stationary point(停留点)(critical point = 臨界点ともいいます)を求め,次に sign chart を書き,first derivative test(一階微分判定法)をするという手順になります.
[First derivative test]
Suppose f(x) is continuous at a stationary point $x_0$.
1. If f'(x)>0 on an open interval extending left from $x_0$ and f'(x)<0 on an open interval extending right from $x_0$, then f(x) has a local maximum (possibly a global maximum) at $x_0$.
2. If f'(x)<0 on an open interval extending left from $x_0$ and f'(x)>0 on an open interval extending right from $x_0$, then f(x) has a local minimum (possibly a global minimum) at $x_0$.
3. If f'(x) has the same sign on an open interval extending left from $x_0$ and on an open interval extending right from $x_0$, then f(x) has an inflection point at $x_0$.
(WolframMathWorld)
つまり,stationary point で,f'(x)の sign が+から-に変われば極大値,-から+に変われば極小値,変わらなければ変曲点であると判定します.英語の本には増減表に当たる用語は見つからず,強いて言えば derivative sign chart がこれに当たり,最後に極値または変曲点のy座標を求めて,グラフを描くということになります.

少し複雑な関数になると,second derivative test(二階微分判定法)で,曲線の凹凸も判定します.日本語との大きな違いは,上に凸とか下に凸ではなく,concave downward(下に凹),concave upward(上に凹)という言い方をすることです.これをconcavity といいます.上にへこんでいるとか下にへこんでいるとか言うのはちょっと変な感じがしますね.

同じ意味ですが,微分を意識せずにparabola(放物線)を考える場合は, 下に凸を opens upward,上に凸を opens downward という言い方をすることが多いです.上に開いているとか下に開いているということになりますが,この言い方の方がまだ違和感が少ないように思います.

Nov 2, 2017

Asymmetry & Antisymmetry

対称という意味の symmetry に,a とか anti とかつけばどう意味になるでしょうか.

Asymmetry の日本語訳は非対称.読み方は æsímətri or eisímətri の2通りあります.カタカナでなるべく実際の発音に似せるとアシリまたはエイシリとなります.

Antisymmetry の方の日本語訳は反対称,これも読み方が ænti-símətri or æntɑɪ-símətri と2通りあり,前者は英国でアンチシリ,米国でアリ,後者はアンタイシリになります(同僚の米国人に教わりました).

では asymmetry と antisymmetry の意味の違いは何でしょうか.どっちも対称でないのですから,同じやん(大阪弁),同じじゃが(岡山弁)といいたくなりますね(笑).しかし,数学では明確な違いがあります.

[Binary relation(二項関係)における symmetric relation(対称関係), asymmetric relation(非対称関係)and antisymmetric relation(反対称関係)]

Binary relation の最も簡単な例は2つの数の関係です.aからbへRという関係があるとき,aRbと表します.例えば3>2などの関係です.

■「aからbへの関係が成り立つならば,bからaへの関係も成り立つ」という場合,symmetric relation といいます.すなわち,$$\ aRb\;\Rightarrow bRa$$例えばRが=という関係のとき,a=bならばb=aも成立するので symmetric relation になります.

■「aからbへの関係が成り立つならば,bからaへの関係が成り立たない」という場合,asymmetric relation といいます.すなわち,$$\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$$例えばRが>という関係のとき,a>bならばb>aは成立しないので asymmetric relation になります.

■「aからbへの関係が成り立ち,かつbからaへの関係も成り立つならば,a=bが成り立つ」という場合,antisymmetric relation といいます.すなわち,$$\ aRb\land bRa\ \Rightarrow a=b$$例えばRが≧という関係のとき,a≧bかつb≧aならばa=bが成立するので antisymmetric relation になります.また,集合の包含関係でも次式が成り立つので,antisymmetric relation といえます.
$A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B$

[関数/整式/行列などの asymmetry(非対称性)と antisymmetry(反対称性)]

■Symmetry なグラフといえば正規分布ですが,その峰が左右にずれた場合,asymmetry な曲線になります.分布の非対称性を示す指標を skewness(歪度=わいど )といい,峰が右にずれて左が低い場合(J型)の歪度は負,左右対称であれば歪度は0,峰が左にずれて右が低い場合(L型)の歪度は正になります.

■Antisymmetry は,「ある変換をした結果が逆の符号になるもの」をいいます.

例えば関数y=f(x)で,f(-x)=f(x)となる偶関数は symmetry,f(-x)=-f(x) になる奇関数は antisymmetry になります.しかし奇関数は rotational symmetry with respect to the origin(原点対称)なので広義では symmetry ともいえます.

また整式 f(x,y) で,xとyを入れ替えても変わらない対称式,例えば x+y は symmetry であり,xとyを入れ替えると符号が変わる交代式,例えば x-y は antisymmetry になります.

さらに行列でも,行列$A$に対してその transpose(転置行列)$A^T$が等しいときは symmetry,符号が逆になるものは antisymmetry になります.因みに行列式も,行か列を入れ替えると次のように符号が変わるので antisymmetry になります.
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$,   $\begin{vmatrix} c & d \\ a & b \end{vmatrix} = bc - ad$

[Reference]
Binary relation
https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation
反対称性
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7
Symmetry in mathematics
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_in_mathematics

Oct 6, 2017

Power Rule

一般に rule といえば規則や決まりという意味に使われますが,数学では場合によって公式,法則,定理などと訳されています.

[examples of rule]
■change of base rule 底の変換公式(change of base formula の方がよく使われますがこの表現もよく使われます),quotient rule 商の微分公式や chain rule 合成関数の微分公式などの derivative rules 導関数の公式,substitution rule 置換積分の公式などの integration rules 積分の公式
■exponent rules / exponential rules 指数法則,log rules / logarithm rules 日本の教科書では「対数の性質」
■sine rule & cosine rule 正弦定理と余弦定理

一般に力という意味の power は,数学では冪(べき=累乗)の意味があります.従って,power rule といえば,冪公式とか冪法則などと訳せそうですが,数学でこの日本語訳は見たことがありません(統計学で冪乗則,精神物理学で冪法則と訳される異なる意味の power law という用語があります).

前置きが長くなりましたが,指数,対数,微分,積分にそれぞれ power rule があります.つまり,次の公式はすべて power rule と呼ばれています.$$(a^m)^n=a^{mn}$$$$\log_{a} M^k=k\log_{a}M$$$$\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}$$$$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C$$特に最初の指数の公式(指数法則のひとつ)は,power of power rule とか power to power rule とも呼ばれています.

冪の形の英語の読み方は少し難しくて,次のような言い方をします.
$2^2$: two squared
$2^3$: two cubed
$2^4$: two to the power of four / two to the fourth power / two to the fourth / two to the four

余談ですが,1985年の Janet Jackson と Cliff Richard のデュエットで "Two to the Power of Love" という曲がありました.数学的に訳せば「2の愛乗」となりますが,「ふたりのラブソング」という邦題がついていました(笑).

[Reference]
❤︎² Derivatives... How? (mathbff)
https://www.youtube.com/watch?v=hCLfogkqzEk&t=252s
How to read exponential expressions, e.g., “2^16”?
https://english.stackexchange.com/questions/74169/how-to-read-exponential-expressions-e-g-216

Sep 28, 2017

LHS and RHS

この図は英語の教科書の一部ですが,これを見ればLHS & RHSの意味が分かるのではないでしょうか.二次方程式を平方完成を用いて解いています.問題文の solve for exact values は,approximation(近似値)ではない正確な値,すなわちルートやπを使った値を要求しています.

解答の右側の{ }の1行目は「定数を右辺へ移項する」,2行目は「平方完成する」,3行目は「左辺を因数分解する(factoriseはUK式表現)」という意味なので,LHSは左辺,RHSは右辺を意味していると分かります.これらはleft-hand side,right-hand sideを省略した表現になっています.因みに横の吹き出しは「両辺に加える平方数はxの係数の半分の2乗」だと言っています.

長い用語を頭文字だけで表すabbreviation(略語)はよく目にします.新たにひとつの単語のように読むものをacronym(頭字語)といいますが(FOIL Methodで登場),アルファベットだけをそのまま読む場合はinitialismといいます.LHS & RHSはinitialismになります.他にも数学に関連するものを少し見てみましょう.

SSS, SAS, ASA, RHA, RHS, HL(Hypotenuse Leg Theorem, Donkey Theorem で登場)ここにもRHSがありましたね.こちらは right angle hypotenuse side の省略で,三角形の合同条件「直角三角形の斜辺と他の1辺が等しい」という意味になります.

SOHCAHTOA(SOHCAHTOAで登場した三角比の覚え方),他によく知られたもので,GCD(greatest common divisor=最大公約数),LCM(least common multiple=最小公倍数),QED(quod erat demonstrandum=証明終り),SD(standard deviation=標準偏差)などいろいろ思い浮かびますね.SDは,一般にはSDカード(secure digital memory card)が有名ですが,日本語をinitialismにしてしまうタレントのDAIGOさんによると,「外に出る」だそうです(笑).

他に対になっているものとしては,ODE (ordinary differential equation=常微分方程式) & PDE (partial differential equation=偏微分方程式) ,FTA (Fundamental Theorem of Algebra=代数学の基本定理) & FTC (Fundamental Theorem of Calculus=微分積分学の基本定理)などがあります.

Abbreviations.comというサイトには多数の略語が紹介されています.数学だけでも3000を超えています.そこには,LHSは一つだけだったのに対し,RHSは3つありました.あともう1つは rectangular hollow section(長方形中空断面)でした.このサイトでたまたまWME=Women and Mathematics Educationというのを見つけたので,何だろうと思って調べてみたら,こういう名称の団体であることが分かりました.

[Reference]
The difference between an acronym and an initialism
http://www.todayifoundout.com/index.php/2012/05/the-difference-between-an-acronym-and-an-initialism/
Abbreviations.com
http://www.abbreviations.com/

Sep 11, 2017

Antilogarithm

Anti-aging(アンチエイジング)といえば老化防止,抗加齢という意味ですね.Anti-warならば反戦というように,antiは主に「抵抗」とか「反対」という意味があります.

1でない正の数aを底とするMの対数 logaM における正の数Mを真数といい,英語ではこれをantilogarithmまたはantilogといって,対数関数の逆関数という意味も持っています.Common logarithm(常用対数)は,Log base 10 とか Briggs' logarithmともいいいますが,この log10M を logM と表すとき,
If logM=x, then M is called the antilogarithm of x and is written as M=antilogx. For example, if log39.2=1.5933, then antilog1.5933=39.2 (math-only-math.com)
The number of which a given number is the logarithm (to a given base). If x is the logarithm of y, then y is the antilogarithm of x.‎(Wiktionary英語版)
The inverse function of the logarithm, defined such that logb(antilogbz)=z=antilogb(logbz). The antilogarithm in base b of z is therefore b^z. (WolframMathWorld)
というわけで,指数関数も対数関数の逆関数ですから,底が10のとき,以下の3つの式は全て同じ意味になります.$$10^3=1000$$$$\mbox{antilog} \ 3=1000$$$$\log1000=3$$電卓がないときはcommon log table(常用対数表)を使いますが,antilog table(真数表)もあります.下の表から$10^{0.5678}=3.697$が得られます.因みに電卓を使うと,$10^{0.5678}=3.696579068$まで求められますが,WolframAlphaを使うと,希望すれば小数以下のかなり先まで表示してくれます.

余談ですが,三角比の表も円関数の真数表と呼んでいました.国立国会図書館デジタルコレクションの「對數表及眞數表」には,「常用對數表」の次に「圓函數ノ眞數表(三角比の表)」があり,その次には球面三角法で使われる「圓函數ノ對數表」すなわち10+log10(sinx°)の値の表(例えば10+log10(sin1°)=8.24186)が掲載されています.

因みに,似た用語で antiderivative(原始関数)がありますが,primitive function,primitive integral,indefinite integralとも呼ばれています.

[Reference]
Antilogarithm
http://www.math-only-math.com/antilogarithm.html
How to Use Log Tables
http://abitofauldmaths.org/2013/08/how-to-use-log-tables/
国立国会図書館デジタルコレクション 對數表及眞數表
http://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/826552
江戸の数学 > 第1部 和算の歴史 > 第5章 西洋数学の導入 > コラム 三角関数表 > 対数表
http://www.ndl.go.jp/math/s1/c8_3.html