Nov 4, 2018

Straightedge and Compass Construction

これらの単語を調べたら,次のような意味があることが分かります.
    straightedge=幻覚剤・酒・たばこなどに手を出さない生き方
    compass=羅針盤,方位磁針
    construction=建設,建築,構文,構造

https://genuineideas.com/
しかし,straightedge は直定規(直定木),compass はコンパス(円を描く道具,あえて日本語にするなら円規,両脚器,ぶん回しともいいます),construction は作図という意味もあり,straightedge and compass construction は,直定規とコンパスだけを使う作図という意味になります.

他にruler-and-compass construction,classical construction,geometric construction,Euclidean constructions という言い方があります.「作図」を直訳して figure construction という場合もありますが,こちらは人物画を描くという意味の方によく使われているようです.

普通に図を描くことも広い意味で作図といえますが,一般に数学における作図といえば,straightedge and compass construction のことを指していて,"Euclid's Elements(ユークリッドの原論)" に初めて登場したので,Euclidean constructions ともいうわけです.定規といえば ruler を思い浮かべますが,straightedge(直定規)という用語がよく使われています.

この straightedge and compass construction は,日本ではまず中1で直線外の点を通る垂線,線分の垂直2等分線,角の2等分線,中3では平方根で表される長さ,高校数学Aで等分点などを作図する方法として登場しています.

正n角形の作図可能性

Equilateral triangle(正3角形),square(正4角形)とそれから派生する regular hexagon(正6角形),regular octagon(正8角形)が constructible(作図可能)であることはギリシャ時代から知られています(以下 regular を省略します).Pentagon(正5角形)もギリシャ時代に constructible であることがわかっていましたが,残念ながら,あのアルキメデスでさえも正7角形,正9角形の作図には成功しなかったようです.

1796年3月30日の朝,19才のガウスが目覚めたとき,heptadecagon(正17角形)の作図法がひらめいたそうです.そしてその後ガウスは次のことを証明しています.

定理
四則演算とべき乗根を用いて表される数は作図可能である.

定理
代数方程式 zn−1=0 が四則演算とべき乗根だけで解けたら、正n角形が作図可能である.

ということから,

定理
nの値が2のべき乗(2αで表される数)であるか,フェルマー素数すなわち「22m+1で表される素数」であるか,またはこれらの2種類の数の積であるとき,すなわち,
n=2α・p1 ・p2 ・・・・・・pk (ただしpmはフェルマー素数)
のときに、正n角形は作図可能である.

α=0かつm=0のときn=3となり正3角形,α=2で2のべき乗だけのときn=4となり正4角形、α=0かつm=1のときn=5となり正5角形,α=1かつm=1のときn=6となって正6角形が作図可能ですが,7や9はこの形で表せないので作図不可能です.そして,α=0かつm=2のときが正17角形になります.さらに,257-gon(正257角形,m=3)の作図法が1832年に,65537-gon(正65537角形,m=4)の作図法が1900年ごろに発見されました.正n角形は代数方程式 zn−1=0 を解けばいいのですが,nの値が大きくなるにつれてどんどん複雑になっていきます.

[Question]
1) Construct a equilateral triangle.
2) Construct a regular pentagon.
(解答はこちら)

[Reference]
「数学入門(上)」遠山啓著 岩波新書

Sep 24, 2018

Direct Variation

正比例のことをdirect proportionalityといい,yがxに正比例することを
    y is directly proportional to x
といいます.正比例することを「比例する」ともいいますが,英語でもdirectなしで,proportionalityとか,proportionalとかいいます.すなわち,yがxに比例するというのに,
    y is proportional to x
でもいいわけです.そして,どちらもy=kx(kは比例定数)という関係式になり,時にはy∝xとも表されます.

https://www.openalgebra.com/2012/11/variation.html
Variationは変動,変分,振幅などの意味があり,direct variationを直訳すると「直接変動」となりそうですが,実はdirect proportionality,つまり正比例という意味で使われています.なので,yがxに正比例するということを,
    y varies directly with x
または
    y varies directly as x
とも表現されます.

https://www.onlinemathlearning.com/joint-variation.html
同様に,反比例はinverse proportionalityまたはinverse variationといいます.yがxに反比例することは,
    y is inversely proportional to x
    y varies inversely with x
    y varies inversely as x
などと表され,関係式はy=k/xとなります.

因みに,joint variation, combined variationという用語もあり,joint variationは2変数以上の積に比例し,その関係式は2変数の場合y=kxzになります.また,combined variationは2変数以上の積や商に比例し,その式は例えばy=kz/xなどとなります.

[Direct Variation 問題]
The area of an ellipse varies jointly as a and b, that is, half the major and minor axes.  If the area of an ellipse is 300 pi square units when a = 10 and b = 30 units then what is the constant of proportionality? Give a formula for the area of an ellipse.

解答はこちら

[Reference]
Variation
https://www.openalgebra.com/2012/11/variation.html
Joint and Combined Variation Word Problems
https://www.onlinemathlearning.com/joint-variation.html

Jul 17, 2018

Positive Definite


正定値と訳される positive definite(負定値は negative definite)は,一般には symmetric matrix (対称行列=行と列を交換しても等しい行列)に対して使われる用語ですが,IBDP(国際バカロレア Diploma Program)Math の教科書には,「こんな2次関数を positive definite という」と書かれてあります.
Positive definite quadratics are quadratics which are positive for all values of $x$. So, $ax^2+bx+c>0$ for all $x$∈$\mathbb{ R }$ .
Test: A quadratic is positive definite if and only if $a$>0 and Δ<0.   (Haese SL P37)
Δはdiscriminant(判別式)です.つまり,常に正の値をとる2次関数を positive definite というわけですが,行列における positive definite の定義との関連を見てみましょう.

[行列の positive definite (正定値) の定義]
n×n対称行列$A$が、n個の成分を持つ零ベクトルでない任意の列ベクトル$\boldsymbol{ x }$に対して、$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }$($\boldsymbol{ x }^{T}$は$\boldsymbol{ x }$の転置行列)が常に正となるとき,行列$A$は positive definite であるといいます.

[2×2行列で言い換えると]
対称行列$A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$が,零ベクトルでない任意の列ベクトル$\boldsymbol{ x }=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$に対して、quadratic form(二次形式=2次の項だけの式)$$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }=(x \quad y)\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=ax^2+2bxy+cy^2$$が常に正となるとき,この行列A,またはこの二次形式を positive definite であるといいます.

[2次関数に当てはめると]
一般に2変数の2次関数(2次の項+1次の項+定数項)は2×2行列を用いて次の式で表せます.$$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }+\boldsymbol{ b }^{T}x+c
=(x \quad y)\begin{pmatrix} a_{1} & a_{12} \\ a_{12} & a_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+(b_{1} \quad b_{2})\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+c\\
=a_{1}x^2+2a_{12}xy+a_{2}y^2+b_{1}x+b_{2}y+c$$1変数の2次関数を1×1行列で表せば$$(x)(a)(x)+(b)(x)+c=ax^2+bx+c$$となり,$a>0$で$Δ<0$のとき,positive definite になります.

1変数の2次関数を2×2行列の式で表すこともできます.対称行列$A=\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix}$と,$x$の値が任意の列ベクトル$\boldsymbol{ x }=\begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$で、$$\boldsymbol{ x }^{T}A\boldsymbol{ x }=(x \quad 1)\begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}=ax^2+bx+c$$これが常に正となるとき,positive definite になります.

以上のことから,2次関数の positive definite は,対称行列の positive definite の特別な場合であることが分かります.

ここで,$A$の行列式$|A|=ac-\frac{b^2}{4}=-\frac{1}{4}(b^2-4ac)=-\frac{1}{4}Δ>0$なら$Δ<0$となり,その逆も成り立ちますから,$|A|>0$という条件は$ax^2+bx+c$がpositive definiteであるための必要十分条件になります.

因みに positive definite に似た意味で positive quadratic という用語もあります.
For a quadratic function $f(x)=ax^2+bx+c$:
If a>0, f(x) is a positive quadratic. The graph has a minimum point and goes up on both sides.
(Cambridge SL P2) 
If the leading coefficient, a, of the quadratic function $f(x)=ax^2+bx+c$ is positive, the parabola opens upward (concave up)
(Pearson SL P66)
つまり,$ax^2+bx+c$ の $a>0$(下に凸)の場合,この2次関数を positive といいます.

[Reference]

Mathematics for the International Student-IB Diploma: SL
Haese Mathematics

Mathematics for the IB Diploma Standard Level
Cambridge University Press

Pearson Baccalaureate: Standard Level Mathematics for the IB Diploma International Edition
Pearson Education Limited

Jun 10, 2018

Pronumeral

A MATHS DICTIONARY FOR KIDS
Pronoun は pro(代わり)と noun(名詞) の合成で代名詞という意味になります.同様に pronumeral は,pro(代わり)と numeral(数) の合成なので,直訳すると代数になりますが,実際は 「variable(変数)やconstant(定数)を表すのに使われる文字」という意味で使われています.

Wiktionary英語版で,数学用語としての variable の意味は次のようになっています.
(mathematics) A quantity that may assume any one of a set of values.
(mathematics) A symbol representing a variable.
このように文字で表わされた定数も variable というなら,variable と pronumeral は同じ意味になります.例えば$y=ax^2+bx+c$なら,$a, b, c$ も $x, y$ も pronumeral ということになります.

この用語 pronumeral がなぜ意外なのかというと,Australia以外でほとんど使われていないからです.Wiktionary英語版では pronumeral が以下のように紹介されています.
Usage notes
Standard in Australian compulsory education, but rarely used outside Australia.
同僚の理系の米国人はこの用語を知りませんでした.確かにAustraliaから出版されている複数のInternational Baccalaureate(IB=国際バカロレア)の教科書にはこの pronumeral が使われていました.

MATHEMATICS for year 8 (Haese Mathematics : Australia)

IB Diploma Program(IB資格を取得するための高2~高3対象プログラム)Mathの教科書は,Australiaの3社(Haese, IBID, Pearson)と英国の2社(Oxford, Cambridge)から出版されていますが,Australiaの教科書も世界中でかなり使われていますので,この用語 pronumeral も知っておいた方がいいでしょう.

[Pronumeral問題]

Find the following pronumeral in the diagrams below. (SOCRATIC)

Not to Scale

解答はこちら

[Reference]

A MATHS DICTIONARY FOR KIDS
http://www.amathsdictionaryforkids.com/qr/p/pronumeral.html

Wiktionary英語版 "variable" "pronumeral"

May 5, 2018

Directed Numbers

日本では,中学1年生の数学で初めて負の数(negative numbers)が登場します.教科書には「ーのついた数」とも書かれています.もちろん小学校まで使っていた0より大きい数も,あらためて正の数(positive numbers)と呼び,正の数と負の数をまとめて「正負の数」と呼んでいます.

英書ではこれらをdirected numbers(向きのある数)またはsigned numbers(符号のついた数)という場合があります.つまり,directed numbersもsigned numbersも意訳すれば「正負の数」ということになります.

Directed numbersを中国語では有向數といいますが,日本語で有向数という用語はあまり使われません.また,signed numbersを符号数と呼ばないのは,signature(符号数)という別の意味の数があるからです.

ところで,英書で負の数に( )をつけていないのを目にすることがあります.例えばよく
$-3+-4=-7$
negative 3 plus negative 4 equals negative 7
と書かれています.負の数に( )をつけるのが当たり前の日本では,少し違和感を感じますが,( )がないからといって間違いではありません.

さて,なぜa negative times a negative equals a positive(負の数×負の数=正の数)となるのでしょうか.私の好きなのは次のような説明です.東向きに時速4kmで歩いている人は,2時間後には8km東に居ます.西向きに時速4km(東向きに時速-4km)で歩いている人は,2時間前(-2時間後)には8km東に居ました.同じところに居るので,$$4\times 2=-4\times -2$$ということになります.

借金と借金を掛けて財産になるというのはおかしな話です.この歴史的な議論を,数学者遠山啓(1909-1979)が著書「数学入門」(1959)で詳しく紹介しています.彼はこの中で「がんらい金高と金高をかけても無意味なのである」と述べています.速度と時間の積は意味がありますが,借金と借金の積は意味がありません.私たちは意味があるから,必要だから計算するのであって,意味のない計算はしないのです.

[Reference]
「数学入門」 遠山啓著 (岩波新書)

Apr 20, 2018

Radix Point

実数のinteger part(整数部分)とfractional part(小数部分)を分ける点,すなわち小数点という意味の英語はdecimal pointだとばかり思っていましたが,この言い方はdecimal system(10進記数法)の場合だけの呼び方でした.確かにもともとdeciは,deciliterとかdecimeterのように10分の1という意味ですね.

例えば数字を0と1しか使わないbinary system(2進記数法)の場合のそれはbinary point(2進小数点)といいます.従って,正確にいうとdecimal pointは10進小数点ということになります.そして,これらn進小数点をまとめてradix point(基数点)といいます.


Hexadecimal system(16進記数法)の例も見てみましょう.Decimal systemでは10個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9を使いますが,hexadecimal systemでは16個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F を使います.AからFはdecimal systemでの10から15に当たります.なので,例えばhexadecimal systemではAB.Cもひとつの数を表しています.これをdecimal systemで表すと次のようになります.

$AB.C_{16}=10×16^1+11×16^0+12×16^{-1}=160+11+\frac{12}{16}=171.75$

ABとCの間の点はhexadecimal point(16進小数点),171と75の間の点はdecimal point,そしてこれらは両方ともradix pointということになります.

もともとラテン語であるradixは,根とか根源という意味があり,英語ではrootに相当します.数学でradixは(記数法・対数などの)基数(または底)という意味で使われています.例えば,10進記数法のradixは10で,2進記数法のradixは2,常用対数$\log_{10}x$のradixは10となります.

因みに,平方根を表すradical symbol(根号√)は,radixの頭文字の r を変形したものであるといわれています.上に横棒を引くのはデカルトが始めたそうです. 

[Radix Point 問題]
Fill the blanks.

解答はこちら

Mar 16, 2018

Fractional Part

Fractionは分数という意味なので,fractional partは分数部分ということになるはずですが,これはdecimal partとまったく同じ意味に使われていて,分数部分と訳されることは少なく,小数部分または端数部分と訳されています.もともとfractionは端数や破片という意味もあるので,端数部分というならまだ頷けますが,小数部分と訳されることが多く,少し違和感があります.でもこれはひとつの意訳と理解すればいいかも知れません.英語のサイトで検索すると,"decimal part"よりも"fractional part"のほうがより多く現れます.ただし後者は別の意味(図形の一部など)でも登場します.

正の数xのinteger part / whole part(整数部分)はガウス記号を使って$[x]$(xを超えない最大の整数),fractional partは$x-[x]$と定義されています.xのfractional partは{x}と表すこともありますから,その表記を使うと$x=[x]+\{ x \}$,すなわちx=(integer part)+(fractional part)になります.

例えば,2.236のinteger partは2,fractional partは0.236となり,$\sqrt{5}$のinteger partは2,fractional partは$\sqrt{5}-2$になります.記号で表すと,$[2.236]=2$,$\{ 2.236 \}=0.236$,$[\sqrt{5}]=2$,$\{ \sqrt{5} \}=\sqrt{5}-2$となります.

さて,xが負の数の場合,integer partとfractional partの定義は3つもあります.いずれもx=(integer part)+(fractional part)になります.

Definition A. 正の数と同じ定義で,日本ではほとんどこの定義が採用されています.ガウス記号$[x]$と同じ意味のfloor function(床関数)$\lfloor x \rfloor$を使うと,integer partが$\lfloor x \rfloor$,fractional partが$x-\lfloor x \rfloor$と表されます.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor -1.8 \rfloor=-2$,fractional partは$-1.8-\lfloor -1.8 \rfloor=-1.8-(-2)=0.2$になります.
Fractional Part Function by Def. A 


Definition B. Integer partを$\lfloor |x| \rfloor$,fractional partを$|x|-\lfloor |x| \rfloor$,すなわち絶対値で正の数にしてから定義Aと同様にします.正の数はその絶対値が等しいので,正の数もまとめてこの式で表すことができます.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor |-1.8| \rfloor=1$,fractional partは$|-1.8|-\lfloor |-1.8| \rfloor=1.8-1=0.8$になります.
Fractional Part Function by Def. B

Definition C. 負の数のinteger partをceiling function(天井関数)$\lceil x \rceil$(x以上の最小の整数)で定義し,fractional partは$x-\lceil x \rceil$と定義します.正の数もまとめて1つの式にすれば,$\mbox{sgn}(x)・\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$(ただし$\mbox{sgn}(x)$はxの符号)となります.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lceil -1.8 \rceil=-1$,fractional partは$-1.8-\lceil -1.8 \rceil=-1.8-(-1)=-0.8$になります.

Fractional Part Function by Def. C

以上まとめると,fractional partの3種類の定義は次のようになります($\lfloor \ \ \rfloor$を$[ \ \ ]$と表しても同じです).
  Definition A $x-\lfloor x \rfloor$
  Definition B $|x|-\lfloor |x| \rfloor$
  Definition C $\mbox{sgn}(x)・\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$

複数の定義があることについて,数式処理システムMathematicaを使用しているWolframMathWorldのFractional Partについてのページでは,"there is no universal agreement"と書かれていて,私がよく利用するWolframAlphaGeogeblaでは定義Cを採用しています.

[Fractional Part 問題]
Let x be a positive number such that
$x^2+\{ x \}^2=27$        ({x} : the fractional part of x)
Find x.
(by BRILLIANT.org)

解答はこちら

[Reference]
Fractional Part
http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html
Fractional Part Function
https://wiki.geogebra.org/en/FractionalPart_Function
Fractional part
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_part
Fractional Part Function
https://brilliant.org/wiki/factional-part-function/