Feb 11, 2019

Net

Netと聞くと「網」,または最近なら「インターネット」という意味しか思いつかないので,こんな数学用語があるのかなと思います.「数学英和・和英辞典」(小松勇作編・共立出版)には次のように掲載されています.
net a. 正味の.n. 正価;網.
net present worth 正味原価.net price 正価.
しかし,これは数学用語とは言い難いですね.実はnetには他にもこの辞典には載っていない2つの意味があります.

初等幾何学
初等幾何学においては,立体の「展開図」という意味で使われています.特に,nets of cube(立方体の展開図)のパターンは11種類あることが知られています.上図のnetは,truncated icosahedron(切頂二十面体)のものです.文字通りicosahedron(正二十面体)の各頂点を切り落としてできる立体で,32面(正五角形12+正六角形20)あります.よくあるサッカーボールはこれを膨らませたものです.

位相幾何学
位相幾何学においては,点列を一般化した概念でnetという用語があります.これはMoore-Smith sequenceとも呼ばれています.
Definition
A directed set is a nonempty set $I$ with a relation such that
(1) $\alpha\preceq\alpha$ whenever $\alpha \in I$;
(2) if $\alpha\preceq\beta$ and $\beta\preceq\gamma$, then $\alpha\preceq\gamma$;
(3) for each pair $\alpha$, $\beta$ of elements of $I$ there is a $\gamma_{\alpha\beta}$, in $I$ such that $\alpha\preceq\gamma_{\alpha\beta}$ and $\beta\preceq\gamma_{\alpha\beta}$.
That is, a directed set is a nonempty preordered set that satisfies (3). A net or Moore-Smith sequence in a set $X$ is a function from a directed set $I$ into $X$. The set $I$ is the index set for the net.
(An Introduction to Banach Space Theory by Robert E. Megginson)
日本語でいえば,有向集合(任意の2元が上界をもつ前順序集合)$I$からある集合$X$への関数をnetと言います.簡単な例としては,高校数学に登場する普通の数列は,有向集合である正の整数から数全体の集合への関数といえるのでnetになります.

NetはMooreとSmithが1922年に紹介した概念ですが,netという用語は1950年のKelleyによる論文で初めて使われました.Kelleyは当初wayという用語を使おうとしたのですが,netにはsubnetという概念もあり,wayを使うとそれがsubwayとなって「地下鉄」と混同してしまうので,Norman Steenrodという人がwayの代わりにnetを使うよう提案したそうです.

[Reference]
An Introduction to Banach Space Theory
Robert E. Megginson (2012)

Feb 8, 2019

Radicals and Surds

一般に,無理数はirrational number,有理数はrational numberといいますが,英語の書籍では、日本の中3で学ぶ「平方根」が,"Radicals and Surds"または"Radicals (or Surds)"と表されています.

Radicalsというと,政治用語の「過激派」とか「急進主義者」という意味をまず思いつきます.もともとradicalはラテン語のradix(根)という言葉を語源として「根本的」という意味なのですが,根本的に政治を変えようとする集団のことをradicalsと呼んだことからこのような意味にも使われるようになったそうです.

数学用語としてのradicalsは,根,根号,根号のついた数,累乗根(n乗根)$\sqrt[n]{x}$という意味があり,$\sqrt[n]{x}$は普通"the nth root of x"と読みますが,"x radical n"と読むこともあります.例えば$\sqrt{3}$,$\sqrt{4}$,$\sqrt[3]{5}$などがradicalsです.根号はradical simbol,radical sign,root simbolとも呼ばれています.

Surdsの対訳は単に「無理数」で,radicalsと同じ意味に使われる場合もありますが,正確にはradicalsの中で無理数であるものをいいます.例えば$\sqrt{4}$はradicalですが無理数ではないのでsurdではありません.一方,$\sqrt{3}$はradicalで無理数なのでsurdになります.円周率πやネイピア数eは根号表示されない無理数なので,radicalでもsurdでもありません.
A radical is a number that is written using the radical sign $\sqrt{\quad}$.  Radicals such as $\sqrt{4}$ and $\sqrt{9}$ are rational since $\sqrt{4}$= 2 and $\sqrt{9}$= 3. Radicals such as $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ and $\sqrt{5}$ are irrational. They have decimal expansions which neither terminate nor recur. Irrational radicals are also known as surds.
(Haese Mathematics, MYP Gr.9-10, Radicals and Surds)
Surdという言葉はラテン語のsurdus(deaf, silent)から派生したもので,deaf→聞こえない→感覚がない→不合理→irrationalというわけで,irrational numberをsurdと呼ぶようになったようです.

[Radicals and Surds 問題]

(1)  Which of the following is a surd?
  (a)  $\sqrt {64}$     (b)  $\sqrt {18}$     (c)  $\sqrt {100}$

(2)  Rationalise the denominator of $\frac{5}{4-\sqrt{6}}$

正解はこちら

[Reference]

Mathematics for the international student Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus)
Haese Mathematics

Surds - Math is Fun
https://www.mathsisfun.com/surds.html

Merriam-Webster dictionary/surd
https://www.merriam-webster.com/dictionary/surd

Jan 30, 2019

Continued Square Roots

Continued Square Roots は直訳すると連続平方根となりますが,連続根号数とも訳されています.Wolfram MathWorldで探すと,Nested Radical(多重根号) にLinkされ,次の式が書かれていますが,これは正確にいうとInfinite Nested Radical(無限多重根号)ですね.$$\displaystyle \lim_{ k \to \infty }x_0+\sqrt{x_1+\sqrt{x_2+\sqrt{...+x_k}}}$$もちろん根号の数が有限な例としては$\sqrt{2+\sqrt{3}}$などがあります.上の式で$x_0=0$とし,それ以降の$x_k=n$とすると次式になります.$$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}$$これが無限に続くとどんな値に近づくのでしょう.$$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}=x$$とおくと,いちばん外側の$\sqrt{\quad}$の中の$n+$以降は$x$と等しいので,$$\sqrt{n+x}=x$$と考えられ,両辺を平方して移項すると,$$x^2-x-n=0$$この解は正の数なので,$$x=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$$例えば$n=1$なら,$$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}=x$$とおくと,$$\sqrt{1+x}=x$$となり,両辺を平方して移項すると,$$x^2-x-1=0$$これの正の解は$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,すなわち黄金比の値になります.

Mathematics for the international student  Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses (HAESE Mathematics)
またこの図のように$n=2$なら,$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=x$$とおくと,$$\sqrt{2+x}=x$$となり,両辺を平方して移項すると,$$x^2-x-2=0$$これの正の解は$x=2$となります.上図の INVESTIGATION 2 はこの値に近づくことを調べさせています.

[Continued Square Roots 問題]
Find the value of x.$$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}=x$$解答はこちら

[Reference]

Mathematics for the international student
Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses
(HAESE Mathematics)

Continued Square Root
http://mathworld.wolfram.com/ContinuedSquareRoot.html

Jan 4, 2019

Ferris Wheel

Ferris Wheel
Ferris wheelは数学用語ではありませんが,三角関数の応用問題で頻出するので,ぜひ知っておきたい用語です.

Ferrisには特に意味はなく,人名のひとつなので,Ferris wheelというと「フェリスさんの車輪」という意味になりそうですが,これはFerrisという人が世界初の観覧車(Chicago Wheel)を設計したので,それに敬意を表して観覧車のことを一般的にこう呼んでいます.

英国系では観覧車をbig wheel,または巨大なものをgiant wheelと呼ぶこともありますが,英国の出版社であるCambridge University Press,Oxford University Press,Pearson EducationのIB(国際バカロレア)数学の教科書など,多くの場合はFerris wheelという用語が使われています.

Cambridge University Press
The original Ferris Wheel was constructed in 1893 in Chicago. It was just over 80 m tall and could complete one full revolution in 9 minutes. During each revolution, how much time did the passengers spend more than 50 m above the ground? (IB Math SL)

Oxford University Press
A Ferris wheel at an amusement park reaches a maximum height of 46 metres and a minimum height of 1 metre. It takes 20 minutes for the wheel to make one full rotation. Write a sine function to model the height of the child t minutes after boarding the Ferris wheel. (IB Math SL)

Pearson Education
We are surrounded by periodic functions. A few examples include: the average daily temperature variation during the year; sunrise and the day of the year; animal populations over many years; the height of tides and the position of the Moon; and your height above ground when riding a Ferris wheel and the rotation of the wheel. (IB Math SL)

因みに,ドイツでは1610年頃に円周率を35桁まで正しく計算したLudolphという人の功績を称えて,円周率をLudolf Numberと呼んでいますが,このように,初めて発見,発明した人の功績を称えてその名を冠した例は他にも多数あります.日本では1722年に建部賢弘(たけべかたひろ)が小数42位まで求めたのが大きな功績なので,円周率を建部数と呼んでもいいのかも知れません.

[Ferris Wheel 問題]
The Ferris wheel at the Royal Show turns one full circle every minute. The lowest point is 1 metre from the ground, and the highest point is 25 metres above the ground.
(a) When riding on the Ferris wheel, your height above ground level after t seconds is given by the model h(t)=a+bsin(c(t-d)). Find the values of a, b, c, and d given that you start your ride at the lowest point.
(b) If the motor driving the Ferris wheel breaks down after 91 seconds, how high up would you be while waiting to be rescued?
(IB Math SL : Haese Mathematics)

解答はこちら

[Reference]
IB Math text books by Oxford, Cambridge, Pearson and Haese

Dec 15, 2018

Cyclic Quadrilateral

Cyclicは,循環する,巡回する,周期的というような意味があります.では,循環するquadrilateral(四角形)とはどういう意味でしょうか.

同一円周上にある(共円である)ということをconcyclicといい,4頂点がconcyclicな四角形を cyclic quadrilateral といいます.日本語では円に内接する四角形 (inscribed quadrilateral) といいますが,英語ではinscribedよりcyclicの方がよく使われています.

Test for cyclic quadrilateral(共円条件)
A quadrilateral is a cyclic quadrilateral if any of the following is true:
1) one pair of opposite angles are supplementary.(対角の和が180°)
2) an exterior angle is equal to the interior opposite angle.(外角が対角に等しい)
3) one side subtends equal angles at the other two vertices.(1辺に対する2角が等しい)
(Further Mathematics HL Geometry: Haese mathematics)

以上の3つは,4点がconcyclic(四角形がcyclic)であるための条件で,3)は「円周角の定理の逆」です.この3つ以外に,「方べきの定理の逆」も共円条件になります.

因みに,4辺をa, b, c, dとするcyclic quadrilateralの面積$S$を求める Brahmagupta's formula(ブラーマグプタの公式)があります.
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
ただし$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

ここで$d=0$とすると三角形の面積を求める Heron's formula(ヘロンの公式)と一致します.
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし $s=\frac{a+b+c}{2}$

またcyclicではない一般のquadrilateralの面積$S$を求めるにはBretschneider's formula(ブレートシュナイダーの公式)があります.
$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}$
ただし $p$, $q$はdiagonal length(対角線の長さ)
この公式は,cyclic quadrilateralの場合,Ptolemy's theorem(トレミーの定理)より $ac+bd=pq$ となるので,Brahmagupta's formulaと一致します.

Heron's formula
一般化↓ ↑特殊化
Brahmagupta's formula
一般化↓ ↑特殊化
Bretschneider's formula

[Reference]
Cyclic Quadrilateral -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html

Nov 4, 2018

Straightedge and Compass Construction

これらの単語を調べたら,次のような意味があることが分かります.
    straightedge=幻覚剤・酒・たばこなどに手を出さない生き方
    compass=羅針盤,方位磁針
    construction=建設,建築,構文,構造

https://genuineideas.com/
しかし,straightedge は直定規(直定木),compass はコンパス(円を描く道具,あえて日本語にするなら円規,両脚器,ぶん回しともいいます),construction は作図という意味もあり,straightedge and compass construction は,直定規とコンパスだけを使う作図という意味になります.

他にruler-and-compass construction,classical construction,geometric construction,Euclidean constructions という言い方があります.「作図」を直訳して figure construction という場合もありますが,こちらは人物画を描くという意味の方によく使われているようです.

普通に図を描くことも広い意味で作図といえますが,一般に数学における作図といえば,straightedge and compass construction のことを指していて,"Euclid's Elements(ユークリッドの原論)" に初めて登場したので,Euclidean constructions ともいうわけです.定規といえば ruler を思い浮かべますが,straightedge(直定規)という用語がよく使われています.

この straightedge and compass construction は,日本ではまず中1で直線外の点を通る垂線,線分の垂直2等分線,角の2等分線,中3では平方根で表される長さ,高校数学Aで等分点などを作図する方法として登場しています.

正n角形の作図可能性

Equilateral triangle(正3角形),square(正4角形)とそれから派生する regular hexagon(正6角形),regular octagon(正8角形)が constructible(作図可能)であることはギリシャ時代から知られています(以下 regular を省略します).Pentagon(正5角形)もギリシャ時代に constructible であることがわかっていましたが,残念ながら,あのアルキメデスでさえも正7角形,正9角形の作図には成功しなかったようです.

1796年3月30日の朝,19才のガウスが目覚めたとき,heptadecagon(正17角形)の作図法がひらめいたそうです.そしてその後ガウスは次のことを証明しています.

定理
四則演算とべき乗根を用いて表される数は作図可能である.

定理
代数方程式 zn−1=0 が四則演算とべき乗根だけで解けたら、正n角形が作図可能である.

ということから,

定理
nの値が2のべき乗(2αで表される数)であるか,フェルマー素数すなわち「22m+1で表される素数」であるか,またはこれらの2種類の数の積であるとき,すなわち,
n=2α・p1 ・p2 ・・・・・・pk (ただしpmはフェルマー素数)
のときに、正n角形は作図可能である.

α=0かつm=0のときn=3となり正3角形,α=2で2のべき乗だけのときn=4となり正4角形、α=0かつm=1のときn=5となり正5角形,α=1かつm=1のときn=6となって正6角形が作図可能ですが,7や9はこの形で表せないので作図不可能です.そして,α=0かつm=2のときが正17角形になります.さらに,257-gon(正257角形,m=3)の作図法が1832年に,65537-gon(正65537角形,m=4)の作図法が1900年ごろに発見されました.正n角形は代数方程式 zn−1=0 を解けばいいのですが,nの値が大きくなるにつれてどんどん複雑になっていきます.

[Straightedge and Compass Construction 問題]
1) Construct a equilateral triangle.
2) Construct a regular pentagon.

解答はこちら

[Reference]
「数学入門(上)」遠山啓著 岩波新書

Sep 24, 2018

Direct Variation

正比例のことをdirect proportionalityといい,yがxに正比例することを
    y is directly proportional to x
といいます.正比例することを「比例する」ともいいますが,英語でもdirectなしで,proportionalityとか,proportionalとかいいます.すなわち,yがxに比例するというのに,
    y is proportional to x
でもいいわけです.そして,どちらもy=kx(kは比例定数)という関係式になり,時にはy∝xとも表されます.

https://www.openalgebra.com/2012/11/variation.html
Variationは変動,変分,振幅などの意味があり,direct variationを直訳すると「直接変動」となりそうですが,実はdirect proportionality,つまり正比例という意味で使われています.なので,yがxに正比例するということを,
    y varies directly with x
または
    y varies directly as x
とも表現されます.

https://www.onlinemathlearning.com/joint-variation.html
同様に,反比例はinverse proportionalityまたはinverse variationといいます.yがxに反比例することは,
    y is inversely proportional to x
    y varies inversely with x
    y varies inversely as x
などと表され,関係式はy=k/xとなります.

因みに,joint variation, combined variationという用語もあり,joint variationは2変数以上の積に比例し,その関係式は2変数の場合y=kxzになります.また,combined variationは2変数以上の積や商に比例し,その式は例えばy=kz/xなどとなります.

[Direct Variation 問題]
The area of an ellipse varies jointly as a and b, that is, half the major and minor axes.  If the area of an ellipse is 300 pi square units when a = 10 and b = 30 units then what is the constant of proportionality? Give a formula for the area of an ellipse.

解答はこちら

[Reference]
Variation
https://www.openalgebra.com/2012/11/variation.html
Joint and Combined Variation Word Problems
https://www.onlinemathlearning.com/joint-variation.html