Mar 16, 2018

Fractional Part

Fractionは分数という意味なので,fractional partは分数部分ということになるはずですが,これはdecimal partとまったく同じ意味に使われていて,分数部分と訳されることは少なく,小数部分または端数部分と訳されています.もともとfractionは端数や破片という意味もあるので,端数部分というならまだ頷けますが,小数部分と訳されることが多く,少し違和感があります.でもこれはひとつの意訳と理解すればいいかも知れません.英語のサイトで検索すると,"decimal part"よりも"fractional part"のほうがより多く現れます.ただし後者は別の意味(図形の一部など)でも登場します.

正の数xのinteger part / whole part(整数部分)はガウス記号を使って$[x]$(xを超えない最大の整数),fractional partは$x-[x]$と定義されています.xのfractional partは{x}と表すこともありますから,その表記を使うと$x=[x]+\{ x \}$,すなわちx=(integer part)+(fractional part)になります.

例えば,2.236のinteger partは2,fractional partは0.236となり,$\sqrt{5}$のinteger partは2,fractional partは$\sqrt{5}-2$になります.記号で表すと,$[2.236]=2$,$\{ 2.236 \}=0.236$,$[\sqrt{5}]=2$,$\{ \sqrt{5} \}=\sqrt{5}-2$となります.

さて,xが負の数の場合,integer partとfractional partの定義は3つもあります.いずれもx=(integer part)+(fractional part)になります.

Definition A. 正の数と同じ定義で,日本ではほとんどこの定義が採用されています.ガウス記号$[x]$と同じ意味のfloor function(床関数)$\lfloor x \rfloor$を使うと,integer partが$\lfloor x \rfloor$,fractional partが$x-\lfloor x \rfloor$と表されます.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor -1.8 \rfloor=-2$,fractional partは$-1.8-\lfloor -1.8 \rfloor=-1.8-(-2)=0.2$になります.
Fractional Part Function by Def. A 


Definition B. Integer partを$\lfloor |x| \rfloor$,fractional partを$|x|-\lfloor |x| \rfloor$,すなわち絶対値で正の数にしてから定義Aと同様にします.正の数はその絶対値が等しいので,正の数もまとめてこの式で表すことができます.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lfloor |-1.8| \rfloor=1$,fractional partは$|-1.8|-\lfloor |-1.8| \rfloor=1.8-1=0.8$になります.
Fractional Part Function by Def. B

Definition C. 負の数のinteger partをceiling function(天井関数)$\lceil x \rceil$(x以上の最小の整数)で定義し,fractional partは$x-\lceil x \rceil$と定義します.正の数もまとめて1つの式にすれば,$\mbox{sgn}(x)・\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$(ただし$\mbox{sgn}(x)$は$x$の符号)となります.

例えば,$x=-1.8$のinteger partは$\lceil -1.8 \rceil=-1$,fractional partは$-1.8-\lceil -1.8 \rceil=-1.8-(-1)=-0.8$になります.

Fractional Part Function by Def. C

以上まとめると,fractional partの3種類の定義は次のようになります($\lfloor \ \ \rfloor$を$[ \ \ ]$と表しても同じです).
Definition A $x-\lfloor x \rfloor$
Definition B $|x|-\lfloor |x| \rfloor$
Definition C $\mbox{sgn}(x)・\left( |x|-\lfloor |x| \rfloor \right)$

複数の定義があることについて,数式処理システムMathematicaを使用しているWolframMathWorldのFractional Partについてのページでは,"there is no universal agreement"と書かれていて,私がよく利用するWolframAlphaGeogeblaでは定義Cを採用しています.

[Fractional Part 問題]
Let $x$ be a positive number such that
$x^2+\{ x \}^2=27$        ({$x$} : the fractional part of $x$)
Find $x$.
(by BRILLIANT.org)

解答はこちら

[Reference]
Fractional Part
http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html
Fractional Part Function
https://wiki.geogebra.org/en/FractionalPart_Function
Fractional part
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_part
Fractional Part Function
https://brilliant.org/wiki/factional-part-function/