Apr 22, 2017

Translation

日常では「翻訳」としか訳すことがないtranslationですが,数学では「平行移動」という意味があり,移動のさせ方はベクトルで表します.日本の教科書でよく使われる「x軸方向に$p$,y軸方向に$q$平行移動したもの」という言い方は,a translation of $\left( \begin{array}{c} p \\q \\ \end{array} \right)$とか,be translated through $\left( \begin{array}{c} p \\q \\ \end{array} \right)$のように表されます.他にshiftやmoveという用語も使われることがあります.

向きも形も変えない移動だけのtranslationに加えて,向きの変わるrotation(回転移動),reflection(対称移動),大きさの変わるscaling / resizing / zooming(拡大縮小),傾斜するshear / skew(せん断)など,図形の平行を保つlinear transformation(一次変換)を合わせてaffine transformation(アフィン変換)といい、さらに拡張して図形の平行を保たない場合もある変換をprojective transformation / homography(射影変換)といいます.

rotation  $\left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\cos \theta-y\sin \theta \\ x\sin \theta+y\cos \theta \end{pmatrix}$   $ \theta $回転

scaling  $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax  \\ by \end{pmatrix}$  横にa倍,縦にb倍拡大縮小

shearing  $\begin{pmatrix} 1 & t \\ s & 1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+ty  \\ sx+y \end{pmatrix}$ 横にyのt倍移動,縦にxのs倍移動するせん断(長方形が平行四辺形になります)

translation  $\begin{pmatrix} x  \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} p  \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+p  \\ y+q \end{pmatrix}$  x軸方向に$p$,y軸方向に$q$平行移動

以上のように,2×2行列を掛ける一次変換では(0,0)が(0,0)に移るのでtranslationを表すことはできないし、平行を保つのでprojective transformationを表すことはできません.しかし,座標(x, y)を(x, y, 1)と表すことでこれらをすべてまとめて表すことができます.そのため,変換行列を3×3にして(3, 3)成分を1とします。

rotation  $\left(  \begin{array}{ccc}   \cos \theta  & -\sin \theta  & 0 \\ \sin \theta  & \cos \theta  & 0 \\0 &0 &1\end{array}\right)\left(  \begin{array}{ccc}   x\\ y\\1\end{array}\right)=\left(  \begin{array}{ccc}   x\cos \theta -y\sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \\ 1 \end{array} \right) $

scaling  $\left(  \begin{array}{ccc}   a  & 0  & 0  \\ 0  & b  & 0 \\ 0  & 0  & 1 \end{array}\right)\left(  \begin{array}{ccc}   x  \\ y \\ 1 \end{array}\right)=\left(  \begin{array}{ccc}   ax  \\ by \\ 1 \end{array}\right)$

shearing  $\begin{pmatrix} 1 & t &0 \\ s & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} x  \\ y \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+ty  \\ sx+y \\ 1 \end{pmatrix}$

translation  $\left(  \begin{array}{ccc}   1  & 0  & p  \\ 0  & 1  & q \\ 0  & 0  & 1 \end{array}\right)\left(  \begin{array}{ccc}   x  \\ y \\ 1 \end{array}\right)=\left(  \begin{array}{ccc}   x+p  \\ y+q \\ 1 \end{array}\right)$

因みに,映画"Transformers"(変形ロボット),映画"The Transporter"(運び屋)はありましたが,映画"Translator"はまだないですね(笑).

<Reference>
Function Translations
http://www.purplemath.com/modules/fcntrans.htm

Quick Reviews on Local Descriptors, SIFT and Single Object Recognition by Fei-Fei Li.
https://sensblogs.wordpress.com/2011/08/23/quick-reviews-on-local-descriptors-sift-and-single-object-recognition-by-fei-fei-li/

Apr 4, 2017

First Principles

直訳すると「第一原理」となるfirst principlesは形而上学や自然科学における用語としては「他のものから推論することができない命題」という意味があります.数学では定義や公理がこれに当たり,「定理を導くための前提となる命題」ともいえます.

微分の問題で,differentiate from first principlesといわれたら,直訳すれば「第一原理から微分せよ」となりますが,これは「定義に従って微分せよ」という意味で,find the derivative by (using the) limit definitionという表現をする場合もあります.

具体的には,次のlimit definition(微分の定義)の式を使って,derivative(導関数)を求めよという意味になります.$$\begin{align} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{Δx\to 0}\frac{f(x + Δx) - f(x)}{Δx}\end{align}$$よく$h$が使われますが,$Δx$,$δ$,dもよく使われるので,delta methodとも呼ばれています(deltaの大文字は$Δ$,小文字は$δ$,alphabetのdに当たります).

数学で導関数という意味のderivativeは,言語学では派生語,経済学では金融派生商品,化学では誘導体などいろいろな意味があります.「派生する」という動詞deriveのderivative(派生語)になっています.つまり,"derivative"はderivativeです(笑).

例えばtanxの微分は,sinx,cosxを微分してからquotient rule(商の微分)を用いて次のようにすることが多いのですが,$$\begin{align}(\tan x)'  &= \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' \\ &= \dfrac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2x} \\ &= \sec^2 x \end{align}$$これを微分の定義に従って計算すると次のようになります.$$\begin{align}(\tan x)' &= \lim_{h\to 0}\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x\right) \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left(\dfrac{\tan h+\tan^2 x\tan h}{1-\tan x\tan h}\right) \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\tan h}{h}\cdot\dfrac{1+\tan^2 x}{1-\tan x\tan h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{1}{\cos h}\cdot\dfrac{1}{1-\tan x\tan h}\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x} \\ &= 1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{1-0}\cdot \sec^2 x
 \\ &= \sec^2 x \end{align}$$【First Principles 問題】
Differentiate lnx(=logex) from first principles.
定義に従ってlnx(=logex)を微分せよ.
(正解はこちらです)

<Reference>
The Derivative from First Principles - Interactive Mathematics
http://www.intmath.com/differentiation/3-derivative-first-principles.php