Pizza Theorem

食べ物の名前のついた定理がいくつかあります．

Pancake Theorem（パンケーキの定理）は，「2つのパンケーキ（形は円でなくてもよいし，重なっていても離れていてもよい）は1つの直線でそれぞれを2等分できる」という定理で，それを3次元に拡張したものをHam Sandwich Theorem（ハムサンドイッチの定理）といいます．

Chicken McNugget Theorem（チキン・マックナゲットの定理）は，「互いに素な$m$個入り，$n$個入りパックの組み合わせで買えない最大の個数は$mn-m-n$個である」という定理で，もともとチキン・マックナゲットが9個入り，20個入りで販売されていたのが発祥の定理です．

Pizza Theorem（ピザ の定理）1968年
ピザ（この形は円でなければいけません）を，円内の任意の点Pを通る$2n$本の直線で中心角が$\frac{\pi}{2n}$ (radian) になる扇形みたいな図形$4n$個に分割したとき， 分割された各部分を2人で同じ方向に交互に取っていくと，その和がそれぞれ同じ面積になる．ただし，$n≥2$．

[Quiz]
n=1のときの分割は何本の直線でいくつに分割し，できたおうぎ形みたいな図形の中心角は何度でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
2本の直線で4分割，中心角はπ/2(radian)＝90°

n=2のとき4本で8分割，n=3のとき6本で12分割

上図でいうと，n=2のときは紫色と黄色の部分，n=3のときは緑色と橙色の部分の面積が等しいという定理です（1999年には「$n$人で交互に取っていっても，その和がそれぞれ同じ面積になる」ことが示されました）．

n=1のとき，すなわち2本で4分割したときはなぜダメなのでしょう．

右図の円の半径をR，中心をOとします．点Pで直交する2本で4分割されたとして，中心Oを通る2本の直径とでできる9個の領域をa～iとすると，

　　右上+左下＝a+e+h+i+c＝a+(i+g)+(i+f)+i+c

                      ＞a+g+f+i+c＝$\frac{\pi R^2}{2}$

となり，右上+左下＞半分＞左上+右下になるからです．つまり，4分割では交互に取っても2人の取り分は同じ面積になりません．

n=2のとき，すなわち4本で8分割したときに定理が成り立つことを確認してみましょう．

右図で$PA=r(\theta)$，$PE=r(\theta+\frac{\pi}{4})$とすると，扇形みたいな形APEは，$\theta$を細かくすると，ほとんど扇形になるので，扇形の面積の公式$S=\frac{1}{2} r^2  \theta$より，$\varDelta S=\frac{1}{2} r(\theta)^2 \varDelta \theta$となりますから，この部分の面積$S_1$は $$S_1=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2}r(\theta)^2 d\theta$$ となります．これから交互に4つ取ると， $$S_1+S_3+S_5+S_7=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{2} \left \{ r(\theta)^2+r \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)^2+r(\theta+\pi)^2+r \left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)^2 \right \}d\theta$$ となりますが，これは $$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta\tag{1}$$ となることが分かっていて（理由はこの後すぐ），するとこの続きは $$\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} 2R^2d\theta=2R^2\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{4} d\theta=2R^2 \left[ \theta \right] _0^\frac{\pi}{4}=2R^2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi R^2}{2}$$ となって，交互に取った1人分の面積はちょうど円の半分になることが分かります．

さて$(1)$の理由です．

$r(\theta)=PA=a$，$r(\theta+\frac{\pi}{2})=PB=b$，$r(\theta+\pi)=PC=c$，$r(\theta+\frac{3\pi}{2})=PD=d$とすると， $$R^2=OA^2=ON^2+NA^2=MP^2+NA^2=\left( \frac{b-d}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c}{2}\right)^2$$ $$R^2=OB^2=OM^2+MB^2=NP^2+MB^2=\left( \frac{a-c}{2}\right)^2+\left(\frac{b+d}{2}\right)^2$$ 辺々加えると， $$2R^2= \frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$$ となり，$(1)$が示されました．

因みに，Wolfram MathWorld には the second pizza theorem というのが紹介されていて，こう書かれてありました（笑）．

This one gives the volume of a pizza of thickness a and radius z:

pi z z a. 

 [Reference]

57. THE PIZZA THEOREM
https://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper57.pdf

Pizza Theorem
https://mathworld.wolfram.com/PizzaTheorem.html