Duck’s Egg

Duckはカモやアヒルのことです．ドナルドダックというキャラクターがありますが，その絵から判断すると，ダックはアヒルだとばかり思っていました．ただ，アヒルではなくてカモであることを強調したいときはwild duckといいます．また，よく騙される人のことをカモといいますが，これはeasy markというそうです．

Eggは卵ですから，duck's eggはアヒルの卵という意味になります．ニワトリより少し大きいそうですが，味はどうなんでしょうか？ 一度食べてみたいものです．

さて，duck's eggの直訳はアヒルの卵となりますが，数学ではどんな意味があるのでしょう．これはその形から来ています．卵に似た数字は何でしょう？ そう，0ですね．なので数字の0を表すのかと思ったら，zero point，すなわち全く得点できない0点のことなんです．ずばり，スポーツや試験の点数が0点のときにduck’s eggといいます．別にduckのではなくても単にeggでいいと思いますけどね．

[Quiz]
ドラえもん（1969年～）の野比のび太よりずっと前からテストで0点を取ることで有名だった漫画のキャラクターは誰でしょう？

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
丸出ダメ夫（1964年 - 1967年 週刊少年マガジン）

Zeroが数字の0という意味なのは当然ですが，もうひとつ，zero of a function（関数の零点）という概念があります．関数$y=f(x)$があるとき，$f(x)=0$となる$x$をzeroといいます．例えば，$f(x)=(x-1)(x-2)$のzeroは，$x=1, x=2$になります．つまり，関数＝0という方程式の解のことです．英語ではzeroですが，日本語では零点といいます．

証明できたら100万ドル授与されるミレニアム問題のひとつであるリーマン予想は，ゼータ関数の自明でないzero（零点）の実数部分はすべて$\frac{1}{2}$であるというもので，2021年4月現在，未解決です．

因みに，oval（卵形線）と聞けば卵の形に近い曲線を思い浮かべますが，定義としては「内側の任意の2点を結ぶ線分がその曲線の中にある閉じた曲線」というもので，円や楕円はもちろん，陸上競技のトラックや三角形・四角形などの凸多角形も含まれます． 

Ellipse（楕円）の定義は，2つの焦点$S$, $T$からの距離の和$PS+PT$が一定である点$P$の軌跡で，2点からその距離より長い糸をピーンと張って描くことができます．

実際の卵の形に近い曲線としては，Ellipseに定義が似ている以下の2つが知られています．

■Cartesian oval（デカルトの卵形線）
2つの焦点$S(0,0)$, $T(c,0)$からの距離を$PS$, $PT$とするとき，$PS+mPT$が一定の値$d$である点$P$の軌跡で，方程式は次式になります．

$$\left \{(1-m^2) (x^2+y^2)+2 m^{2}c x+d^{2}-m^{2} c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)\tag{1}$$ これは2つの図形が現れ，定数の値によって，円や楕円や双曲線になったりします．GEOGEBRAで描いてみたので，定数をいろいろ変えてみてください．

なお，m=1の時は式$(1)$より楕円

$$\left \{2c x+d^{2}- c^2 \right \}^2=4 d^{2} (x^2+y^2)$$ となり，長軸を$2a$，短軸を$2b$として高校の教科書風に整理すると次式になります． $$\frac{\left(x-\frac{c}{2}\right)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Cartesian ovalは，アナログではEllipseと似た方法で描けますが，一方の糸だけ2重にするという方法をJames Clerk Maxwell (1831 - 1879)が見つけました．

＜描き方＞

            Ellipse      　　  　　　　           Cartesian Oval

■Cassini oval（カッシーニの卵形線）
2つの焦点$S(-c,0)$, $T(c,0)$からの距離の積$PS \times PT$が一定の値$d^2$である点$P$の軌跡で，方程式は次式になります． $$(x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})+c^{4}=d^{4}\tag{2}$$

Cassini Oval (c=5, d=4.9 のとき)

[Duck’s Egg 問題]

Prove (1) and (2).

正解はこちら

[Reference]
MacTutor Cartesian Oval
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Cartesian/
MacTutor Oval Curves
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Projects/Johnson/chapter-4/