Oct 15, 2022

Inverse

Inverse は主に「逆」という意味で,次のような場合に使われています.

・inverse operation(逆演算):例えば $+$ に対して $-$, $\times$ に対して $\div$.

・inverse function(逆関数):例えば $y=2x$ に対して $y=\frac{1}{2}x$,$y=e^x$ に対して $y=\log_{e}x$.

・inverse element(逆元):例えば opposite(反数)は $a$ に対する $-a$ で additive inverse(加法逆元)といい,また reciprocal(逆数)は $a$ に対する $\frac{1}{a}$ または$a^{−1}$で multiplicative inverse(乗法逆元)といいます.

ここまでは意外でもなんでもないのですが,日本の高等学校必履修「数学Ⅰ」 の proposition(命題)に関する用語「逆,裏,対偶」を意味する英語は次のようにになっています.

・ conditional statement(条件文):P implies Q(PならばQ)P$ \implies $Q

に対して,次の3つが定義されています.

・converse statement(逆) : Q implies P(QならばP)Q$\implies$P

・inverse statement(裏) : ~P implies ~Q(PでないならQではない)~P$\implies$~Q

・contrapositive statement(対偶) : ~Q implies ~P(QでないならPではない)~Q$\implies$~P

ここでは,仮定と結論を入れ替えたものが converse(逆),仮定と結論をそのまま否定したものが inverse(裏)となっていて,inverse が「逆」ではないので少し混乱してしまいますね.英和辞典(英ナビ!辞書)を調べてみると,converse には「逆,反対」の意味がありますが,inverse には「逆,反対」に加えて「裏表,裏腹」という意味もありました.誤訳や間違いというわけではなさそうです.

[Question] (The answer follows after reference)

What is the inverse statement of the following conditional statement?
"If $x=1$, then $x^2=1$."

(a) If $x\neq1$, then $x^2=1$.
(b) If $x\neq1$, then $x^2\neq1$.
(c) If $x^2=1$, then $x=1$.
(d) If $x^2\neq1$, then $x\neq1$.

 

[Reference]

Converse, Inverse, and Contrapositive of a Conditional Statement
https://www.chilimath.com/lessons/introduction-to-number-theory/converse-inverse-and-contrapositive-of-conditional-statement/

Converse, Inverse, and Contrapositive
https://www.mometrix.com/academy/converse-inverse-and-contrapositive/

[Answer] (Drag bellow) 
An inverse statement assumes the opposite of each of the original statements. The opposite of “If x=1” would be “If x≠1.” The opposite of “then x2=1” would be “then x2≠1.”  Then answer is (b).

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