Aliquot

｢約数｣という日本語は，他にも「因数」や「因子」などの言い方がありますが，英語でも divisor, measure, factor, submultiple, aliquot などいろいろな言い方があります．最初の3つは，GCD (Greatest Common Divisor), GCM (Greatest Common Measure), HCF (Highest Common Factor) と表すと，いずれも「最大公約数」を意味します．あまり使われませんが，greatest common submultiple という場合もあります．しかし，aliquot だけは少し違った意味があります．

数学英和･和英辞典（共立出版）には，

aliquot　a. 割り切れる，整除できる． n. 割り切れる数，約数． ～ part 約数．

と書かれているので，これだけでは aliquot も同じ｢約数｣という意味ではないかと思いますが，実は多くの場合，aliquot または aliquot part というのは proper divisor（真約数），すなわちそれ自身を含まない約数を意味します．例えば12の divisors は 1, 2, 3, 4, 6, 12ですが，12の aliquot は 1, 2, 3, 4, 6になります．

関連するものに aliquot sum（アリコット和）, aliquot sequence（アリコット数列）があります．aliquotだけ和訳がないのは不思議ですが，元々Latin語の ali (otherの意) とquot (how manyの意)から来ているそうです．

aliquot sequence（アリコット数列）

正の整数$k$の全約数の総和を$\sigma(k)$と表します．aliquot sum すなわち proper divisor の総和は，全約数の総和からそれ自身を引くので，$\sigma(k)-k$となります．$k$に対して，aliquot sum を返す関数$s(k)=\sigma(k)-k$を "restricted divisor function"といいます．正式な日本語訳はありませんが，強いていうなら意訳して「真約数関数」でしょうか．

aliquot sequence は，正の整数$k$から始まり，次の項がその前の項の restricted divisor function の値，すなわち aliquot sum になるという，次の漸化式を満たす数列です． $$s_0=k,\quad \quad s_{n+1}=s(s_n)=\sigma(s_n)-s_n$$ 例1. $k=4$のとき， $$\begin{eqnarray}s_0&=&4\\s_1&=&s(s_0)=\sigma(s_0)-s_0=\sigma(4)-4=(1+2+4)-4=1+2=3\\ s_2&=&s(s_1)=\sigma(s_1)-s_1=\sigma(3)-3=(1+3)-3=1\\ s_3&=&s(s_2)=\sigma(s_2)-s_2=\sigma(3)-3=1-1=0\end{eqnarray}$$

例2. $k=6$のとき， $$\begin{eqnarray}s_0&=&6\\s_1&=&(1+2+3+6)-6=1+2+3=6\\ s_2&=&(1+2+3+6)-6=1+2+3=6\end{eqnarray}$$

例3. $k=220$のとき，

$$\begin{eqnarray}s_0&=&220\\s_1&=&1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284\\ s_2&=&1+2+4+71+142=220\end{eqnarray}$$

例1は最後が「素数→1→0」となって終ります．例2は aliquot sum がそれ自身に一致する complete number（完全数）なので，同じ数が繰り返されます．例3はお互いが相手の aliquot sum になる a pair of amicable numbers（友愛数）なので，2数が交互に現れます．他にも3つ以上の数を繰り返す sociable numbers（社交数）があります．以上で aliquot sequence のパターンがすべて尽くされているとする Catalan-Dickson conjecture（カタラン-ディクソン予想）は，2022年4月現在，未解決問題となっています．

[Reference]

Aliquot sequences
https://www.unirioja.es/cu/jvarona/aliquot.html

aliquot part
https://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/aliquot_part.html