Sum and Product of Roots

直訳すれば「根の和と積」という意味ですが，高校数学で登場する「二次方程式の解と係数の関係」のことです．これをn次方程式に一般化したものはVieta's formulas（ヴィエタの公式）といいますが，二次方程式の場合だけでもVieta's formulasと呼ぶ場合があります．

二次方程式の解と係数の関係は，2解を$\alpha$，$\beta$とすれば， $$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)=a(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta)$$ の係数を比較して， $$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta=\frac{c}{a}$$ となりますが，これがn次式方程式になると，n個の解を$r_i$で表せば， $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 = a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$ 右辺を展開して，
$$a_nx^n - a_n(r_1+r_2+\!\cdots\!+r_n)x^{n-1} + a_n(r_1r_2 + r_1r_3+\! \cdots\!+ r_{n-1}r_n)x^{n-2}$$ $$+\! \cdots\! + (-1)^na_n r_1r_2\cdots r_n$$
左辺と係数比較して， $$r_1+r_2+\cdots+r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$$ $$r_1r_2+r_1r_3+\cdots+r_{n-1}r_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$$ $$\vdots$$ $$r_1r_2\cdots r_n= (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$$ となります．

似たような名前で，Viète's formula（ヴィエトの公式）というのがあります．これはπ（PI=円周率）を無限積表示する次の公式です． $$\pi=2\prod^{\infty}_{n=1}\frac{2}{a_n}$$ （ただし，$a_n$は次の漸化式を満たす数列　$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$， $a_1 =\sqrt{2}$）

実はVietaとVièteは，フランスの数学者François Viète（1540–1603）のラテン語表記と仏語表記です．非常に珍しい例ですが，同一人物の名前がついているのに異なる公式になっています．同一人物なんだから同じ名前の表現を使いたいというときは，Vieta's root formulasとVieta's formula for PI，またはViète's lawsとViète's formulaと呼ぶ場合があります．

<Reference>
Vieta's formulas - Art of Problem Solving
https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Vieta%27s_Formulas