Continued Square Roots

Continued Square Roots は直訳すると連続平方根となりますが，連続根号数とも訳されています．Wolfram MathWorldで探すと，Nested Radical（多重根号） にLinkされ，次の式が書かれていますが，これは正確にいうとInfinite Nested Radical（無限多重根号）ですね． $$\displaystyle \lim_{ k \to \infty }x_0+\sqrt{x_1+\sqrt{x_2+\sqrt{...+x_k}}}$$ もちろん根号の数が有限な例としては$\sqrt{2+\sqrt{3}}$などがあります．上の式で$x_0=0$とし，それ以降の$x_k=n$とすると次式になります． $$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}$$ これが無限に続くとどんな値に近づくのでしょう． $$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+...}}}}=x$$ とおくと，いちばん外側の$\sqrt{\quad}$の中の$n+$以降は$x$と等しいので， $$\sqrt{n+x}=x$$ と考えられ，両辺を平方して移項すると， $$x^2-x-n=0$$ この解は正の数なので， $$x=\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$$ 例えば$n=1$なら， $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}=x$$ とおくと， $$\sqrt{1+x}=x$$ となり，両辺を平方して移項すると， $$x^2-x-1=0$$ これの正の解は$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，すなわち黄金比の値になります．

Mathematics for the international student  Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses (HAESE Mathematics)

またこの図のように$n=2$なら， $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=x$$ とおくと， $$\sqrt{2+x}=x$$ となり，両辺を平方して移項すると， $$x^2-x-2=0$$ これの正の解は$x=2$となります．上図の INVESTIGATION 2 はこの値に近づくことを調べさせています．

[Continued Square Roots 問題]
Find the value of x. $$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}=x$$ 解答はこちら

[Reference]

Mathematics for the international student
Pre-Diploma SL and HL (MYP 5 Plus) Presumed Knowledge for SL and HL courses
(HAESE Mathematics)

Continued Square Root
http://mathworld.wolfram.com/ContinuedSquareRoot.html