正の数xのinteger part / whole part（整数部分）はガウス記号を使って[x]（xを超えない最大の整数），fractional partはx−[x]と定義されています．xのfractional partは{x}と表すこともありますから，その表記を使うとx=[x]+{x}，すなわちx=(integer part)+(fractional part)になります．
例えば，2.236のinteger partは2，fractional partは0.236となり，√5のinteger partは2，fractional partは√5−2になります．記号で表すと，[2.236]=2，{2.236}=0.236，[√5]=2，{√5}=√5−2となります．
さて，xが負の数の場合，integer partとfractional partの定義は3つもあります．いずれもx=(integer part)+(fractional part)になります．
Definition A. 正の数と同じ定義で，日本ではほとんどこの定義が採用されています．ガウス記号[x]と同じ意味のfloor function（床関数）⌊x⌋を使うと，integer partが⌊x⌋，fractional partがx−⌊x⌋と表されます．
例えば，x=−1.8のinteger partは⌊−1.8⌋=−2，fractional partは−1.8−⌊−1.8⌋=−1.8−(−2)=0.2になります．
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| Fractional Part Function by Def. A |
Definition B. Integer partを⌊|x|⌋，fractional partを|x|−⌊|x|⌋，すなわち絶対値で正の数にしてから定義Aと同様にします．正の数はその絶対値が等しいので，正の数もまとめてこの式で表すことができます．
例えば，x=−1.8のinteger partは⌊|−1.8|⌋=1，fractional partは|−1.8|−⌊|−1.8|⌋=1.8−1=0.8になります．
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| Fractional Part Function by Def. B |
Definition C. 負の数のinteger partをceiling function（天井関数）⌈x⌉（x以上の最小の整数）で定義し，fractional partはx−⌈x⌉と定義します．正の数もまとめて1つの式にすれば，sgn(x)･(|x|−⌊|x|⌋)（ただしsgn(x)はxの符号）となります．
例えば，x=−1.8のinteger partは⌈−1.8⌉=−1，fractional partは−1.8−⌈−1.8⌉=−1.8−(−1)=−0.8になります．
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| Fractional Part Function by Def. C |
以上まとめると，fractional partの3種類の定義は次のようになります（⌊ ⌋を[ ]と表しても同じです）．
Definition A x−⌊x⌋Definition B |x|−⌊|x|⌋Definition C sgn(x)･(|x|−⌊|x|⌋)
複数の定義があることについて，数式処理システムMathematicaを使用しているWolframMathWorldのFractional Partについてのページでは，"there is no universal agreement"と書かれていて，私がよく利用するWolframAlphaやGeogeblaでは定義Cを採用しています．
[Fractional Part 問題]
Let x be a positive number such that
x2+{x}2=27 ({x} : the fractional part of x)
Find x.
(by BRILLIANT.org)
解答はこちら
[Reference]
Fractional Part
http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html
Fractional Part Function
https://wiki.geogebra.org/en/FractionalPart_Function
Fractional part
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_part
Fractional Part Function
https://brilliant.org/wiki/factional-part-function/
