Radii

図形（三角形，四角形など）がすべることなく転がるときに，その頂点のひとつが描くlocus（軌跡）の長さを考えてみましょう．

例えば上の図で1辺10の正三角形OABがすべることなく転がって1回転するとき，点Oのlocusは，radius（半径）が10，central angle（中心角）が120°のsector（おうぎ形）の弧2つ分になります．

日本では小中学校で度数法を使い，高校では弧度法を使ってsectorの弧の長さや面積を求めます．sectorのradiusをr，central angleを度数法で$a$°，弧度法で$\theta$（単位はradian）とすると，上図の弧のひとつの長さは次のようになります（$\approx$は≒と同じ意味ですが，$\approx$の方が海外のテキストではよく見られます）．

　小学校　円周 $\times\frac{a}{360}\approx 20\times 3.14 \times \frac{120}{360}=62.8\times \frac{1}{3}\approx20.9$

　中学校　$2 \pi r \times \frac{a}{360}=2 \pi  \times 10 \times \frac{120}{360}=\frac{20}{3} \pi$

　高校　　$r \theta=10 \times \frac{2}{3}\pi=\frac{20}{3} \pi$

ちょうど1回転した場合のlocusはこの2倍なので$\frac{40}{3} \pi$になります．

さて，前置きが長くなりましたが，このsectorについての説明が，あるテキストにこう書かれてありました．

A part of a circle bounded by two radii is called a sector.
（新中学問題集中1数学英語版）

話の流れからこのradiiはradiusの複数形だと気づきますが，この形は珍しいですね．知らないと一瞬考えこんでしまいます．しかも調べてみたら，発音が réɪdiὰɪ（レイディアイ）．私は最初，ラディイだと思いました．実はlocusも複数形はlociで発音はloʊsaɪ（ロウサイ）．この形はラテン語が語源の単語に多いそうです．

[Quiz]
radiiはradiuses，lociはlocusesという表現も使えるでしょうか？
①どちらも複数形は2種類あって全部使える
②radiusの複数はradiiだけである
③locusの複数はlociだけである
④どちらも複数形は1種類だけである．

[Answer]（この下の行をドラッグしてください）
正解は③です．つまり，radiusの複数形はradiiでもradiusesでもいいのですが，locusの複数形はlociだけなんです．ややこしいですね．

このradiiという用語から少しそれてしまいますが，sectorについての話をもう少し．

ここでのsectorは円の一部なので，そのことを強調する場合はcircular sectorといいます．なぜなら他にhyperbolic sector, spherical sectorがあるからです．下図の色のついた部分がcircular sector, hyperbolic sectorで，この場合の面積$S$はどちらも$\frac{t}{2}$になります．確かめてみましょう．

circular sector　　          　　　hyperbolic sector

circular sectorは，面積の公式 $S=\frac{r^2 \theta}{2}$を使って，$r=1$, $\theta=t$なので，$S=\frac{t}{2}$

hyperbolic sectorは，点Pから$x$軸に垂線を下ろしてできる直角三角形から双曲線の下の部分を引きます． $$S=\frac{1}{2}\cosh t \sinh t - \int_1^{\cosh t} \sinh t dx \tag 1$$ これを計算すると，$S=\frac{t}{2}$になります．

spherical sectorは球の一部分で，下図の2種類あります．左側は上に球の中心を頂点とする円錐形の穴が空いていて，open spherical sectorといい，右側の穴のないclosedのものはspherical coneといいます．Wolfram MathWorldで，体積はどちらも$V=\frac{2}{3}\pi R^2 h$になるとだけ書かれていて，求める式や計算がなかったので確かめてみました．

WolphramMathWorld

右側のconeは，circular sectorの回転体なので，その体積$V$は，縦を$x$軸として2つの回転体の和を考えると次の式で求められます． $$V=\frac{1}{3}\pi(R^2-(R-h)^2)(R-h) + \pi \int_{R-h}^{R} (R^2-x^2)dx \tag 2$$

左側のopenの場合も，2つの回転体の和から穴の部分を引けば体積が求められます．式中の$b$は$h$の上の球の頂上までの距離ですが，計算すると最後に消去されてしまいます． $$V=\frac{1}{3}\pi(R^2-(R-h-b)^2)(R-h-b)+\pi\int_{R-h-b}^{R-b}(R^2-x^2) dx$$ $$- \frac{1}{3}\pi(R^2-(R-b)^2)(R-b) \tag 3$$ 左右で$h$の値は異なりますが，体積は同じ$\frac{2}{3}\pi R^2 h$になります．

[Radii Question]

Calculate (1), (2), (3) above.

Answer

[Reference]

ラテン語由来の英単語の複数形
https://www.almamatersjk.com/gift-cactus/

Spherical Sector
https://mathworld.wolfram.com/SphericalSector.html