Riemann Sum

例えば，$y=x^2 \ (0≤x≤1) $のグラフの下の部分をn等分して，各区間の右端を高さとする長方形をn個つくると，その面積和$S_n$は，\begin{eqnarray}
S_n &=& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}･ \left( \frac{k}{n}\right)^2\\
&=& \frac{1}{n^3}･\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
&=&\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}
\end{eqnarray}となり，n→∞にするとその極限値は$\frac{1}{3}$になります．因みに各長方形の高さを左端や中点にしても同じ極限値になります．

このように面積を求める方法を区分求積法といいますが，この英訳を調べると，"classification quadrature method", "partitioning quadrature method",
"quadrature by parts", "sectional measurement", "mensuration by parts" など，様々な言い方があります．ところがこれらの英語で検索してもあまり区分求積法を説明するサイトが現れません．

The process of using sums of areas of rectangles to approximate the area under a curve is called a Riemann sum. This method is named after the German mathematician Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), who generalized the process.
IBDP Mathematics Analysis and Approaches Standard Level (Oxford University Press)

もともと右図のような長方形の有限和を Riemann sum といいますが，上の引用文のように， Riemann sum を使ってこのグラフの下の部分の面積を求める方法も Riemann sum ということがあります．

この図では各区間の右端を長方形の高さにしているので，right Riemann sum といいます．各区間の左端を長方形の高さにする場合はもちろん left Riemann sum といいます．

Bernhard Riemann は，証明できたら100万ドルの賞金が出るという未解決問題，リーマン予想 (Riemann hypothesis) で有名です．日本の初等･中等教育の数学の教科書では，人の名前を冠した用語はあまり出てきませんが，英語の書籍を見てみると，発見者に敬意を表してその名を冠する用語を使うことが多く，ピタゴラスの定理, デカルト座標，パップスの中線定理，リーマン積分，ガウス平面など多数あります．

[Riemann sum 問題]
Approximate the definite integral $\displaystyle \int_{-1}^{1} \left(- t^{3} + 4\right) dt$ using a left Riemann sum with $5$ intervals.   (Math Insight)

（正解はこちら）

[Reference]

IBDP Mathematics Analysis and Approaches Standard Level (Oxford University Press)

Math Insight Quiz on Riemann sums and definite integrals
https://mathinsight.org/assess/math201up_spring15/pure_time_differential_equations_quiz2